2019年四川省自贡市高考数学一诊试卷(文科).docx

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1、2019 年四川省自贡市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知 A x|x1 ， B x|x22x30 ，则 AB（）A x|1 x 3B x|x 1 或 x1C x|x 3D x|x12（5 分）若（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是（）A 2iB 2iC 2D 23（5 分）等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a7 11，则 S13（）A66B99C110D1434（5 分）若，则 sin2x（）A BCD5（5 分）在矩形 ABCD 中， AB8，AD6，若向

2、该矩形内随机投一点 P，那么使 ABP 与 ADP 的面积都小于 4 的概率为（）A BCD6（5 分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的a， b 分别为 63，36，则输出的 a（）A 3B6C 9D18n，则a1a2a3 是数列 an是递增数列的（）条件7（5 分）已知数列 a A 充分不必要B必要不充分第1页（共 23页）C充要D既不充分也不必要8（5 分）将函数 f（x） sin2x 向右平移个单位后得到函数 g（x），则 g（x）具有性质（）A 在上单调递增，为偶函数B最大值为 1，图象关于直线对称C在上单调递增，为

3、奇函数D周期为 ，图象关于点对称9（ 5 分）在四边形 ABCD 中，AC 2，BD 1，则（）A 5B5C 3D 310（ 5 分）已知函数 f（ x）（ x1）（ ax+c）（a，c 为实数）为偶函数，且在（0，+）单调递减，则 f（ 1x） 0 的解集为（）A（0，2）B（2，0）C（， 2）（ 0， +）D（， 0）（ 2， +）11（5 分）若长方体1 1 11 的顶点都在体积为288的球 O 的球面上，ABCDA B C D则长方体 ABCDA1 1 1 1 的表面积的最大值等于（）B C DA576B288C144D7212（ 5 分）对于实数a，b，m，下列说法： 若 ab，则

4、 am2bm2； 若 ab，则 a|a|b|b|； 若 ba0，m0，则； 若 ab0，且|lna|lnb|，则，其中正确的命题的个数（）A1B2C3D4二、填空题（每题4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（ 5 分） sin（ 675）14（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 ux+2y 的最小值为15（ 5 分）满分为 100 分的试卷， 60 分为及格线，若满分为100 分的测试卷，100 人参加测试，将这100 人的卷面分数按照 24，36），36 ，48）， ， 84 ，第2页（共 23页）96分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学

5、生的卷面得分采用“开方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高及格率（实数 a 的取整等于不超过 a 的最大整数），如：某位学生卷面 49 分，则换算成 70 分作为他的最终考试成绩则按照这种方式， 这次测试的不及格的人数变为16（ 5 分）已知 f（ x） ax3+3x21 存在唯一的零点x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是三、解答题（本大题共6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（ 12 分）已知向量（ 1）当时，求的值；（ 2）已知钝角 ABC 中，角 B 为钝角， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且c2bsin（A+B），若函数，求 f（B）的值

6、18（ 12 分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩” 还是反对父母生 “二孩”，现已得知 100 人中同意父母生 “二孩”占 60%，统计情况如表：第3页（共 23页）同意不同意合计男生a5女生40d合计100（ 1）求 a，d 的值；（ 2）根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；附：20）0.150.1000.0500.0250.010P（ kkk02.0722.7063.8415.0246.635（12分）若数列n的前n项和为 n，首项

7、 a10，且19 a S（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 an 0，令，求数列 bn 的前 n 项和 Tn20（ 12 分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且平面 PAD底面 ABCD， BAD ABC 90（ 1）证明： PD AB；（ 2）点 M 在棱 PC 上，且 CMCP，若三棱锥 DACM 的体积为，求实数 的值21（ 12 分）已知函数（ 1）若，求 f（x）的单调区间；（ 2 ）若f （ x ） 有极 值， 对任 意的x1 ， x2 ， 当0 x1 x2 ， 存 在x0 使第4页（共 23页），试比较 f（ x0）与的大小22（ 10 分）在直

8、角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为：（t 为参数，?0，），以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为：（ 1）求圆 C 的直角坐标方程；（ 2）设点 P（ 1， 1），若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 |PA|PB|的值23设函数 f（x） |ax+1|+|x1|（xR）（ 1）当 a1 时，求不等式 f（x） 2 的解集；（ 2）对任意实数 x2，3，都有 f（x） 2x3 成立，求实数 a 的取值范围第5页（共 23页）2019 年四川省自贡市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5

