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1、2016 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1（5 分）已知集合 A= 1，2，3，4 ，B= y| y=3x 2，xA ，则 AB=（）A 1B 4C 1，3D 1，42（5 分）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（）A 4B6C10D173（5分）在 ABC中，若 AB=， BC=3， C=120，则 AC=（）A1B2C3D44（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A2B4C6D85（5 分）设 an 是首项为正数的等比数列，公比为q，则 “q0”是 “对任意的正整数 n，a2n 1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件
2、C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件16（ 5 分）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D 四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=17（ 5 分）已知 ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则?的值为（）ABCD8（5 分）已知函数 f（ x）=（a0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 | f（ x） | =2x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A（0，B，C， D，）二
3、、填空题9（ 5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若（ 1+i）（1bi）=a，则的值为10（ 5 分）（x2） 8 的展开式中 x7 的系数为（用数字作答）11（ 5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为m3212（ 5 分）如图， AB 是圆的直径，弦 CD与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE的长为13（ 5 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（ 2| a 1| ） f（），则 a 的取值范围是14（ 5 分）设抛物线（ t 为参数， p
4、 0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0）， AF与 BC相交于点 E若| CF| =2| AF| ，且 ACE的面积为 3，则 p 的值为三、计算题15（ 13 分）已知函数 f （x）=4tanxsin（x）cos（x）（ 1）求 f （x）的定义域与最小正周期；（ 2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性316（ 13 分）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1， 2， 3 的人数分别为 2， 4， 4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（ I）设 A 为事件 “选出的 2 人参加义工活
5、动次数之和为4”，求事件 A 发生的概率；（ II）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值， 求随机变量 X 的分布列和数学期望17（ 13 分）如图，正方形 ABCD的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB=BE=2（ 1）求证： EG平面 ADF；（ 2）求二面角 OEFC 的正弦值；（ 3）设 H 为线段 AF上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF所成角的正弦值4（分）已知n 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的 n N+，18 13 abn 是 an 和 an+1 的等比中项（ 1）设
6、cn=bn+1 2 bn2，nN+，求证：数列 cn 是等差数列；（ 2）设 a，Tn=（ ）k2，nN*，求证：1=d1bk19（ 14 分）设椭圆+=1（ a）的右焦点为F，右顶点为A已知+ =，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围520（ 14 分）设函数 f （x） =（ x 1） 3ax b， x R，其中 a， b R（ 1）求 f （x）的单调区间；（ 2）若 f（
7、x）存在极值点 x0，且 f（x1） =f（x0），其中 x1x0，求证： x1+2x0=3；（ 3）设 a0，函数 g（x） =| f（ x）| ，求证： g（x）在区间 0，2 上的最大值不小于 62016 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5 分）已知集合 A= 1，2，3，4 ，B= y| y=3x 2，xA ，则 AB=（）A 1B 4C 1，3D 1，4【考点】 1E：交集及其运算【专题】 37：集合思想； 4O：定义法； 5J：集合【分析】把 A 中元素代入 y=3x2 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】 解：把 x=
8、1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得： y=1，4，7，10，即 B= 1，4，7，10 ， A= 1， 2， 3，4 ， AB= 1，4 ，故选： D【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（）A 4B6C10D17【考点】 7C：简单线性规划【专题】 31：数形结合； 48：分析法； 59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点（ 3， 0）时， z=2x+5y 取得最小值 67【解答】 解：作出不等式组表示
9、的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（ 3， 0）时， z=2x+5y 取得最小值 6故选： B【点评】本题考查简单线性规划的应用， 涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域3（5 分）在 ABC中，若 AB=， BC=3， C=120，则 AC=（）A1B2C3D4【考点】 HR：余弦定理【专题】 11：计算题； 29：规律型； 35：转化思想； 58：解三角形【分析】 直接利用余弦定理求解即可【解答】 解：在 ABC中，若 AB=，BC=3， C=120，222AB =BC+AC 2AC?BC
10、cosC，可得： 13=9+AC2+3AC，解得 AC=1或 AC=4（舍去）故选： A【点评】 本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力84（5 分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A2B4C6D8【考点】 EF：程序框图【专题】 11：计算题； 29：规律型； 35：转化思想； 5K：算法和程序框图【分析】 根据程序进行顺次模拟计算即可【解答】 解：第一次判断后：不满足条件， S=24=8， n=2，i 4，第二次判断不满足条件 n 3：第三次判断满足条件： S6，此时计算 S=86=2，n=3，第四次判断 n3 不满足条件，第五次判断 S6 不满足条件， S=
11、4n=4，第六次判断满足条件n3，故输出 S=4，故选： B【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行， 根据条件进行模拟计算是解决本题的关键95（5 分）设 an 是首项为正数的等比数列，公比为q，则 “q0”是 “对任意的正整数 n，a2n 1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】 54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑【分析】 利用必要、充分及充要条件的定义判断即可【解答】 解： an 是首项为正数的等比数列，公比为 q，若 “q0”是 “对任意的正整数 n， a2n 1+a2n 0”不一
