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1、2015 年湖北卷理科数学一、选择题：每小题5 分，共 50 分.1 i 为虚数单位，i 607 的共轭复数 为（）A iB iC1D 12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A 134 石B 169 石C 338石D 1365石3已知 (1x)n 的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A 212B 211C210D294设 X N( 1,12) ，YN( 2, 22)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）第 4题图
2、A P(Y2 )P(Y1)B P(X2 )P( X1 )C对任意正数 t ， P( Xt )P(Yt)D对任意正数t ， P( Xt )P(Yt)5设 a1 , a2 , anR ， n3 .若 p： a1 , a2 , , an 成等比数列； q： (a12a22an21 )(a22a32an2 )=(a1a2 a2a3an 1an )2 ，则（）A p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件B p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件C p 是 q 的充分必要条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件1,x0,6已知符号函数sgn x0,x0,f (x) 是 R 上的增
3、1,x0.函数， g (x)f ( x)f (ax)(a1) ，则（）A sgn g (x)sgn xB sgn g( x)sgn xC sgn g( x)sgn f ( x)Dsgn g (x)sgn f ( x)7在区间 0, 1 上随机取两个数x, y ，记 p1为事件“xy1 ”的概率， p2 为事件 “|xy | 1 ”的概率， p322为事件 “xy1 ”的概率，则（）2A p1p2p3B p2p3p1C p3p1p2D p3p2p18将离心率为 e1 的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b (ab) 同时增加 m ( m0) 个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2
4、，则（）A 对任意的a , b12， eeB当 a b 时， e1e2 ；当 ab 时， e1e2C对任意的 a , b ，e1e2D 当 a b 时， e1e2 ；当 ab 时， e1e29 已 知 集 合 A ( x, y) x2y 2 1, x, yZ ，B( x, y) | x |2 , | y |2,x, yZ ，定义集合AB ( x1x2 , y1y2 ) (x1 , y1 ) A, ( x2 , y2 ) B ， 则AB 中元素的个数为（）A 77B 49C45D 3010设 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数 . 若存在实数 t ，使得 t 1 ，t 2 2 ， ， t
5、 n n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（）A 3B 4C5D6二、填空题：本大题共6 小题，考生需作答 5小题，每小题5 分，共25 分（一）必考题（11 14 题）11已知向量 OA AB ，| OA |3，则 OAOB12函数 f ( x)4cos2x)2sin x| ln( x1) |x cos(221的零点个数为13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30D，则此山的高度CDm.DCCBABA第 13题图第13题图14如图，圆C 与 x 轴相切
6、于点T (1,0) ，与 y 轴正半轴交于两点A, B （ B 在 A 的上方），且 AB2 y第15题C图NMAOTxPB； C（）圆 C 的标准 方程为（）过点 A 任作一条直线与圆 O : x2y21 相交于AM , N 两点，下列三个结论：NAMA；NBMAMB2 ；NBNAMB NBMA2 2 NAMB其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑如果全选，则按第 15 题作答结果计分）15如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC3
7、PB ，则 AB.ACPBCyBAC 第15题图NxOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半16在直角坐标系MA轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线 l 的极坐标方程为OTxxt1 ,(sin3cos)0 ，曲线 C 的参数方程为t1第14 题图ytt( t 为参数 ) ， l 与 C 相交于 A , B 两点，则 | AB |.三、解答题：本大题共6 小题，共75 分17（ 11 分）某同学用 “五点法 ”画函数f (x)Asin(x)(0，| |) 在某一个周期内的2图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x03222x536Asin( x)0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应
8、位置 ，并直接写出函数f ( x) 的解析式；（ ） 将 yf (x) 图 象 上 所 有 点 向 左 平 行 移 动(0 )个单位长度， 得到 yg (x) 的图象 . 若 yg (x)图象的一个对称中心为( 5, 0) ，求的最小值 .12218（ 12 分）设等差数列 an 的公差为d，前 n 项和为Sn ，等比数列 bn 的公比为q已知 b1 a1 ， b22 ，q d ， S10100 （）求数列 an ， bn 的通项公式；（）当 d1 时，记 cn an，求数列 cn 的前 n 项和bnTn 19（ 12 分）九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，
