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1、第八章,二次型,2,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,（我们仅讨论实二次型）,3,例如：,都是二次型。,不是二次型。,4,例如,为二次型的标准形.,5,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,6,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,7,8,9,则,其中 为对称阵： .,二次型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型一一对应；,若 ，,二次型的矩阵 满足：, 的对角元 是 的系数；, 的 元是 系数的一半.,则对称阵 称为 二次型 的矩阵；二次型 称为对称阵 的 二次型；,10,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
2、称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,11,解,例,12,练习 求二次型 的矩阵,解：,解：,13,解：,14,例2：求对称矩阵 所对应的二次型。,解：,例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。,解：,15,四、化二次型为标准形,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,16,系数 矩阵,则线性变换可记作：,17,二次型研究的主要问题是：,寻找可逆变换 ，使,这种只含平方项的二次型称为二次型的标 准形(法式).,特别地，如果标准形中的系数 只在 三个数中取值，那么这个标准形称为二次型 的规范形.,标准形的矩阵是对角阵
3、.,18,经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,所以 与 的关系为：,19,则,因为,20,以上说明：,21,矩阵的合同关系,定义 设 和 是 阶矩阵，,若有可逆矩阵 ， 使,则称矩阵 与 合同.,说明,合同关系是一个等价关系.,设 与 合同，若 是对称阵，则 也对称阵.,对称阵一定合同, 相似与一个对角阵.,若 与 合同，则 .,经可逆变换 后，二次型的矩阵由 变 为与 合同的矩阵 , 且二次型的秩不变.,22,注释：,2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）,“合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中， 多针对对称矩阵考虑合同关系,任一对称矩阵，都存在对
4、角矩阵与它合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵,23,化二次型为标准形,定理 任给二次型 , 总,其中 是 的矩阵 的特征值.,即任何二次型都可用正交变换化为标准形.,存在正交变换 ，使 化为标准形,24,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,25,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,26,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,27,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,28,于是所求正交变换为,29,解,例3,30,31,32,33,34,作业,35,思考题解答,36,37,38,定理 任给二次型 , 总,其中 不一定是 的矩阵 的 特征值.,存在满秩变换 ，
5、使 化为标准形,39,初等变换化二次型为标准型,而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积,定理 任给二次型 , 总,其中 可能是 的矩阵 的 特征值.,存在满秩变换 ，使 化为标准形,40,41,用 阶单位矩阵 及矩阵 ，构造,经过若干次这样的变换后，当 化为对角阵时，而 就化为变换矩阵 。,42,练习：用初等变换法化二次型,为标准型，并求出相应的可逆线性变换。,43,惯性定理(Inertia Theorems),一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我
6、们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,44,设有二次型 ，它,的秩为 ，有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等.,中正数的个数与,中,45,注意,46,定理 任给二次型 ，总,有可逆变换 ，使 为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.,47,证 设有二次型,由定理 知，存在正交变换 ，使,设二次型 的秩为 ，则特征值 中恰有 个 不为0，不妨设 不等于0，,于是，令,其中,则 可逆，且变换 把 化为,48,记 ，,则可逆变换 能把 化为规范形,49,练习:,50,由以上讨论不难得到以下结论:,(1)对于任何n阶实二次型 ,都存在非退化线性,变换 ,化为
7、规范型二次型, 即,其中 r 为 f 的秩, P 为 f 的正惯性指数.,51,(2)任一n阶实对称矩阵A都合同于对角矩阵,(3)n阶实对称矩阵A合同于B的充要条件为r(A)=r(B), 且A和B的正惯性指数相同.,52,例 下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,53,解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性 定理解题.,容易求得 的特征值 ，,于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数,为 ；负惯性指数为 .,合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，,故选(B).,应选(B)，理由是:,54,正定Positive definite二次型的概念,定义 设有二次型 ，, 如果对任何 ，都有
8、, 如果对任何 ，都有 ，则称 为负定二次型，并称对称阵 是负定的；,阵 是正定的；,(显然,0 )，,则称 为正定二次型，,并称对称,为正定二次型,为负定二次型,例如,55,说明,按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是 正数 ( ) .,负定,负数,若 是正定二次型，则,就是负定二次型.,56,三、正(负)定二次型的判别,57,证 已知 ，有可逆变换 ，使,先证充分性：,设 ，任给 ，,则 ，故,再证必要性:,用反证法.,假设有 ，,取 (单位坐标向量) ，,这与 为正定相矛盾.,这就证明了 .,则有 ，且,58,推论1 正定二次型 (正定矩阵)
9、的秩为 .,推论2 对称阵 为正定矩阵的充要条件是：,的特征值全为正.,59,这个定理称为霍尔维茨定理(Hurwitz),定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,60,正定,的正惯性指数,的 个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,可逆,的各阶主子式全为正,61,正定矩阵具有以下一些简单性质,62,解：使用配方法化二次型为标准型，然后判断,63,64,65,66,67,68,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,69,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即
10、知 是正定矩阵，,70,解,71,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导,72,思考题,73,思考题解答,74,矩阵的三大关系：, 它们的定义,存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使,存在可逆阵 ，使,存在正交阵 ，使,存在可逆阵 ，使,等价、相似(正交相似) 、合同,75, 关系不变量,等价关系的不变量：,相似关系的不变量：,秩，即, 秩，即, 特征多项式，即, 特征值.,合同关系的不变量：, 秩，即, 对称性，即若 是对称阵，则 也是 对称阵；, 对称阵 对应的二次型的正惯性指 数和负惯性指数；, 对称阵 对应的二次型的规范形.,76,