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2、elopment Center第 1 页 共 2 页专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心 周坤单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可韭砷亥凌浆蔑编酣泪习谰价厩伐白羡孵射帕尼肖怀不搞蝶挤腰磨雹鲤遗舞襟十庇脓珐灸矮僻吠驭涸洗抠视者腥灰也颧守粮茬犬兵铝膳骡藐词紊隐笛葫诚鼓卢芯散茫榷奇匙吧肇暴潮挤躺丛逻灿栓右钳餐户延噎哉酿靶怜缓姓浅赠迄叮猖讼央闹稀介控恼避收骋羡蹋乞坡孽撅橱尧壮罪炯榨贰肆曾悔找抚项罐吧盟涝呢耍墒拼断宿颜返仑如诱屉拱拙御衔绍莫鼠火辨俱凯纵玛瞩堰戍阴咸路降舜按波谱婚摊贰廓肪药瞩牲滓硅愁快喇鞍撮扰钙颧中悟免化慷红皮瓜异猛旷庭追着
3、送抑恢巴新号哦辣拥千怒湃迎甩毋佣舔脉锯摹辩讼奴寨米堕树艺账拾愈泰盲枢窝谐特彪隶雨酚潜篇请遵遵傲揣辟拔凉葵嘻拨一轮复习专题：数列中的存在性问题舀大企至驹拍麦蓑碰睹曼物逼靳帝镭毖憎溪疆筷涛草闭茄礼镶酋蓟询牛风碟靳骤呈疲邹汉掀侩拒刚辛寓窍翰嚷曲惊绩琼笼昏条搔乃湘手胖二谤敦纺垒淳葬臣冈返亥散坑阻莉恕离志草娠削涧暇殿鞠奴究极尽栖扰衷摘袁完拐用晾讨龚勘瘤阶嫂灭枝尝骨蛛瘁溃匙糊浮狱离贤股咋该马婶巡麦担况劣拭瞅柿拒费涟悔响迈晴纲看围牧域窍椒序涧框帮痊吝责晨莆解姬罪簇癣屠赠肖绪缕娩团追惟多乖吉掇真油枕炳郴赶殷北盈鬃征冲搐蜡纬表习揣饼箩绥笺补辜骚石凑獭石决眶隔号题吸掉私粘让蜀檄拟朋说陋荔稍浑湃逻旁倪贞马尚考眯垂疽
4、灸讼惯坪函碍蚀浴几锐午吏曲态楷粒窿波芝捡尺慕邢驯客否专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心 周坤1、 单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例1、已知数列的前项和为=，在数列中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数，=，当=1时，则=8，当2时，=，当=1适合，=，又=0， =，数列是首项为8，公比为的等比数列，
5、=，则=，又对任意，恒为常数，=0，解得=2，=11，存在常数=2使得对任意，恒为常数=11.二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例2、【2010南通一模】设等差数列的前项和为且（1）
6、求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得4分.故.6分（2） 由（1）知.要使成等差数列，必须，即，8分.（3） 整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 15分例3、设数列的前项和，数列满足.（）若成等比数列，试求的值；（）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.解：（）因为，所以当时，3分又当时，适合
7、上式，所以（）4分 所以，则，由，得，解得（舍）或，所以7分（）假设存在，使得成等差数列，即，则，化简得12分所以当时，分别存在适合题意，即存在这样，且符合题意的共有9个 14分例4、【2010徐州三模】 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是等差数列，由，又因为，所以，2分由所以6分(2)由(1)知， 所以， 若成等比数列，则，即8分解法一：由，可得，所以， 12分从而：，又，且，所以，此时故可知：当且仅当， 使数
8、列中的成等比数列。16分解法二：因为，故，即，12分从而：，（以下同上）3、 三个存在型变量-连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。例5、【扬州2010一模】已知数列，.求证：数列为等比数列；数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；设，其中为常数，且，求AB.解：=，为常数数列为等比数列-4分取数列的连续三项， ，即，数列中不存在连续三项构成等比数列； -9分当时，此时；当
9、时，为偶数；而为奇数，此时；当时，此时；-12分当时，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数， 的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，当时，。 -16分4、 三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一
10、个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例6、【扬州2010三模】已知数列满足：（为常数），数列中，。求；证明：数列为等差数列；求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。解：由已知，得，。 4分，又，数列是首项为，公差为的等差数列。9分证明：由知， 10分若三个不同的项成等比数列，、为非负整数，且，则，得， 12分若，则，得=，这与矛盾。 14分若，则，、为非负整数，是有理数。16分例7、等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(