9、将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面ABCD，且 PDCD，过棱 PC 的中点 E ，作 EFPB交 PB于点 F ，连接 DE, DF , BD, BE.PFEDCAB第19题图（）证明： PB平面 DEF 试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，3求 DC 的值BC20（ 12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B 两种奶制品生产1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备1 小时，获利1000 元；生产1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5吨
10、，使用设备1.5 小时，获利1200 元要求每天 B 产品的产量不超过A 产品产量的2 倍，设备每天生产A, B 两种产品时间之和不超过12 小时 . 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量3（）求 Z 的分布列和均值；（） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有 1 天的最大获利超过10000 元的概率21（ 14 分）一种作图工具如图1 所示 O 是滑槽 AB的中点，短杆ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链
11、与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且DN ON 1， MN 3 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（ D 不动时， N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C以 O 为原点， AB所在的直线为x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（）求曲线C 的方程；（ ） 设 动 直 线 l 与 两 定 直 线 l1 : x 2 y 0和l2 : x 2 y 0 分别交于 P, Q 两点若直线 l 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由NADOBM第21题图 1yNDOxM第2
12、1题图 222 （ 14分 ） 已 知 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 ，bn n (1 1)n an(nN ) ， e 为自然对数的底数n（）求函数f( )1xex的单调区间，并比较x(1 1)n 与 e 的大小；n（）计算 b1 ，b1b2， b1b2 b3，由此推测计算b1b2bna1a1a2a1 a2 a3a1 a2an的公式，并给出证明；1（）令 cn ( a1 a2an ) n ，数列 an ， cn 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn ,证明： TneSn .4绝密 启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题
13、共10 小题，每小题5 分，共 50 分）1A2B3D4C5 A6B7B8D9C10B二、填空题（本大题共6 小题，考生需作答5 小题，每小题5 分，共 25 分）11 912 213 100614（） ( x1)2( y2) 22 ；（）15 1162 52三、解答题（本大题共6 小题，共 75分）17（ 11 分）（）根据表中已知数据，解得A5,2,. 数据补全如下表：6x0322x75123126Asin( x)0505且函数表达式为f (x)5sin(2 x) .6（）由（）知f ( x) 5sin(2x5sin(2 x2) ，得 g( x) .66因为 ysin x 的对称中心为(k
14、, 0) ， kZ .令 2x 2 k，解得 xk ， kZ.6212由于函数 yg ( x) 的图象关于点 ( 5, 0) 成中心对称，令k 5，1221212 解得k， k Z . 由0 可知，当k1 时，取得最小值.23618（ 12 分）（）由题意有，10a145d100,2 a19d20,a1d2,即a1 d2,a11,a1 9,an2n 1,an1 (2 n79),29解得或故bnn 1或2d 2,d.2 .bn9n 1.9( )9（）由 d 1 ，知 an2n 1 ， bnn1，故 cn2n1，于是2n12213120535792n1Tn1 2 2223242n 1，113579
15、2n1 .2 Tn2 222324252n -可得11112n12n32 Tn22 222n 22n32n，故 Tn62n32n 1 .19（ 12 分）（解法 1）（）因为 PD底面 ABCD ，所以 PDBC ，由底面 ABCD 为长方形，有BCCD ，而 PDCDD ，所以 BC平面 PCD . 而 DE 平面 PCD ，所以BCDE .又因为 PDCD ，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC .而 PCBCC ，所以 DE平面 PBC. 而 PB平面 PBC ，所以 PBDE .又 PBEF，DEEFE ，所以 PB平面 DEF .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知
16、四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB， DEF ， EFB， DFB .（）如图 1，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G ，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD的交线 . 由（）知， PB平面 DEF ，所以 PBDG .又因为 PD底面 ABCD ，所以 PDDG. 而PDPB P ，所以 DG平面 PBD .故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设PD DC1， BC，有 BD12，在 RtPDB 中 ,由 DFPB, 得DPFFDB,3则 tan tanDPFBD123 ,解得2
