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1、专题十三 共轭算子与自共轭算子,引例1 实Rn空间中的共轭算子,分析: (1)作映射A: RnRm，则A是有界线性算子， 且A的表现形式为一个mn矩阵：,x=(x1,xn)TRn,(2)定义在Rm上的有界线性泛函极为y*,Rm的共轭空间记(Rm)*, 即 (Rm)*=y*|y*为Rm上的有界线性泛函 (Rm)*=Rm (Rm是实的Hilbert空间，因而是自共轭的） y*(Rm)*, y=(y1,ym)Rm, 使,(Riesz表现定理), y*=y (在等距共轭线性同构意义下), 且,其中,(3)不难证明，x*=A*y*是Rn上的有界线性泛函，从而算子 A*: (Rm)*(Rn)*， A*y*
2、=x*是一个有界线性算子. 称A*为A 的共轭算子。,(4)结论：在欧式空间中， 算子A: RnRm, Ax=y表现为一个mn矩阵A=(aij)mn， A的共轭算子A*: (Rm)*(Rn)*, A*y*=x*则表现为矩阵 A=(aij)mn的转置矩阵AT=(aji)nm,求实Rn空间中的共轭算子的过程图示,将实Rn空间中的共轭算子进行推广，将得到Banah空间的共轭算子的概念和Hilbert空间的自共轭算子概念,1 巴拿赫空间中的共轭算子的概念,定义1 (共轭算子) 设X、Y是线性赋范空间，T: XY是有界线性 算子，即TB(X,Y)，X*、Y*是分别是X、Y的共轭空间， 则对y*Y*, x
3、*X*唯一, 使得 x*(x)=y*(Tx), |x*|T| |y*| (xX) 从而定义了一个从Y*到X*的有界线性算子T*: T*: Y*X* , T*y*=x* 则称T*B(Y*,X*) 为TB(X,Y)的共轭算子(或伴随算子), 并有 T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx),定义2 (二次共轭算子) TB(X,Y)，T*B(Y*,X*), 有 T*B(X*,Y*), 使T*x*(y*)=x*(T*y*) (y*Y) 则称T* 为T*的共轭算子，或称为T的二次共轭算子。,3) T*与T的关系： 在讨论X和X*的关系是得到如下关系： xX, x*X*x*(x*)=x*(x), |x*|X
4、*=|x|X, XX* TB(X,Y)，T*B(Y*,X*), 有T*B(X*,Y*): T*x*(y*)=x*(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)*(y*) (xX, y*Y*,有T*y*X*,TxY) (Tx)*=T*x*,4) 若把X嵌入到X*，把Y嵌入到Y*, 即XX*, YY*,则可视x*=x, Tx=(Tx)*= T*x*=T*x T*x=Tx, xX.,注: 1) T与T*之间具有一定的对称关系 2) 线性赋范空间中的共轭算子的图示：,|x*|T| |y*| T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx),2 巴拿赫空间中的共轭算子的性质,定理1 设X、Y是线性赋范空间
5、，T: XY是有界线性算子，X*、 Y*分别是X、Y的共轭空间，T*: Y*X* 为T的共轭算子， 则T* 一定是有界线性算子，且|T*|=|T|,证 1) 证明T*: Y*X*是线性算子。 T*(y*+v*)(x)=(y*+v*)(Tx)=y*(Tx)+v*(Tx)=T*y*(x)+T*v*(x) T*(y*)(x)=y*(Tx)=T*y*,2) 证明T*: Y*X*是有界算子。 |T*y*|=|x*|T| |y*|T*是有界算子，且|T*|T|,3) 证明|T*|=|T|。,一方面，|T*|T|,另一方面，有Hana-Banach定理，若T, 则存在y*Y*,使得 |y*|=1, |y*(
6、Tx)|=|Tx| |Tx|=|y*(Tx)|=|(T*y*)(x)|T*y*| |x|T*| |y*| |x|=|T*| |x| |T|T*|。 若T= |T*|=0=|T|,因此 |T*|=|T|,定理2 设X、Y、Z都是线性赋范空间，若T,T1B(X,Y), T2B(Y,Z), 则1) (T)*=T8； 2) (T2T1)*=T1*T2*; 3) (T1+T2)*=T1*+T2*; 4) 若I:XX是恒等算子, 则I*:X*X*也是恒等算子。,证 1）y*Y*,xX (T)*y*(x)=y*(Tx)=y*(Tx)=T*y*(x)(T)*=T*； 2) z*Z*,xX (T2T1)*z*(
7、x)=z*(T2T1x)=z*T2(T1x)=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x) (T2T1)*=T1*T2* 3) (T1+T2)*y*(x)=y*(T1+T2)(x)=y*(T1x)+y*(T2x) =T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T1*+T2*)(x) (T1+T2)*=T1*+T2* 4) I*x*(x)=x*(Ix)=x*(x) I*x*=x*,定理3 T*是T的延拓，且|T*|=|T|,证 1）XX*, y*Y*,xX, 有T*x=TxT*是T的延拓; 由定理1，|T|=|T*|=|T*|(T)*=T*；,3 希尔伯特空间中的自共轭算子的概念,定义3 (自共轭
8、算子) 设H是希尔伯特空间, T: HH是有界线性 算子, 即TB(H,H), H*是H 的共轭空间, 则对uH, gH*=H(自共轭性)唯一, 使得,g(Tx)=f(x) (xX) 从而对上述泛函fH*, u*H唯一, 使得 f(x)=, (xX) 从而对uH, u*H, 使得 = (xX) 即定义了一个从H到H的有界线性算子T*: T*: HH, T*u=u* 则称T*B(H,H)=B(H*,H*)为TB(H,H)的共轭算子, 并有 = (xX) 如果T*=T, 则有=, 这时称T为自共轭算子 （或自伴算子或Hermite算子）。,注: 1) 在希尔伯特空间H中，T与T*之间仍具有一定的对
9、称关系 2) 希尔伯特空间中的(自)共轭算子的图示：,=,3) 由于希尔伯特空间的自共轭性，有H*=H, 因此此时的T*实际上是上述共轭算子的特例。,则A是复希尔伯特空间CnCn的自共轭算子。,证：x=(x1,xn), u=(u1,un)Cn,所以A*=A, 即A是复希尔伯特空间CnCn的自共轭算子。,例1 设K(t,s)为定义在atb, asb上的二元平方可积函数，T是复希尔伯特空间L2a,bL2a,b的有界线性算子：,求T的共轭算子与自共轭算子。,证：y=y(t)L2a,b,4 巴拿赫空间中的共轭算子的性质,定理3 设H 是希尔伯特空间，T: HH是有界线性算子，H *=H 是H的共轭空间，T*: H*H*, 即T*:HH为T的共轭算子, 则T* 一定是有界线性算子，且|T*|=|T|,例3 T是复希尔伯特空间L20,1L20,1的有界线性算子： Tx(t)=tx(t), x(t)L20,1,故T是L20,1L20,1的自共轭算子。,