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1、.,1,要点梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ _(_或_)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为_. 2.几何概型中,事件A的概率计算公式 P(A)= .,12.3 几何概型,长,度,面积,体积,几何概型,基础知识 自主学习,.,2,3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: (1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限 多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 4.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位 置和形状无关. 5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占
2、区 域和整个区域 的几何度量,然后代入公式即可求 解.,.,3,基础自测 1.在区间1,3上任取一数,则这个数大于1.5的概 率为 ( ) A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 解析 因为在1,3上任取一数是随机的,故这个 数大于1.5的概率,D,.,4,2.如图所示,边长为2的正方形中有 一封闭曲线围成的阴影区域,在正 方形中随机撒一粒豆子,它落在阴 影区域内的概率为 则阴影区域 的面积为 ( ) A. B. C. D.无法计算 解析 由几何概型知,B,.,5,3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点 的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率 是 ( ) A. B
3、. C. D. 解析 此题可以看成向区间0,5内均匀投点,而 且点落入0,3内的概率设为A=某乘客候车时间 不超过3分钟. 则P(A)=,A,.,6,4.如图所示,A是圆上固定的一点,在圆 上其它位置任取一点A,连接AA, 它是一条弦,它的长度大于等于半径 长度的概率为 ( ) A. B. C. D.,.,7,解析 如图所示,当AA长度等于半 径时,A位于B或C点,此时BOC= 120, 则优弧 满足条件的概率为 答案 B,.,8,5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT落在30角的终边上,任作一条 射线OA,则射线OA落在yOT内的 概率为_. 解析 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分
4、 布的,则OA落在yOT内的概率为,.,9,题型一 与长度有关的几何概型 【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段 不小于3米的概率有多大？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,基 本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等, 故是几何概型.,思维启迪,题型分类 深度剖析,.,10,解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的 两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中 间的4米长的木棍处剪都能满足条件, 所以 从该题可以看出,我们将每个事件理解为 从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每 一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则 理解为恰好取到上述区
5、域内的某个指定区域中的点, 这样的概率模型就可以用几何概型来求解.,探究提高,.,11,知能迁移1 平面上有一组平行线,且相邻平行线间 的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在 这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故所求概率为,B,.,12,题型二 与面积(或体积)有关的几何概型 【例2】街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正 方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正 方形的
6、边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5 角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 应用几何概型的概率计算公式P(A)= 即可解决此类问题.,思维启迪,.,13,解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm的正方形围成的区域内,所以概率为 (2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆 内,因正方形有四个顶点,所以概率为 几何概型的概率计算公式中的“测度”, 既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积 等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和 位置无
7、关.,探究提高,.,14,知能迁移2 在边长为2的正ABC内任取一点P, 则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率 是_. 解析 以A、B、C为圆心,以1为半 径作圆,与ABC交出三个扇形, 当P落在其内时符合要求.,.,15,题型三 与角度有关的几何概型 【例3】在RtABC中,A=30,过直角顶点C作射 线CM交线段AB于M,求使|AM|AC|的概率. 如图所示,因为过一 点作射线是均匀的,因而应把在 ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在ACB内任一处,使 |AM|AC|的概率只与BCC的大小有关,这符合 几何概型的条件.,思维启迪,.,16,解 设事件D为“作
8、射线CM,使|AM|AC|”. 在AB上取点C使|AC|=|AC|,因为ACC是等 腰三角形,所以 几何概型的关键是选择“测度”,如本例 以角度为“测度”.因为射线CM落在ACB内的任意 位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的, 因为M在AB上的落点不是等可能的.,探究提高,.,17,知能迁移3 在圆心角为90的扇形AOB中,以圆心O 为起点作射线OC,求使得AOC和BOC都不小于 30的概率. 解 如图所示,把圆弧AB三等分,则 AOF=BOE=30,记A为“在扇 形AOB内作一射线OC,使AOC和 BOC都不小于30”,要使AOC和BOC都不小 于30,则OC就落在EOF内,.,1
9、8,题型四 可化为几何概型的概率问题 【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率. 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、 乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|15所对应的图中阴影部分表示.,思维启迪,.,19,解 以x轴和y轴分别表示甲、乙 两人到达约定地点的时间,则两人 能够会面的充要条件是|x-y|15. 在如图所示平面直角坐
10、标系下, (x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事 件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分 表示. 由几何概型的概率公式得： 所以,两人能会面的概率是,.,20,探究提高 (1)甲、乙两人都是在67时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中 正方形内的任一点. (2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出 来,分别计算面积即可. (3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表 示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积 型几何概型
