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1、北京师范大学附属中学2019 届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 若集合 Ax | x40 ， Bx | ex1 ，则 AB（）A. RB. (,4)C. （0， 4）D.(4,)2.2i=（）已知 i 为虚数单位，则复数1 iA.1iB.1iC. 1iD.1i3.在极坐标系中，曲线2cos是（）A. 过极点的直线B. 半径为 2的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形4.“k(kZ)”是 “cos 21”的（）226A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.
2、既不充分也不必要条件5.若偶函数 f ( x)( xR) 满足 f ( x2)f ( x) 且 x0,1 时， f ( x)x ，则方程f ( x)log 3 | x | 的根的个数是（）A.2 个B.4个C.3个D. 多于 4个6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角 的终边经过点M(cos ,sin)，且 02，则=（）88A.3B.8857C.D.887.已知函数 f ( x) xexex ，函数 g(x) mx m( m0) ，若对任意的 x1 2,2 ，总存在 x2 2,2 使得 f (x1 )g( x2 ) ，则实数 m 的取值范围是（）A.3e 2, 1
3、B.e2 ,)3C. 1 , e2 D. 1 ,)338. 已知在直角三角形 ABC 中，A 为直角，AB=1，BC=2 ，若 AM 是 BC 边上的高，点 P 在 ABC内部或边界上运动，则AM BP 的取值范围是（）A. 1,0B.1 ,02C. 3,1D.3 ,0424二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。9. 等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 4a1 ,2 a2， a3 成等差数列。若 a11，则 S3_。x1 , x0,1) =_ ；函数 f ( x) 的极小值是10. 设函数 f (x)x则 f f (x24x, x 0._。11.函数 f (x) sin(2
4、x )(0) 的图像向左平移个单位，得到偶函数g(x) 的图像，6则的最大值是 _ 。12. 在四边形ABCD中， AB=3. 若 DA2 CA1 CB，则 AB DC_。3313. 已知函数yg (x)的图象由f ( x)sin 2x 的图象向右平移（0）个单位得到， 这两个函数的部分图象如图所示，则=_ 。（请写出符合题意的一个值）14. 已知函数f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， f ( x)x22axa ，其中 aR 。1 f ( ) _ ；2若 f (x) 的值域是 R ，则 a 的取值范围是 _。三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证
5、明过程。15. （本小题 13 分）已知函数f ( x)3 sin(2 x)2sin x cos x1。6（I ）求函数f ( x) 的单调递增区间；（II ）当 x, 时，求函数f ( x) 的最大值和最小值。4416. （本小题 13 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 a84, a1314。（I ）求数列an 的通项公式；（II ）求 Sn 的最小值及相应的n 的值；（III ）在公比为q( q 1) 的等比数列bn 中， b2a8, b1 b2 b3 a13 ，求q q4q7q3 n 4 。17. （本小题 13 分）在锐角 ABC 中， a， b， c 分别为内角A，
6、B， C 所对的边，且满足3a2b sin A0 。（I ）求角 B 的大小；（II ）若 ac5,b7 ，求 ABC 的面积。18. （本小题 14 分）已知函数 f ( x)1 ax2ln x 。2（I ）当 a1时，求函数f (x) 在 x1 处的切线方程；（II ）求函数f ( x) 的单调区间；（III ）求证：当 a1时，函数 f (x) 的图像与函数g( x)2 x3 的图像在区间 1,) 上没有3交点。19. （本小题 14 分）已知函数 f ( x)ln x在 x1 处的切线与直线y1 x 平行。x a2（I ）求实数 a 的值；（II ）如果函数 g( x)(x1) f (
7、 x) mx 在区间 1 , e2 上有两个零点，求实数m 的取值范e围；（III ）求证：函数f (x) 有极大值，而且f (x) 的极大值小于1。20. （本小题 13 分）已知数集 Aa1 , a2 , an (1a1a2an , n2) 具有性质：对任意的k (2kn), i, j (1ijn) ，使得 akaia j 成立。（I ）分别判断数集1,3,4 与 1,2,3,6是否具有性质，并说明理由；（II ）求证： an 2a1 a2an 1 (n 2) ；（III ）若 an 72，求数集A 中所有元素的和的最小值。【参考答案】一、选择题（每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的
8、四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678CADABDBD二、填空题（每小题5 分，共30 分）9. 7；10.10； 2；11.5；12. 3；3613.（答案不唯一）；14.（ 1）1,0 1,) ；（2）(34三、解答题（共80 分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题 13 分）解：（ I）f ( x)313( sin 2xcos2x) sin 2x 1221 sin2x23 cos2x21sin(2 x) 13由 22x2k，k2325x k，得 k1212所以，函数f ( x) 的单调递增区间是 k5, k, kZ ；1212（II ） f ( x)
9、sin(2 x) 1，由 x , ，得2x536，4436当 2x2，即 x时， f ( x) 有最大值 f ( )1 12；31212当 2x，即 x时， f (x) 有最小值 f ()111；36442216. （本小题 13 分）解：（ I）设等差数列an 的首项为 a1 ，公差为 d，由已知可得 a17d4,a1 12d 14，解得 d2,a110 。所以an102(n1) 2n12。（II ）令 an0 ，即 2n120 ，解得 n6 ，所以，当 n1,2,3,4,5时， an0 ； a60 ； n7,8, 时， an 0 。所以，当 n5 或 n6 时， Sn 最小。S5S65 (
