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1、第十四讲 中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它 的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几 何图形的计算及证明中有着广泛的应用例 1 如图 2-53 所示ABC 中，ADBC 于 D，E， F，ABC 的面积分析 由条件知，EF，EG 分别是三角形 ABD 和三角 形 ABC 的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的 数量关系，不难求出 ABC 的高 AD 及底边 BC 的长解 由已知，E，F 分别是 AB，BD 的中点，所以， EF 是ABD 的一条中位线，所以由条件 AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于 E，G 分别是 AB，
2、AC 的中点，所以 EG 是ABC 的一条中位线，所以BC=2EG=26=12(厘米)，显然，AD 是 BC 上的高，所以例 2 如图 2-54 所示ABC 中，B，C 的平 分线 BE，CF 相交于 O，AGBE 于 G，AHCF 于 H(1) 求证：GHBC；(2) 若 AB=9 厘米，AC=14 厘米，BC=18 厘米，求 GH分析 若延长 AG，设延长线交 BC 于 M由角平分线 的对称性可以证明ABGMBG，从而 G 是 AM 的中点； 同样，延长 AH 交 BC 于 N，H 是 AN 的中点，从而 GH 就 是AMN 的中位线，所以 GHBC，进而，利用ABC 的 三边长可求出 G
3、H 的长度(1)证 分别延长 AG，AH 交 BC 于 M，N，在ABM 中， 由已知， BG 平分ABM，BGAM，所以ABGMBG(ASA)从而，G 是 AM 的中点同理可证ACHNCH(ASA)，从而，H 是 AN 的中点所以 GH 是AMN 的中位线， 从而，HGMN，即HGBC(2)解 由(1)知，ABGMBG 及ACHNCH， 所以AB=BM=9 厘米，AC=CN=14 厘米又 BC=18 厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等 腰三角形顶角平分
4、线三线合一(即等腰三角形顶角的平 分线也是底边的中线及垂线 )性质定理的逆定理：“若 三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平 分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也 是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的 中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于 对边”同学们不妨自己证明(3) 从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条 件“B，C 的平分线”改为“B(或C)及C(或 B)的外角平分线”(如图 2-55 所示)，或改为“B， C 的外角平分线”(如图 2-56 所示)，其余条件不变， 那么，结论 GHBC 仍然成立
5、同学们也不妨试证例 3 如图 2-57 所示P 是矩形 ABCD 内的一点，四 边形 BCPQ 是平行四边形， A，B，C，D分别是 AP，PB，BQ，QA 的中点求证： AC=BD分析 由于 A，B，C，D分别是四边形 APBQ 的四条边 AP，PB，BQ，QA 的中点，有经验的同学知道 ABCD是平行四边形，AC与 BD则是它 的对角线，从而四边形 ABCD应该是矩形利 用 ABCD 是矩形的条件，不难证明这一点证 连接 AB，BC，CD，DA，这四 条线段依次 APB BPQ AQB APQ 的中位线从 而ABAB，BCPQ，CDAB，DAPQ，所以，ABCD是平行四边形由于 ABCD
6、是 矩形，PCBQ 是平行四边形，所以ABBC，BCPQ从而ABPQ，所以 ABBC，所以四边形 ABCD是矩形，所以AC=BD 说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联 想、开拓思路、扩大已知的作用如在本题的分析中利 用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对 寻求思路起了不小的作用因此注意归纳总结，积累经 验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的例 4 如图 2-58 所示在四边形 ABCD 中，CDAB， E，F 分别是 AC，BD 的中点求证：分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想 三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取 AD 中点证 取 AD 中点 G，连接
7、EG，FG，在ACD 中，EG 是 它的中位线(已知 E 是 AC 的中点)，所以同理，由 F，G 分别是 BD 和 AD 的中点，从而， FG 是ABD 的中位线，所以在EFG 中，EFEG-FG 由，例 5 如图 2-59 所示梯形 ABCD 中，ABCD，E 为 BC 的中点，AD=DC+AB求证：DEAE分析 本题等价于证明AED 是直角三角形，其中 AED=90在 E 点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中 点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明， 该中位线是直角三角形 AED 的斜边(即梯形另一腰)的 一半，则问题获解证 取梯形另一腰 AD 的中点 F，连接 EF，则 E
8、F 是 梯形 ABCD 的中位线，所以因为 AD=AB+CD，所以从而1=2，3=4，所以2+3=1+4=90 ADE 的内角和等于 180)从而AED=2+3=90，所以 DEAE例 6 如图 2-60 所示ABC 外一条直线 l，D，E， F 分别是三边的中点，AA ，FF ，DD ，EE 都垂直 l 于 A ，1 1 1 1 1F ，D ，E 求证：1 1 1AA +EE =FF +DD 1 1 1 1分析 显然 ADEF 是平行四边形，对角线的交点 O 平 分这两条对角线， OO 恰是两个梯形的公共中位线利1用中位线定理可证证 连接 EF，EA，ED由中位线定理知，EFAD， DEAF
9、，所以 ADEF 是平行四边形，它的对角线 AE，DF 互相平分，设它们交于 O，作 OO l 于 O ，则 OO 是梯1 1 1形 AA E E 及 FF D D 的公共中位线，所以1 1 1 1即 AA +EE =FF +DD 1 1 1 1练习十四1 已知ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上一点， AE=2CE，CD，BE 交于 O 点，OE=2 厘米求 BO 的长2 已知ABC 中，BD，CE 分别是ABC，ACB 的 平分线，AHBD 于 H，AFCE 于 F若 AB=14 厘米，AC=8 厘米，BC=18 厘米，求 FH 的长3 已知在ABC 中，ABAC，ADBC
10、于 D，E，F， G 分别是 AB，BC，AC 的中点求证： BFE=EGD4 如图 2-61 所示在四边形 ABCD 中，AD=BC，E， F 分别是 CD，AB 的中点，延长 AD，BC，分别交 FE 的延 长线于 H，G求证： AHF=BGF5 在ABC 中，AHBC 于 H，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 的中点(如图 2-62 所示)求证：DEF=HFE6如图 2-63 所示D，E 分别在 AB，AC 上，BD=CE， BE，CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于 P，Q求证： AP=AQ7已知在四边形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 AB，CD