11、的问题.,.,21,知能迁移4 已知函数f(x)=x2-2ax +b2,a,bR. (1)若a从集合0,1,2,3中任取一个元素,b从集合 0,1,2中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不相 等实根的概率； (2)若a从区间0,2中任取一个数,b从区间0,3中 任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率. 解 (1)a取集合0,1,2,3中任一个元素,b取集合 0,1,2中任一个元素,.,22,a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2),其中第一个数表示a的取值,第
12、二个数表示b的 取值,即基本事件总数为12. 设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A, 当a0,b0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要 条件为ab. 当ab时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6, 方程f(x)=0有两个不相等实根的概率,.,23,(2)a从区间0,2中任取一个数, b从区间0,3中任取一个数,则试 验的全部结果构成区域 =(a,b)| 0a2,0b3,这是一个矩形 区域,其面积 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成 的区域为M=(a,b)|0a2,0b3,ab
13、,即图中 阴影部分的梯形,其面积 由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根 的概率,.,24,1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别 是试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果 在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与 随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大 小有关. 2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技 巧,必须熟练掌握.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,.,25,几何概型具有无限性和等可能性两个特点.无限性是 指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；等 可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的. 因此,用几何概型求解的概率问题和古
14、典概型的思路 是相同的,同属于“比例解法”,即随机事件A的概率 可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度(面积 或体积)”与“试验的基本事件所占总长度(面积或体 积)”之比来表示.,失误与防范,.,26,一、选择题 1.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与 81 cm2之间的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 面积为36 cm2时,边长AM=6, 面积为81 cm2时,边长AM=9,A,定时检测,.,27,2.在区域 内任取一点P,则点P落在单 位圆x2+y2=1内的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 区
15、域为ABC内部(含边界),则概率为,D,.,28,3.在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC 的面积大于 的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 由ABC,PBC有公共底边BC,所以只需P位 于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间,这是一个 几何概型,C,.,29,4.已知正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,在正 三棱锥内任取一点P,使得VPABC VSABC的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三 棱台内时符合要求,由几何概型知,A,.,30,5.(2009辽宁文,9)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O 为AB的中
16、点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的 点到O的距离大于1的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 如图,要使图中点到O的 距离大于1,则该点需取在图中阴 影部分,故概率为,B,.,31,6.(2009山东文,11)在区间 上随机取一个 数x,cos x的值介于0到 之间的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析,A,.,32,二、填空题 7.(2008江苏,6)在平面直角坐标系xOy中,设D是横 坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随 机投一点,则落入E中的概率为_. 解析 如图所示,区域D表示边长 为4的正方形的内部(含
17、边界),区 域E表示单位圆及其内部,.,33,8.已知函数f(x)= 若a是从区间0，2上任取 的一个数,b是从区间0,2上任取的一个数,则此函 数在1,+)递增的概率为_. 解析 令t=ax2-bx+1,函数f(x)在1,+)上递增,根 据复合函数单调性的判断方法,则t=ax2-bx+1须在 1,+)上递增,.,34,由题意得 画出图示得 阴影部分面积. 概率为 答案,.,35,9.(2009福建文,14)点A为周长等于3的圆周上的一 个定点.若在该圆周上随机取一点B,则劣弧 的长 度小于1的概率为_. 解析 圆周上使弧 的长度为1的点M有两个,设 为M1,M2,则过A的圆弧 的长度为2,B
18、点落在 优弧 上就能使劣弧 的长度小于1,所以劣弧 的长度小于1的概率为,.,36,三、解答题 10.如图所示,在单位圆O的某一直径上随机的取一点 Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的 概率.,.,37,解 弦长不超过1,即|OQ| 而Q点在直径AB 上是随机的,事件A=弦长超过1. 由几何概型的概率公式得 弦长不超过1的概率为 答 所求弦长不超过1的概率为,.,38,11.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的 正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0, 两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具 连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标.
19、(1)求点P落在区域C：x2+y210内的概率； (2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的 多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落 在区域M上的概率.,.,39,解 (1)以0、2、4为横、纵坐标 的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、 (2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、 (4,2)、(4,4)共9个,而这些点中, 落在区域C内的点有： (0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个, 所求概率为 (2)区域M的面积为4,而区域C的面积为 所求概率为,.,40,12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船 的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为 2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率.,.,41,解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y, 则0 x24,0y24且y-x4或y-x-4. 作出区域 设“两船无需等待码头空出” 为事件A,.,42,(2)当甲船的停泊时间为4小时， 乙船的停泊时间为2小时,两船不 需等待码头空出,则满足x-y2 或y-x4, 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域,返回,