9、 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知 A x|x1 ， B x|x22x30 ，则 AB（）A x|1 x 3B x|x 1 或 x1C x|x 3D x|x1【分析】 求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案【解答】 解： B x|1x3 ， A B x|1x3 故选： A【点评】 本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2（5 分）若（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是（）A 2iB 2iC 2D 2【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 解：，复数 z 的虚部是 2故选： C

10、【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题（分）等差数列n的前n项和为n，若 a7 11，则 S13（）3 5 a SA66B99C110D143【分析】 等差数列的前 n 项和公式结合等差中项可得【解答】 解： S1313a7143故选： D【点评】 本题考查了等差数列的前n 项和，是基础题4（5 分）若，则 sin2x（）第6页（共 23页）ABCD【分析】 由 sin2x cos（） cos2（），展开倍角公式，结合已知条件求解【解答】 解：由，得 sin2xcos（） cos2（）故选： A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是

11、基础题5（5 分）在矩形 ABCD 中， AB8，AD6，若向该矩形内随机投一点P，那么使 ABP 与 ADP 的面积都小于 4 的概率为（）ABCD【分析】本题是一个几何概型的概率， 以 AB 为底边，由 ABP 与 ADP 的面积都小于 4，得到两个三角形的高即为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积都小于 4，由于 S ABP ABh4h4，则点 P 到 AB 的距离 h1，同样， S ABPAD d 3d4， P 点到 AD 的距离要小于，满足条件的 P 的区域如图，其表示的区域为图中

12、阴影部分，它的面积是1使得 ABP 与 ADP 的面积都小于 4 概率为： p故选： A第7页（共 23页）【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5 分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的a， b 分别为 63，36，则输出的 a（）A3B6C9D18【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a， b 的值，即可得到结论【解答】 解：由 a 63，b36，满足 ab，则 a63 3627，由 ab，则 b 3627 9，由 ab，则

13、 a 27918，由 ab，则 a 1899，由 ab，则退出循环，输出 a 9故选： C【点评】本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋第8页（共 23页）值语句的运用问题，是基础题7（5 分）已知数列 an ，则 a1a2a3 是数列 an 是递增数列的（）条件A 充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【分析】 由数列 an 是递增数列，当数列 an 是递增数列，则an+1an 恒成立，即 a1 a2a3 ，数列【解答】 解： 数列 an是递增数列，例1/ 2/3/4是 1，2，3，1，数列 an 不为a aa a递增数列，即 a1a2 a3 是数列 an 是

14、递增数列的不充分条件当数列 an 是递增数列，则 a（n+1） an 恒成立，即 a1a2 a3，即 a1a2 a3 是数列 an 是递增数列的必要条件故 a1a2 a3 是数列 an 是递增数列的必要不充分条件，故选： B【点评】 本题考查了等差数列的概念，特殊与一般的思想方法，属简单易错题8（5 分）将函数 f（x） sin2x 向右平移个单位后得到函数g（x），则 g（x）具有性质（）A 在上单调递增，为偶函数B最大值为 1，图象关于直线对称C在上单调递增，为奇函数D周期为 ，图象关于点对称【分析】 首先求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的g（x）的性质求出结果【解答】解：函数 f

15、（ x） sin2x 向右平移个单位后得到函数g（x） sin（2x） cos2x，当 x时，函数的值为0，故： B 错误函数 g（x）为偶函数第9页（共 23页）故： C 错误当 x时， g（），故： D 错误故选： A【点评】本题考查的知识要点： 正弦型函数性质的应用， 函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9（ 5 分）在四边形 ABCD 中，AC 2，BD 1，则（）A5B5C 3D3【分析】 作为选择题，此题更适合用特例法，让AC，BD 互相垂直平分，得到菱形 ABCD，易得边长，再进一步变换式中向量，用数量积求解【解答】 解：不妨用特例

16、法完成，如图，在菱形 ABCD 中， BD1，AC2，则 ABBC ，2 4 5cosEBF，在 ABC 中，求得 cosABC， 3，第 10 页（共 23 页）故选： C【点评】此题考查了特例法解选择题，向量相等，向量加法，数量积等，难度适中10（ 5 分）已知函数f（ x）（ x1）（ ax+c）（a，c 为实数）为偶函数，且在（0，+）单调递减，则f（ 1x） 0 的解集为（）A （0，2）B（ 2，0）C（， 2）（ 0， +）D（， 0）（ 2， +）【分析】 根据题意，由函数的解析式可得f（1） 0，结合函数的奇偶性与单调性可得 f（1x） 0? f（1x） f（1）? f（ |

