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1、南通市 2017 届高三第一次调研测试讲评建议第 11题本题考查平面向量的数量积、正余弦定理等知识，考查学生运算求解能力uuur uuuruuuruuuruuur uuur法一由BC BA2 ACABCA CB ，得2bc b2c2a2ac a2c2b2ab a2b2c2，2bc2ac2ab化简可得 a2c 由正弦定理得 sin Aa2 sin Cc法二 建立平面直角坐标系，设A 0,a， B b,0， Cc,0，uuuruuuruuurc b ，0 ，所以 ACc ， a ， ABb ， a ， BCuuuruuuruuurAb ，ab c ，0 ，BA， CAc ，a ， CBuuuruu
2、uruuuruuuruuur uuur则由 BC BA2ACABCA CB得22cb220 ，BOCxb2ac所以 b22cbc2cb 22 a2b2，所以 BC2AB 由正弦定理得 sin ABC2 第 11题图sin CAB第 12题本题考查导数的几何意义和三角函数基本运算法一 设点 P 的横坐标为 x0 ，则 2sin x0a cos x0 ， 2cos x0a sin x01 ，所以 4sin2x01 因为 x1 ， cos x030 ， ，所以 sin x0，222所以 a23 3法二 设点 P 的横坐标为 x0，则 2sin x0a cos x0 ，所以 tan xa02因为 2c
3、os x0a sin x01，所以2a sin x0cosx01 ，所以2atan x01 ，所以a21 ，所以 a23 tan2x0a 21134第 13 题 本题主要考查分段函数的图象和性质、一元二次不等式等基础知识，考查数形结和、分类讨论等思想及运算求解能力法一函数 fx的图象如右图，知图象关于直线x2 对称因为 a 220 且 a 22a 恒成立，1所以 a 22 4 且 a 224 a ，解得 a, 2U2,法二函数 fx 的图象如右图，由图可知，y当 0 x 4 时， f x4 ，22 4 ，得 a2 或 a2 4所以 a当 a2 时， a22a ，故 a2 O4当 a2 时， a
4、 224 a ，故 a 2 第13题图所以 a, 2U2,第 14 题本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力y法一：设BC 的中点为 Mx, y ，因为 OB2OM 2BM 2OM 2AM2，B所以 4x2y22y 12x 1，22化简得x113，O2y22所以点 M 的轨迹是以11为圆心，32为半径的圆，2，22第 14题图所以 AM 的取值范围是62 ， 622 ，2所以 BC 的取值范围是62 ， 62法二：设 BC 的中点为 M ，设 AMx ， OMy ，因为 OC2OM2CM2OM2AM2 ，所以 x2y24 y因为 OA2 ，所以 xy 2 ，x 2 y ， y2 x
5、 如图所示，626262 ， 62O2可得 x，222所以 BC 的取值范围第 14题图xMCAxx2是62，62第 17 题本题考查直线方程、椭圆的方程和性质等知识，考查学生的运算能力另解一：设 P x1 , y1， Q x2 , 2y由已知可得，x10 ， x12y121Q2因为 OPOQ ，所以 x1 x22y10 POx因为 OP2x1 2y12 ， OQ 2x222，所以1111第 18题图OP2OQ2x12y12x222111x12x12y1 22 y122x1 2y122 x12y12x2x1 22x122x1221，221222x12112 xy2 x112x1所以111OP2
6、OQ 2另解二：设 Qr cos, r sin，其中 OQr ，PR cos , Rsin ，即 PRsin, R cos，其中 OP R22由已知可得， r sin2 ，所以11sin 2r 22OQ 2Rsin21，所以 1sin2因为R cos2cos22R22所以 11sin2sin 2cos21r 2R222变题：在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 C : x2y21ab0 的离心率 e 的值为a 2b22 ，焦点到准线的距离为12(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 Q 为直线 yt t0 上一点， P 为椭圆 上的一点，且满足 OPOQ， 11OP2OQ 2为定值，求实数t 的
