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1、2020 届高三第一次调研考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .1已知集合 Mx x22 x0 ， N2, 1,0,1,2 ，则 M N（）A B 1C 0,1D 1,0,122 i 3 xi3y 5 i（i为虚数单位），其中 x ，y是实数，则x yi等于（）设A 5B 13C2 2D 23某高校调查了320 名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是175，30 ，样本数据分组为175，20 ， 20，225 ，225，25 ， 25，275 ， 275，30
2、 根据频率分布直方图，这 320名学生中每周的自习时间不足225小时的人数是（）A 68B72C76D804七人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是（）A 3600 种B 1440 种C 4820 种D 4800 种5正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 DC ， BC 的中点，那么 EF（）111AB1C11ADD11A AB+ADBADAB2ABAD22222226等比数列 an的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，若 S69S3 ， S562 ，则 a1（）A 2B 2C 5D 37x2y21(a0,b0)的一条渐近线为 y2x ，且一个焦点与抛物线y24x的
3、焦点相同，设双曲线a2b2则此双曲线的方程为（）A 5 x25 y21B 5y25 x21C 5x25 y21D 5 y25x2144448将函数y sin x 的图象向左平移个单位，得到函数y f(x)的图象，则下列说法正确的是（）2A y f (x)是奇函数；B y f (x)的周期为 ；D y f (x)的图象关于点对称C y f (x)的图象关于直线对称；( ，0)x22数学试题（理科）第1页，共9页9设 a ， b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（）A 存在一条直线a ， a ， a .B存在一条直线a ， a ?， a .C存在两条平行直线a ， b ，
4、a ?， b ?， a ， b .D存在两条异面直线a ， b ， a ?， b ?， a ， b .10已知 F 是抛物线 C : y2x2 的焦点， N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交于点 M ，若 2FMMN ，则 FN（）513D 1A B C82811关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120 名同学每人随机写下一个x, y 都小于1 的正实数对 ( x, y) ，再统计其中x, y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x, y) 的个数 m ，最后根据统计个数m 估计的
5、值如果统计结果是m=34 ，那么可以估计的值为（）23471753A B CD715151712已知函数 f ( x)| ln(x2 1x) | ，设 aflog 3 0.2 ， b f3 02 ， c f311 ，则（）A a b cB b a cC c a bD c b a二填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分 .5，则函数y 4x1的最小值为 _13已知 x4x4514在ABC 中， B， AB2，BC3，则 sin A _.415设 an 是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和已知 S1, S2 , S4 成等比数列，且 a35 ，则数列 an 的通项公式为16在三棱锥
6、 ABCD 中，底面 BCD 是直角三角形且BCCD ，斜边 BD 上的高为 1三棱锥 ABCD的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16，则三棱锥 A BCD 体积的最大值为 _ 三解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 23题为选考题，考生根据要求作答.数学试题（理科）第2页，共9页（一）必考题：共60分。17（本小题满分12 分）已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足 sinA sinB sinCsinBsinCsinA sinBsinC（ 1）求角 A ；（ 2）若 ABC 的外接圆半径为 1，求
7、 ABC 的面积 S 的最大值18（本小题满分12 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC , PC3，ACB，D,E分别为线段AB,BC上的点，且2CDDE2，CE2EB2P（ 1）证明： DE平面 PCD ；EC（ 2）求二面角 APD C 的余弦值BDA19（本小题满分12 分）已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线（ 1）求曲线的方程；（ 2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点S(x0 ,0) ，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由20（本小题满分12 分）已知函数f ( x)2ln( x1)( x1)2 .
8、数学试题（理科）第3页，共9页（ 1）求函数f ( x) 的单调递增区间；（ 2）若关于 x 的方程f ( x)x23xa0 在区间 2， 4内恰有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围21（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过4 次每次收取维修费1000 元 .某医院准备一次性购买2 台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，
9、为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率.记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？（二）选考题：共10分。23（本小题满分10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知 f (x)x1axa1 （ 1）当 a1 时，求不等式f (x)3 的解集；（ 2）若 x1时，不等式f (x)x2 恒成立，求 a 的取值范围2020 届高三第一次调研