12、定成立，例如：当首项为 2，q=时，各项为 2， 1， ，此时 2+（ 1）=10，+（）=0；而 “对任意的正整数n， a2n 1+a2n 0”，前提是 “q0”，则 “q0”是 “对任意的正整数 n， a2n 1+a2n 0”的必要而不充分条件，故选： C【点评】此题考查了必要条件、 充分条件与充要条件的判断， 熟练掌握各自的定义是解本题的关键6（ 5 分）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D 四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】 KC：双曲线的性质【专题】 11：计
13、算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2，双=410曲线的两条渐近线方程为 y= x，利用四边形 ABCD的面积为 2b，求出 A 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，设 A（x，x），则四边形 ABCD的面积为 2b， 2x?bx=2b， x=1将 A（1， ）代入 x2+y2=4，可得 1+ =4， b2=12，双曲线的方程为=1，故选： D【点评】本题考查双曲线的方程与性质， 考
14、查学生分析解决问题的能力， 属于中档题7（ 5 分）已知 ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则?的值为（）ABCD【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 41：向量法； 5A：平面向量及应用【分析】 由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】 解：如图，11 D、 E 分别是边 AB、BC的中点，且 DE=2EF，?=故选： C【点评】本题考查平面向量的数量积运算， 考查向量加减法的三角形法则， 是中档题8（5 分）已知函数 f（ x）=（a0
15、，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 | f（ x） | =2x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A（0，B，C， D，）【考点】 53：函数的零点与方程根的关系；5B：分段函数的应用【专题】 15：综合题；31：数形结合； 44：数形结合法； 51：函数的性质及应用【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f（ x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围【解答】 解： y=loga（x+1）+1 在 0， +）递减，则 0 a1，12函数 f （x）在 R 上单调递减，则：；解得，；由图象可知
16、，在 0，+）上， | f（x）| =2 x 有且仅有一个解，故在（， 0）上， | f（x）| =2x 同样有且仅有一个解，当 3a 2 即 a 时，联立 | x2+（4a 3） x+3a| =2x，则 =（4a2） 24（3a2） =0，当 13a 2 时，由图象可知，符合条件，综上： a 的取值范围为 ， ，故选： C【点评】本题考查了方程的解个数问题， 以及参数的取值范围， 考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题二、填空题9（ 5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位， 若（1+i）（1bi）=a，则的值为2【考点】 A5：复数的运算【专题】 11：计算题；
17、 35：转化思想； 5N：数系的扩充和复数13【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b 的方程，解得 a，b 的值，进而可得答案【解答】 解：（ 1+i）（1bi） =1+b+（1b）i=a，a，bR，解得：， =2，故答案为： 2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算， 复数相等的充要条件， 难度不大，属于基础题10（ 5 分）（x2） 8 的展开式中 x7 的系数为56（用数字作答）【考点】 DA：二项式定理【专题】 34：方程思想； 35：转化思想； 5P：二项式定理【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解： Tr+1=x16 3r，令 16 3r=7，解得 r=3（ x2 ）
18、 8 的展开式中 x7 的系数为= 56故答案为： 56【点评】本题考查了二项式定理的应用， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题11（ 5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示314【考点】 L!：由三视图求面积、体积【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为 2，高为 1 的平行四边形，故底面面积 S=21=2m2，棱锥的高 h=3m，故体积 V=2m3，【点评】 本题
19、考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键12（ 5 分）如图， AB 是圆的直径，弦 CD与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE的长为【考点】 NC：与圆有关的比例线段15【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 44：数形结合法； 5B：直线与圆【分析】由 BD=ED，可得 BDE为等腰三角形，过D 作 DHAB 于 H，由相交弦定理求得 DH，在 Rt DHE中求出 DE，再由相交弦定理求得CE【解答】 解：如图，过 D 作 DHAB于 H， BE=2AE=2，BD=ED， BH=HE=1，则 AH=2， BH=1
20、， DH2=AH?BH=2，则 DH= ，在 RtDHE中，则，由相交弦定理可得： CE?DE=AE?EB，故答案为：【点评】 本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题13（ 5 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2| a1 | ） f（ ），则 a 的取值范围是（，）【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合【专题】 35：转化思想； 4R：转化法； 51：函数的性质及应用【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可【解答】 解： f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（， 0）上单调递增
21、， f（x）在区间 0， +）上单调递减，则 f（ 2| a 1| ）f （），等价为 f（ 2| a 1| ） f（），16即2| a 1| ，则 | a1| ，即 a ，故答案为：（ ， ）【点评】本题主要考查不等式的求解， 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键14（ 5 分）设抛物线（ t 为参数， p 0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0）， AF与 BC相交于点 E若| CF| =2| AF| ，且 ACE的面积为 3，则 p 的值为【考点】 K8：抛物线的性质； QH：参数方程化成普通方程【专题】