7、值解： (1) 因为 c2 ， a2c 1 ，所以 a2 ， c 1 ， b 1，a2c3椭圆 C 的方程为 x2y21 2(2) 由题意知 OP 的斜率存在当 OP的斜率为 0 时，OP2，OQt ， 所以1 21 21 1 OPOQ2t当 OP的斜率不为0 时，设直线 OP 方程为 ykx x2y21,得 2k21 x22 ，由 2ykx解得 x22，所以22k2，2k2y2k211所以 OP22k22 2k21因为 OPOQ ，所以直线 OQ 方程为 y1 x kyt ,得 xtk ，所以 OQ 2t2 k2由1y1 xk所以112kOP2OQ 22k221112 t22t2 k 2t2
8、 2k 212因为11为定值，所以 2 t20 ，OP2OQ 2又因为 t0 ，所以 t2 当 t2时，由上述讨论可知111 OP2OQ 2解法二：设 Px1, y1， Q x2 ,t，因为 OPOQ ，所以 x1x2y1t0 因为 OP2x12y12 ， OQ2x22t2 ，所以1111OP2OQ2x12y12x22t 2111x12x12y12ty12t 2x12y12t 2 x12y12x2x12t 2x1 2t 2x1 2t 2t2 x12y12221 22 12tx112x1t2x112 x12t221t 22 ，t2x 22t2x12214因为1 21 2 为定值，所以 2t 20
9、 ，OPOQ又因为 t0 ，所以 t2 拓展：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C :x2y2a b 0 设 Q 为a2b21直线 yt 上一点， P 为椭圆上的一点，且满足OPOQ ，11OP2OQ 2为定值，则 tab c第 19 题 本题考查函数的导数有关知识，利用导数研究最值、利用零点存在定理研究函数零点的应用能力另解：由（ 2）知，当 a 0时，函数 f ( x) 在 (0，+ ) 上最多有一个零点因为函数 f ( x) 有两个零点，所以 a 0 设函数 f ( x)ax2xlnx 的两个零点为 x1 , x2 ，不妨设 x11 则 ln x1x11，所以 0ax12 - x1
10、- lnx1 ax12 - x1 - (x11) ax12 - 2x1 1 所以 2 x1 ax121 2 x1a ，（x1 0）所以 0 a 1接下来的证明仿照法一第 20 题本题考查等差等比数列的通项公式和性质等知识，考查学生推理运算能力变题： 若 k1k32k2 ，问是否存在正整数x ， y ， z (xyz) 使得 kx2kz3k y ，并证明解：不存在由 ak qx 1akakkxk1dkkak q x 11x，得：x1111dak q y 11ak qz 11同理可得： kyk11， kzk11dd又因为k2k1d ak 2ak1ak1q1， k3k2dak2ak 2 ak 2 q
11、 1 ，两式相除，得 qk3k2k2k1由题意知 q1 ，记 qm （ pm ， p ， m 互质）p假设存在正整数x ， y ， z (xyz) 使得 kx2kz3ky ，pxpz3 py则 qx2q z3q y ，即2，mmm5my xpz ymz x所以23，所以 3z y2pz ypmmpy x （）因为 p ， m 互质且 p1 ，所以（）右边非整数，左边是整数，不成立综上可知不存在第 23 题 本题考查抛物线的定义、方程、性质和直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生数学建模和利用导数研究函数最值问题的能力另解：由（ 1）知 F (0,1) ，又因为直线 l 与抛物线交于两点，所以直
12、线的斜率存在且不为零，故设直线 l 的方程为 yk x 1(k0) 因点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，所以P(1, 0)k设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，切点 E( x0 , y0 ) 由抛物线的定义AFy11,BFy21，所以 ABy1y12 由x24 y, 消去 x 得 y2(2 4k 2 ) y 10 ，yk x1则 y1, 212k 22k4k 2，所以 AB44k 2 ，x2xPE 的斜率为x，又切线过点 P, E ，由 y，求导得 y ，所以切线0422则切线的斜率为yo，所以 x0y0得 x02，x012x01kkk点 E 到直线 l 的距离 d| kx0y01| 整理得 d12k 2，1k2k所以 S1ABd2(1 k2 )1k 2，令 t1k 2，因为 k0 ，所以2k22t322t1，则 S，求导得 S 2t(t3) ，t 21(t 2 1)2当 t(1, 3)时， S0 ，当 t(3,)时，S0，所以 S在(1,3) 上单调递减，在(3,) 上递增，则当t3 时，面积取得最小值33 6