10、考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案BABACBCDDABC1【解析】由 M中不等式得x x20，解得 0x2，即 M0，2，M N1，故选 B2【解析】由2i 3 xi3y5 i ，得 6x3 2x i3y5 i ，6 x3，解得x3yi34i5故选 A， x3 2xy 5y 4数学试题（理科）第4页，共9页3【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足 225小时的人数是320002 0 07 2 5 人72故选 B 4【解析】除甲乙外，其余5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插6 个空位有 A62种，不同的排法种数是A55
11、A623600 种，故选 A.5【解析】因为点E 是 CD 的中点，所以 EC1 AB ，点 F 是 BC 的中点，所以 CF1 CB1 AD ，所以222EF ECCF1 AB1 AD ，故选 C22q6q36【解析】由题意得q1由 S69S3 得a119a1 1， 1q39 ， q2 又1q1qa112531a62 ， a1 2故选 BS5121c1a215y27 【解析】因为抛物线的焦点为b2解得5，双曲线方程为 5x2(1,0), 所以41 .a24c2a2b2b5故选 C.8【解析】函数y sin x 的图象向左平移2个单位后，得到函数f ( x)sin( x)cos x 的图象，2
12、f (x)cos x 为偶函数， 排除 A ； f ( x)cos x 的周期为 2 ，排除 B ；因为 f ()cos=0 ，所以 f ( x)22的图象不关于直线x对称，排除 C. 故选 D29【解析】对于 A ，若存在一条直线 a ， a ， a ，则或与相交，若，则存在一条直线 a ，使得 a ， a ，所以选项 A 的内容是的一个必要条件；同理，选项B，C 的内容也是 的一个必要条件而不是充分条件；对于 D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项 D 的内容是的一个充分条件故选D 10【解析】由题意得点F 的坐标为 (0,1) ，设点 M 的坐标 x
13、0, y0 ，点 N 的坐标a,0，1)，MN8所以向量： FM( x0 , y0a x0 ,y0，由向量线性关系可得：3x0a ， 2 y01y0 ，解84得： y01 ，代入抛物线方程可得： x06，则 a6 ，由两点之间的距离公式可得：FN5 故121248选 A 0x11，两个数能与1 构成钝11【解析】 由题意， 120 对都小于 1 的正实数 (x, y) ，满足y，面积为010x11 ，统计两数能与角三角形的三边的数对x, y ，满足 x2y21 且0y1 ，面积为41构成钝角xy12三角形三边的数对x, y的个数为 m 34，则 3441 ，47 ，故选 B12021512【解
14、析】 f xlnx2 1 x ， fxlnx21xln1lnx21xf x ，x21 x数学试题（理科）第5页，共9页fxfxfxx0f xlnx21xaflog3 0.2flog3 5cf311f3111log3 5203 0213113f 311flog 3 5f3 02ca bC4520.13y 4x1(4x 5)15 2 5 7.4x 51x 34x 54x 54x 5214AC2 AB2 BC2 2ABBC cos B 2 9 622 5AC5BCAC2sin Asin B35sin A 310sin A210 .215 an d (d0)S152d , S2103d ,S4202d
15、S2S S2)( d525d210d0,d0,d2214( 1 0 d 3) d( 2 02)ana3(n3)d52(n3)2n 11616AB=4ADxBD16x2BDCH =1CHABDA BCDV11 x16x21x4 16x23264x28.3701721 236017121abcb 1ca bcb2c2a2bc 2b2c2a2cosAbc1 4cosA2bc2bc0A2 51A 632a2Ra2RsinA2sin3 8sinA33b2c2bc 2bcbcbc 9bc3 ，（bc10S1 bcsinA 1333 3 （bc112224ABCS3312243118.121PCABCDEA
16、BCP数学试题（理科）第6页，共9页CEADBPCDE . 1CE2, CDDE2CDECDDE 2PCCDCPCPCDCDPCD 3 1DEPCD 42DDFCEFDFFCFE1EB1FB2ACBDFFB22DF /AC ACBC33DF3AC 522CA CB CPxyzCCxyz 6C (0,0,0) P(0,0,3)A( 3 ,0,0) D (1,1,0)12DP (1,1,3), DA,1,0) 7(2PADn1x1, y1, z1n1 DP0 n1 DA0zPCFEByA Dxx1y13z101y10 8x12x12y11, z11n1(2,1,1) 9n11DEPCDPCDn2E
17、DE(0,2,0) ED(1, 1,0),n2 =(1,1,0).10cosn1, n2n1 n213| n1 | n226116APDC3APDC61219121x 31x32341256数学试题（理科）第7页，共9页 7x 08x 0x 0x 0kSPkSQy1 y2829my11 x0my21 x0x0 29 m2 9 1 x0x03mR kSP kSQ82109 12x09x03mR kSPkSQ81112189 1 x01220121f (x)(1, ) 1f ( x)=21( x 1)2x(x2)2x 1x1x1f ( x)01x23f ( x)(1,2) 4(1,22f (x)x
18、23xa0xa1 2ln( x1)0g( x)x a12ln( x1)5g ( x)12x3 x1.6x1x1g ( x)0x3g (x)01 x 37g( x) 2 33 4 8f ( x)x23xa024g (2)0g (3)0 91g (4)0a30a42ln 2010a52ln 302ln35a2ln 2411a2ln35,2ln 24)1221121 X0123456. 1 1P X 01 11P X 111 21101010010525P X 211213P X 313121 15552251 01 02210555 0数学试题（理科）第8页，共9页P X 42 2 31 27P
19、X 52 3 26551052551025P X6339 3121010100XX0123456P113117691002525502525100 52Y1Y170009000110001300015000P1711769100502525100 7Y11EY1177000119000711000613000915000 10720 ( ). 8502510010025Y2Y2100001100012000P67691002510010Y21EY26710000611000912000 10420 ( ).1110025100EY1EY2.121023101a1f ( x)3x1x 3 1x1x1x3x2x2 21x 0x1x3,13 3x0x 1 x3x1x1 4f (x)3(,21,) 52x 1f ( x)x2axa11 6axa11 ax a11a(x1)2 a(x1)0 7x1aRa(x1)2 8a(x1)0a0 9a0,)10数学试题（理科）第9页，共9页