10、a1a5 )5(102)30 。22（III）依题意， b1q4,b1b1q b1q214 ，即 b q4,b4q 10 ，消去 b ，得 2q25q 20，111解得 q2 或 q1（舍），2当 q2时，所求数列是以2 为首项， 8 为公比的等比数列，所以， q q4q7q3n 42 (23n 61) ；717. （本小题13 分）解：（ I）因为3a2bsin A0 ，由正弦定理得：3sin A2sin B sin A0在锐角 ABC 中， sin A0，所以3 2sin B 03，即 sin B2又 B (0, )，所以B；23（II ）因为 a c5 ，所以 a2c22ac 25由余弦
11、定理得：a2c22ac cos7 ，即 a2c2ac 73由解得： ac 6，所以 S ABC11333absin B62；222故所求 ABC 的面积是18. （本小题14 分）3 32解：（ I）当 a1时，函数 f ( x) 在 x1 处的切线方程是 y 2x3；2（II ） f (x)ax1，x当 a 0 时，函数 f ( x)当 a 0 时，函数 f ( x)的单调增区间是的单调增区间是(0,) ；(0,1)，单调减区间是(1, )；aa（III ）令 h(x)g( x) f ( x)2 x31 x2ln x ，32可以证明函数 h( x) 的最小值是 h(1)10 恒成立，0 ，所
12、以 h(x)6所以两个图像没有交点。19. （本小题 14分）1 ( x a) ln x 1 aln x解：（ I） f (x)xx，( x a) 2( xa)2因为函数 f ( x) 在 x1 处的切线与直线y1 x 平行，2所以 f (1)1a1 ，解得 a 1；(1a)22当 a 1时，函数 f ( x) 在 x 1 处的切线是 y1 x1，与直线 y1 x 平行，符合题意；222所以 a1；（II ）两种方法，21) ；m 2 ,ee1ln xln x11x（III ） f ( x)， f(x)，令 g( x) 1ln x ，x1( x1)2xg ( x)11，则函数 g (x)11l
13、n x 在(0,)上单调递减，g(1)2 0，x20xx211 0 ，所以存在唯一的x02(0, x0 ) 时， f (x) 0，当g(e )2(1, e ) ，当 xex ( x0 , ) 时， f (x) 0 ，所以函数f ( x) 的单调递增区间是(0, x0 ) ，单调递减区间是( x0 ,) ，其中 x0(1,e2 ) ，所以函数f (x) 有极大值。函数 f (x) 的极大值是f ( x0 )ln x0，由 f (x0 ) 0 ，得 11ln x0 0，x0 1x011所以 f ( x0 )ln x0x01 ，因为 x0(1, e2 ) ，所以11，即 f (x0 )1 ，x0 1
14、x0 1x0x0所以， f ( x) 的极大值小于1。20. （本小题 13 分）解：（ I）因为 31 1，所以1,3,4 不具有性质。因为 21 2,312,633，所以1,2,3,6具有性质（II ）因为集合Aa1 , a2 , an具有性质：即对任意的 k (2kn) ，i , j (1ijn) ，使得 akaia j 成立，又因为 aa1a2an , n2 ，所以 aiak ,a jak所以 aiak 1, ajak 1 ，所以 akaia j2ak 1即 an2an 1 ,an 12an 2 , an 22an 3 , a32a2 , a22a1将上述不等式相加得a2an 1an2
15、(a1 a2an 1 )所以 a2aaan12n 1（ III ）最小值为 147。首先注意到 a11，根据性质，得到 a22a12所以易知数集A 的元素都是整数，构造 A1,2,3,6,9,18,36,72或者 A1,2,4,5,9,18,36,72，这两个集合具有性质，此时元素和为147。下面，我们证明147 是最小的和n假设数集Aa1 ,a2 , an(a1a2an , n2) ，满足Sai147最小（存在性i1n显然，因为满足ai147 的数集A 只有有限个）。i 1第一步：首先说明集合Aa1 , a2 , , an(a1a2an , n2) 中至少有8 个元素：由（ II ）可知 a
16、2a , a2a2132又 a1 1，所以 a22, a34,a4 8, a516,a632,a76472 ，所以 n 8第二步：证明 an1 36,an 218,an39 ；若 36 A ，设 at36 ，因为 ann7236 36 ，为了使得 Sai 最小，在集合A 中一i 1定不含有元素 ak，使得 36ak72，从而 an 136；假设 36A ，根据性质，对 an72，有 ai , a j ，使得 an72aia j显然 aa，所以 aaiaj144ijn而此时集合A 中至少还有5 个不同于 an , ai ,a j 的元素，从而 S(aaa)5a 149，矛盾，nij1所以 36A
17、 ，进而 at36 ，且 an 136；同理可证： an 218,an 39（同理可以证明：若18A ，则 an 218假设 18A。因为 a36 ，根据性质，有 a , a，使得 a36 aajn 1ijn 1i显然 aia j ，所以 anan 1aia j144，而此时集合A 中至少还有4 个不同于 an , an 1 , ai , aj 的元素从而 San an1aia j 4a1148 ，矛盾，所以 18A ，且 an218同理可以证明：若9A ，则 an 39假设9A因为 an 218 ，根据性质，有 ai , aj ，使得 an 218aiaj显然 aia j ，所以 anan
18、1an 2aia j144而此时集合A 中至少还有3 个不同于 an , an 1 , an 2 , ai ,a j 的元素从而 Sanan 1an 2aia j3a1147 ，矛盾，所以 9 A ，且 an 3 9 ）至此，我们得到了 an 1 36， an 218， an 3 9 。根据性质，有 ai , a j ，使得 9aia j我们需要考虑如下几种情形： ai8, a j1，此时集合中至少还需要一个大于等于4 的元素 ak ，才能得到元素8，则S148； ai7, a j2 ，此时集合中至少还需要一个大于4 的元素 ak ，才能得到元素7，则 S148 ； ai6, a j3，此时集合A1,2,3,6,9,18,36,72的和最小，为147；i5,aj4 ，此时集合A 1,2,4,5,9,18,36,72的和小，为 147。 a