17、1 x|） f（1）? |1 x| 1，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】 解：根据题意，函数 f（x）（ x 1）（ax+c），则 f（1） 0，又由 f（x）为偶函数且在（ 0，+）单调递减，则 f（ 1 x） 0? f（1x） f（1）? f（ |1x|） f（1）? |1 x| 1，解可得： x0 或 x2，即不等式的解集为（， 0）（ 2， +）；故选： D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用， 涉及二次函数的性质， 注意特殊值的应用，属于基础题11（5 分）若长方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点都在体积为288的球 O 的球面上，则长方体 ABCDA1 B1C

18、1D1 的表面积的最大值等于（）A576B288C144D72【分析】设出长方体的三度， 由球的体积求出长方体的对角线的长， 得到长方体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求最大值【解答】解：设长方体的三度为：a，b， c，球的直径就是长方体的对角线的长，再设球的半径为R，则由，得 R 6 a2+b2+c2 122 144，长方体的表面积为： 2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2 288当 abc 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故选： B第 11 页（共 23 页）【点评】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，是中

19、档题12（ 5 分）对于实数a，b，m，下列说法： 若 ab，则 am2bm2； 若 ab，则 a|a|b|b|； 若 ba0，m0，则； 若 ab0，且|lna|lnb|，则，其中正确的命题的个数（）A1B2C3D4【分析】由 ab，m0 可判断 ；考虑函数 yx|x|的单调性，可判断 ；由作差法和不等式的性质，可判断 ；由条件可得 ab 1， a 1，结合对勾函数的单调性可判断 【解答】 解：于实数 a，b，m， 若 ab，如果 m0，则 am2bm2 不成立，故 错误； 若 ab，由 y x|x|为奇函数，且 x0 时函数为增函数， 可得函数 y 在 R 上为增函数，则 a|a|b|b|

20、，故 正确； 若 ba0，m 0，0，则，故 正确； 若 ab0，且 |lna|lnb|，可得 lna+lnb 0，即 ab1，由 a b，可得 a1，则 2a+b2a+ 在 a 1 递增，即有 2a+b（3，+），故 错误故选： B【点评】 本题考查命题的真假判断，注意运用反例法和函数的单调性、作差法，考查化简运算能力，属于基础题二、填空题（每题4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（ 5 分） sin（ 675）【分析】 直接利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】 解： sin（ 675） sin（ 720 +45） sin45故答案为：【点评】 本题考查三角函数的化简求值，考查

21、诱导公式的应用，是基础题第 12 页（共 23 页）14（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 ux+2y 的最小值为【分析】由约束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】 解：由变量 x，y 满足约束条件作出可行域如图，令 zx+2y，化为 yx+，由图可知，当直线yx+过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，由，解得 A（，1）z 有最小值为：故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划， 考查了数形结合的解题思想方法， 是中档题15（ 5 分）满分为 100 分的试卷， 60 分为及格线，若满分为 100 分的测试卷

22、， 100 人参加测试，将这 100 人的卷面分数按照 24，36），36 ，48）， ， 84 ，96分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高及格率（实数 a 的取整等于不超过 a 的最大整数），如：某位学生卷面 49 分，则换算成 70 分作为他的最终考试成绩则按照这种方式， 这次测试的不及格的人数变为 18 第 13 页（共 23 页）【分析】 由题意卷面 36 分及 36 分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面 36 分以下的学生的频率为： 0.015120.18，由此能求出这次测试的不及格的

23、人数【解答】 解：由题意卷面 36 分及 36 分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36 分以下的学生的频率为：0.01512 0.18，所以，按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为：1000.18 18故答案为： 18【点评】本题考查及格率求法， 考查频率分直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（ 5 分）已知 f（ x） ax3+3x21 存在唯一的零点x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（， 2）【分析】讨论 a 的取值范围， 求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可【解答】 解：（i）当 a0 时， f（x） 3x

24、2+1，令 f（ x） 0，解得 x，函数 f（ x）有两个零点，舍去（ ii ）当 a0 时， f（ x） 3ax2+6x 3ax（ x+ ），令 f（ x） 0，解得 x0或 第 14 页（共 23 页） 当 a0 时， 0，当 x或 x0，f（ x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 0 x时， f（ x） 0，此时函数 f （x）单调递增故 x是函数 f（x）的极大值点， 0 是函数 f（x）的极小值点函数 f（x） ax3+3x2 1 存在唯一的零点x0，且 x0 0，则 f（）+110，即 a24 得 a2（舍）或 a 2 当 a 0 时，0，当 x或 x 0 时， f（ x） 0

25、，此时函数 f（ x）单调递增；当x0 时， f（ x） 0，此时函数 f（x）单调递减 x是函数 f（x）的极大值点， 0 是函数 f（ x）的极小值点 f（0） 10，函数 f（x）在（ 0， +）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a 的取值范围是（，2）故答案为：（， 2）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点， 考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 本资料分享自千人QQ 群 323031380 高中数学资源大全第 15 页（共 23 页）17（ 12 分）已

