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1、1,8.4 平面图,平面图与平面嵌入 平面图的面、有限面、无限面 面的次数 极大平面图 极小非平面图 欧拉公式 平面图的对偶图,2,平面图和平面嵌入,定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.,3,平面图和平面嵌入(续),今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可以是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的画法有关时, 是指平面嵌入. K5和K3,3是非平面图 设G
2、 G, 若G为平面图, 则G 也是 平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图. Kn(n5), K3,n(n3)都是非平面图. 平行边与环不影响图的平面性.,4,平面图的面与次数,设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并. 定理 平面图各面的次数之
3、和等于边数的2倍.,5,平面图的面与次数(续),例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.,例2 左边2个图是同一个平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面, 在(2)中是内部面; R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面. 其实, 在平面嵌入中可把任何面作为外部面.,6,极大平面图,定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 性质 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图
4、必连通. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. 任何n(n4)阶极大平面图G均有(G)3.,7,实例,3个图都是平面图, 但只有右边的图为极大平面图.,8,极小非平面图,定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 说明: K5, K3,3都是极小非平面图 极小非平面图必为简单图 下面4个图都是极小非平面图,9,欧拉公式,定理8.11 (欧拉公式) 设G为n阶m条边r个面的连通平面图， 则 nm+r=2. 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论为真. 设m=k(k0)结
5、论为真, m=k+1时分情况讨论如下: (1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. (2) 否则,删除一个圈上的一条边,记作G . G 连通, 有n个顶 点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.,10,欧拉公式(续),欧拉公式的推广 设G是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则 n m + r = p + 1 证
6、设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, , p 求和并注意 r = r1+rp+ p1, 即得 n m + r = p + 1,11,与欧拉公式有关的定理,12,与欧拉公式有关的定理(续),定理: 设G为有 p (p2) 个连通分支的平面图, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则 定理 设G为简单平面图，则 (G)5.,13,同胚与收缩,消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后
7、同构 收缩边e 如下图从(1)到(2),14,库拉图斯基定理,定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不 含与K3,3同胚的子图. 定理 G是平面图G中无可收缩为K5的子图, 也无 可收缩为K3,3的子图.,15,非平面图证明,例 证明下述2个图均为非平面图. 证,图中红色部分分别与K3,3和 K5 同胚,16,平面图的对偶图,定义 设平面图G, 有n个顶点, m条边和r个面, 构造G 的对偶图G*=如下： 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= vi*| i=1,2,r . 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*
8、), 且与ek相交; 若ek为G中的桥且在 面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*). E*= ek*| k=1,2, ,m .,17,平面图的对偶图（续）,例 黑色实线为原平面图, 红色虚线为其对偶图,18,平面图的对偶图(续),性质： G*是平面图，而且是平面嵌入. G*是连通图 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥; 若e为桥，则G*中与e对应的边e*为环. 在多数情况下，G*含有平行边. 同构的平面图的对偶图不一定同构. 上面两个平面图是同构的, 但它们的对偶图不同构.,19,平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系: 设G*是平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别 为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n-p+1, 其中p是G的连通分支数 (4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri),平面图的对偶图(续),