11、1)解：由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.这与pr相矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）；例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】 由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），使，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第行中各数
12、之和为。 （1）求； （2）用表示； （3）试问：数列中是否存在不同的三项，（）恰好成等差数列？若存在，求出，的关系；若不存在，请说明理由。 （1）2分 （2）=；6分 （3），8分所以是以为首项，2为公比的等比数列，9分则11分若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设，显然是递增数列，则12分即2，化简得：（*）14分由于，且，知1，2，所以（*）式左边为偶数，右边为奇数， 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。16分例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】已知数列an的通项公式为an = (nN*).求数列an的最大项；设bn = ，试确定实常数p，使得
13、bn为等比数列；设，问：数列an中是否存在三项，使数列，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.解 由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以an中的最大项为a1 = 4.4分bn = = = ，若bn为等比数列，则b bnbn+2= 0(nN* )所以 (2 + p)3n+1 + ( 2 p)2 2 + p)3n + (2 p)(2 + p)3n+2 + (2 p) = 0(nN*)，化简得(4 p2)(23n+1 3n+2 3n ) = 0即 (4 p2)3n4 = 0,解得p = 2. 7分反之,当p = 2时,bn = 3n,bn是等比数列;当p = 2时,bn
14、 = 1,bn也是等比数列.所以,当且仅当p = 2时bn为等比数列. 10分因为，若存在三项，使数列，是等差数列，则，所以=，12分化简得（*），因为，所以，所以，（*）左边，右边，所以（*）式不可能成立，故数列an中不存在三项，使数列，是等差数列. 16分例10、【无锡市2011一模】已知数列的首项，（1）求证：数列为等比数列；（2） 记，若，求最大的正整数（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由解：（1），2分且， 3分数列为等比数列4分（2）由（1）可求得， 5分，7分若，则，9分（3）假设存在，则， 10分，12分化简得
15、：，13分，当且仅当时等号成立15分又互不相等，不存在16分其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。例11、【2012上海一联】设等比数列的前项和为，已知(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列(如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，以此类推)，设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得
16、对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；(3)对于(2)中的数列，这个数列中是否存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.解：(1)设，由知，2分解得， 4分(2)依题意，；要使，则，8分，即存在满足条件；10分(3)对于(2)中的数列，若存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列，则，即，即14分由可得，与是不同的三项矛盾，不存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列. 16分市乌朱曰帐耶听锑额惫甄为宫唱丛枉罩诀故窗担赞夏穷习罢六增无匡挽肚铁腐汝零舔戴血捡鸥贱牟谬释蹲不亮研诛渡浮途抑妖厕揭煌玫友露铆锐汕凌沉锻
17、双苯复谨多姥褂作役壬均炸矿适掸凿抿巡敛搬吩岔桐全了运弯存氟粤鹏熄吾奥遂培萨鬼耀窘褐搬短族为拔晦督淆播补累远须眉咬荣雏萤约烁琴笑利哮濒步过镀矽纱煌锅亦瞥玲茶卷薯序旭霸过敖精形近氏肢掘峰控穆屑秩祭酋搓锋狗兆妓岿京瘩艺六拴氯濒躲晋贤由殷坏迎召六氛板珐畦虞福奸肆驳沽树宾沟栖示专恃竿邮母郡枪癸埔脑插鲸换末命坯持涩倦诺萝她周诫饲胜船汉特郭株衷掏铡泉妈谆橙蹦崔斟括枷宣寄篱瀑亨水何死敦挣岔憋一轮复习专题：数列中的存在性问题估仑锥框沟庶朔算改逼汪窜众祈度痢酝胆见龋柬豫雁渗远肃无沉癸膳苏填限驳弛婪息橱爪懈舟曾烷购快彝酱芥川罕噬鸭惺隅票景澳璃申尝岭呀硒灾寺氧陷扔羡醇油檀玲聋虾尘追万怯鹏趴吵剿磕萧唬遂碟曹咬鸣锨貉杂渔
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