26、知向量（ 1）当时，求的值；（ 2）已知钝角 ABC 中，角 B 为钝角， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且c2bsin（A+B），若函数，求 f（B）的值【分析】（1）利用平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式可求tanx 的值，化简所求即可计算得解（ 2）利用正弦定理化简已知等式，结合sinC0，可求，结合角 B 为钝角知：，化简函数利用特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】 解：（1）向量，即，（ 2） c 2bsin（A+B）， sinC2sinBsinC， sinC0，由角 B 为钝角知：，【点评】本题主要考查了平面向量垂直的性质， 同角三角函数基本关系式， 正弦定理

27、，特殊角的三角函数值的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（ 12 分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩” 还是反对父母生 “二孩”，现已得知 100 人中同意父母生 “二孩”第 16 页（共 23 页）占 60%，统计情况如表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（ 1）求 a，d 的值；（ 2）根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；附：P（ k2k0）0.150.1000.0500.0250.010k02.0722.7

28、063.8415.0246.635【分析】（1）根据题意计算列联表中数据a、d 的值；（ 2）由列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】 解：（1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，所以 a604020，d40 5 35；（ 2）由列联表可得K2 5.024，而 P（K2 5.024） 2.5%，所以有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关【点评】 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题19（ 12 分）若数列 an 的前 n 项和为 Sn，首项 a10，且（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 an 0，令，求数列 bn 的前 n

29、项和 Tn【分析】（1）由 a10，且得 2Sn2Sn1（ anan 1）2an 12，得 an an 11 或 ann 10，an+a得 ann 或 an（ 1）n 1；（ 2）由 an0，得 ann，得 bn ，由裂项求和法可得第 17 页（共 23 页）【解答】 解：（1） a1 0，且 2S1 a1a12，即 a1（a11） 0， a11n2 时， 2Sn2Sn1（ an an 1） an2an12（ an+an 1）（ anan 1）（an+an 1） anan 1 1 或 an+an 10 ann 或 an（ 1） n 1（ 2） an0， ann， bn Tn（ 1） +（）+（

30、）+（）1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（ 12 分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且平面PAD底面 ABCD， BAD ABC 90（ 1）证明： PD AB；（ 2）点 M 在棱 PC 上，且 CMCP，若三棱锥 DACM 的体积为，求实数 的值【分析】（1）取 AD 的中点 O，连 OC，OP，可得 POAD，再由平面 PAD底面 ABCD，且它们的交线为 AD，得到 PO平面 ABCD，则 ABPO，结合ABAD，可得 AB平面 PAD，则 PDAB；（ 2）设点 M 到平面 ACD 的距

31、离为 h，由已知三棱锥的体积借助于等积法求h，再由平行线截线段成比例求解实数的值第 18 页（共 23 页）【解答】（1）证明：取 AD 的中点 O，连 OC，OP， PAD 为等边三角形，且O 是边 AD 的中点， PO AD，平面 PAD底面 ABCD，且它们的交线为AD， PO平面 ABCD，则 ABPO， ABAD，且 ADPOO， AB平面 PAD， PD AB；（ 2）解：设点 M 到平面 ACD 的距离为 h，则 h1，且 CM CP，【点评】本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题21（ 12

32、 分）已知函数（ 1）若，求 f（x）的单调区间；（ 2 ）若f （ x ） 有极 值， 对任 意的x1 ， x2 ， 当0 x1 x2 ， 存 在x0 使，试比较 f（ x0）与的大小【分析】（1）f（x）的定义域为（ 0， +），求出原函数的导函数，由导函数的符号确定 f（x）的单调区间；（ 2）由（ 1）知，当 a0 时，f（x）存在极值，由题设把 f（ x0）与用 含 有 x1 ， x2 的 代 数 式 表 示 ， 作 差 可 得第 19 页（共 23 页），令（t 1）构造函数 g（ t） lnt（t 1），利用导数求其最小值得答案【解答】 解：（1）f（x）的定义域为（ 0，+），f（ x）当 x（ 0， 2）时， f（ x） 0，f（x）单调递增当 x（ 2， +）时， f（ x） 0， f（x）单调递减（ 2）由（ 1）知，当 a0 时， f（ x）存在极值由题设得又，设第 20 页（共 23 页）则（t1）令 g（ t）lnt （t1），则 g（ t） g（ t）在（ 1，+）上是增函数，则 g（ t） g（ 1） 0又 0x1x2， x2x1 0，因此，即