17、.3PD所以 DC12.BC2故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时， DC2.3BC2（解法 2）（） 如图 2，以 D 为原点， 射线 DA, DC , DP 分别为 x, y,z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 . 设 PDDC1，BC，则 D(0,0,0),P (0,0,1), B ( ,1,0), C (0,1,0) ， PB( ,1, 1) ，点 E 是 PC 的中点，所以E(0, 1,1) ，226DE(0, 1, 1) ，22于是 PB DE0，即 PBDE .又已知 EFPB ，而 DEEF E ，所以 PB平面 DEF .因 PC(0,1,1), DE PC
18、0, 则DE PC,所以 DE平面 PBC .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为zDEB， DEF ， EFB， DFB .PPFEFEGDCDCyABxAB第 19 题解答图 1第 19 题解答图 2（）由 PD平面 ABCD ，所以 DP(0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量；由（）知， PB 平面 DEF ，所以 BP(,1,1) 是平面 DEF 的一个法向量 .若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，3BP DP11，则 cos23|BP| |DP|22解得
19、2. 所以 DC12.BC2故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时， DC2.3BC220（ 12 分）（）设每天A, B 两种产品的生产数量分别为2 x1.5 yW ,x1.5y12,2 xy0,x0,y0.x, y ，相应的获利为z，则有（ 1）目标函数为z1 0 0 0x1 2 0y0yyy1210888B(3,6)B(3,6)B(2.4,4.8)C(6,4)O A(0,0)C(6,0)12xO A(0,0)C(7.5,0) 12xO A(0,0)D (9,0) 12x第 20 题解答图1第 20 题解答图 72第 20 题解答图3当 W12 时，（1）表示的平面区域如图1
20、，三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) 将 z1000x1200 y 变形为 y5 xz，61200当 x2.4, y4.8 时，直线 l ： y5 xz 在 y 轴上的截距最大，61200最大获利 Zzmax 2.4 10004.8 12008160 当 W15 时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) 将 z1000x1200 y 变形为 y5z，x12006当 x3, y6 时，直线 l ： y5 xz在 y 轴上的截距最大，61200最大获利 Zzmax 3 100061200102
21、00 当 W 18 时，（ 1）表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D (9, 0) .将 z1000x1200 y 变形为 y5 xz，61200当 x6, y4 时，直线 l ： y5z在y 轴上的截距最大，x12006最大获利 Zzmax 6 1000 4120010800故最大获利 Z 的分布列为Z81601020010800P0.30.50.2因此， E ( Z) 81600.3102000.5 10800 0.2 9708.（）由（）知，一天最大获利超过10000 元的概率 p1P(Z 10000) 0.5 0.2 0.7
22、，由二项分布， 3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为p 1 (1 p1 ) 310.330.973.21（ 14 分）（）设点 D (t, 0) (| t |2) ， N (x0 , y0 ), M (x, y) ，依题意，MD 2DN ，且|DN| |ON|1 ，yPNDOxMQ第 21题解答图( x022所以 ( tt)y0 1,x, y) 2( x0 t , y0 ) ，且y021.x02即 t x2x0 2t , 且 t (t2x0 ) 0.y2 y0 .由于当点 D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于 0，8于是 t2x0 ，故 x0x , y0y ，代入
23、x02y021 ，可得 x2y21，42164即所求的曲线 C 的方程为 x2y21.164（）（ 1）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 为 x4 或 x4 ，都有 S OPQ14 48.2（ 2）当直线 l 的斜率存在时，设直线l : ykxm (k1) ，2ykxm,消去 y ，可得(14 k2 )x28kmx 4m2160由4 y216,.x2因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以64k2 m24(14k2 )(4 m216)0 ，即 m216k24 .又由ykxm,可得 P(2m,m) ；同理可得 Q(2m ,m) .x2 y 0,112k12k12k2k由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d| m |和|PQ|1k2 | xPxQ |，可得1k 21 | PQ | d1 | m | xP1 | m |2S OPQxQ |2m2m2m2 .22212k12k14k将代入得， S OPQ2m24k 2114k 2821.4k1时， SOPQ2当 k 28(4k1)8(12)8 ；44k214k 211时， SOPQ221)当 0k28( 4k4k8(1122 ) .414k因021014k 21122，所以S OPQ8(