22、11：计算题； 29：规律型； 31：数形结合； 35：转化思想； 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程【分析】化简参数方程为普通方程，求出F 与 l 的方程，然后求解A 的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可【解答】 解：抛物线（ t 为参数， p 0）的普通方程为： y2=2px 焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0），AF 与 BC相交于点 E | CF| =2| AF| ，| CF| =3p，| AB| =| AF| =p，A（p，）， ACE的面积为 3，可得=S ACE即：=3，解得 p=故答案为：17【点评】
23、本题考查抛物线的简单性质的应用， 抛物线的参数方程的应用， 考查分析问题解决问题的能力三、计算题15（ 13 分）已知函数 f （x）=4tanxsin（x）cos（x）（ 1）求 f （x）的定义域与最小正周期；（ 2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【专题】 32：分类讨论； 33：函数思想； 4R：转化法； 57：三角函数的图像与性质【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可（ 2）利用三角函数的单调性进行求解即可【解答】 解：（1） f（ x） =4tanxsin
24、（x）cos（x） xk+，即函数的定义域为 x| x k+， k Z ，则 f（ x）=4tanxcosx?（ cosx+ sinx）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x18=2sin（2x），则函数的周期 T=；（ 2）由 2k 2x2k+，k Z，得 k x k+，kZ，即函数的增区间为（ k，k+），kZ，当 k=0 时，增区间为（，），kZ， x ， ，此时 x（， ，由 2k+ 2x2k+， kZ，得 k+ x k+， k Z，即函数的减区间为（ k+，k+）， kZ，当 k=1 时，减区间为（，）
25、， k Z， x ， ，此时 x ，），即在区间 ， 上，函数的减区间为 ，），增区间为（， 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质， 利用三角函数的诱导公式， 两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键16（ 13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1， 2， 3 的人数分别为 2， 4， 4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（ I）设 A 为事件 “选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件 A 发生的概率；19（ II）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值， 求随机变量 X 的分布列和数
26、学期望【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差【专题】 12：应用题； 38：对应思想； 4A：数学模型法； 5I：概率与统计【分析】（ I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A 发生的概率；（）根据题意知随机变量X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】 解：（ I）由已知得：，所以，事件 A 发生的概率为；（ 5 分）（）随机变量X 的所有可能取值为0， 1， 2；（ 6 分）计算，（ 7 分），（ 8 分）；（ 9 分）所以，随机变量X 的分布列为X012P随机变量 X 的数学期望为（ 12 分）【点评】本题考查了离散型随
27、机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题17（ 13 分）如图，正方形 ABCD的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB=BE=220（ 1）求证： EG平面 ADF；（ 2）求二面角 OEFC 的正弦值；（ 3）设 H 为线段 AF上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF所成角的正弦值【考点】 LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法【专题】 15：综合题； 35：转化思想； 44：数形结合法； 5F：空间位置关系与距离【分析】（1）取 AD 的中点 I，连接 FI，证明四边形
28、EFIG是平行四边形，可得EGFI，利用线面平行的判定定理证明： EG平面 ADF；（ 2）建立如图所示的坐标系 Oxyz，求出平面 OEF的法向量，平面 OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角 OEF C 的正弦值；（ 3）求出=（，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面 CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：取 AD 的中点 I，连接 FI，矩形 OBEF， EF OB，EF=OB， G， I 是中点， GIBD，GI= BD O 是正方形 ABCD的中心， OB= BD EFGI， EF=GI，21四边形 EFIG是平行四边形， EGFI， EG?平面 ADF，FI? 平面
29、 ADF， EG平面 ADF；（ 2）解：建立如图所示的坐标系 O xyz，则 B（0， ，0），C（ ，0，0），E（0，2），F（0，0，2），设平面 CEF的法向量为 =（x，y，z），则，取 =（ ，0，1） OC平面 OEF，平面 OEF的法向量为=（1，0，0）， | cos ， | =二面角 OEF C 的正弦值为=；（ 3）解： AH= HF，=（，0，）设 H（a，b，c），则=（a+，b， c）=（，0，） a=，b=0， c= ，=（，），直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 =| cos， | =22【点评】 本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O EFC 的正
30、弦值，直线 BH 和平面 CEF所成角的正弦值， 考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题18（ 13 分）已知 an 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的 n N+，bn 是 an 和 an+1 的等比中项（ 1）设 cn=bn+1 2 bn2，nN+，求证：数列 cn 是等差数列；（ 2）设 a1=d，Tn=（ 1）kbk2，nN* ，求证：【考点】 83：等差数列的性质； 8K：数列与不等式的综合【专题】 36：整体思想； 4R：转化法； 54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列 cn 的通项公式，结合等差数列的定义进行证
31、明即可（ 2）求出 Tn= （ 1） kbk2 的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可【解答】 证明：（1） an 是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的 nN+， bn 是 an 和 an+1 的等比中项 cn=bb =an +1an+2anan+1=2dan+1， cn+1 cn=2d（an+2an+1）=2d2 为定值；数列 cn 是等差数列；（ 2） Tn= （ 1） kbk2=（ b12+b22） +（ b32+b42） + +（ b2n 12+b2n2） =2d（a2+a4+ +a2n）=2d=2d2n（ n+1），=（1+）=（1）23即不等式成立【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合， 根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度19（ 14 分）设椭圆+=1（ a）的右焦点为F，右顶点为A已知+ =，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围【考点】 K4：椭圆的性质【专题】 15：综合题； 35：转化思想； 49：综合法；