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1、不等式的证明一、基础知识1 基本不等式(1)定理 1：如果 a， bR，那么 a2 b2 2ab，当且仅当a b 时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b 0，那么ab ab，当且仅当 a b 时，等号成立，即两个正数2的算术平均不小于 (即大于或等于 )它们的几何平均(3)定理 3：如果 a，b，cR ，那么 a b c 3abc，当且仅当 ab c 时，等号成立32 比较法(1)作差法的依据是： a b 0?a b.(2)作商法：若B 0，欲证 A B，只需证 A 1.B3 综合法与分析法(1) 综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题
2、成立(2) 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义，公理或已证明的定理，性质等 )，从而得出要证的命题成立考点一比较法证明不等式 典例 已知函数 f(x) x1 x1， M 为不等式 f(x)2 的解集22(1)求 M；(2)证明：当a， b M 时， |a b| |1 ab|. 2x，x 1，211解 (1) f(x)1， 2 x2，12x， x 2.当 x 12时，由 f(x) 2，得 2x 2，解得 x 1；当 1 x 1时， f(x) 2 恒成立；2 2当 x 12时，由 f(x) 2，得 2x 2，解得 x 1.所以
3、f(x) 2 的解集 M x| 1x 1 (2)证明：由 (1)知，当 a， bM 时， 1a 1， 1 b 1，从而 (a b)2 (1 ab)2 a2 b2 a2b2 1 (a2 1)(1 b2) 0.因此 |ab| |1 ab|. 题组训练 1当 p， q 都是正数且 p q 1时，求证： (pxqy)2 px2 qy2.解： (px qy)2 (px2 qy2)222222 px qy 2pqxy (px qy ) p(p 1)x2 q(q 1)y2 2pqxy.因为 p q 1，所以 p 1 q， q1 p.222 pq(x2 y2 2xy) pq(x y)2.因为 p， q 为正数
4、，所以pq(x y)20，所以 (px qy)2 px2 qy2.当且仅当xy 时，不等式中等号成立a+ b2求证：当a0， b0 时， aabb (ab) 2.aabbaa- b证明： 2，a +bbab2a- b当 a b 时， ab2 1，aa baa -b当 ab0 时，0，21，1，2bb当 ba0 时，a b a b (ab)aa baa -b01，1 ，20， b0，a3 b3 2.证明：(1)(ab)(a5 b5) 4；(2)a b 2.证明 556556(1)( a b)( ab) a ab a b b (a3 b3)22a3b3 ab(a4 b4) 4 ab(a2b2)2
5、4.(2) (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b32 2 3ab(a b) 23 a b (ab) 43 23 ab，4 (a b)3 8，因此 a b 2. 解题技法 综合法证明不等式的方法(1) 综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2) 在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件 题组训练 1设 a， b， c，d 均为正数，若a b c d，且 abcd，求证：a bc d.证明： 因为 ( a b)2 ab 2 ab， ( c d
6、)2 c d 2 cd.由题设 a b cd， abcd 得 (a b)2( c d)2.因此a b c d.2 (2018 北八校联考湖)已知不等式 |x| |x 3|0， y0， nx y m 0，求证： xy 16xy.解： (1)由 |x| |x3|x 6，x3，0 x3，x 0，得或或xx 3x 63 x 6x3 xx6，解得 1x0， y0，11y9xy 9x x y(9x y) 10x y102x y 16，当且仅当 y 9x，即 x 1 ， y1时取等号，x y12411 x y 16，即 x y 16xy.考点三分析法证明不等式 典例 (2019 春质检长 )设不等式 |x
7、1| |x 1|1.2， x1，解 (1) 由已知，令 f(x) |x 1| |x 1| 2x， 1 x1， 2， x 1，由 |f(x)|2 ，得 1 x1，即 A x| 1 x1 ，只需证 |1 abc|ab c|，ab c22222222222即证 1 a b ca b c ，即证 1 a bc (1 a b )，即证 (1 a2b2)(1 c2)0 ，由 a，b， c A，得 1 ab1， c20 恒成立1 abc综上，ab c1.解题技法 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论(2) 注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的
8、充分条件，最后得到的充分条件是已知( 或已证 )的不等式(3)注意恰当地用好反推符号“?”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语 题组训练 21已知 abc，且 a bc 0，求证：b acbc 且 a b c 0，知 a0， c0.要证b2 ac3a，只需证 b2 ac3a2. a b c 0，只需证 b2 a(a b)0，即证 (a b)(2ab)0 ，即证 (a b)(a c)0. abc， a b0， a c0， (a b)(a c)0 显然成立，故原不等式成立2已知函数f(x) |x 1|.(1)求不等式f(x) |2x 1|1 的解集 M；(2)设 a， b M，求证： f(ab
9、) f(a)f( b)解： (1)由题意， |x 1|0 ，222所以只需证a c b 0，B 为锐角即 a2 c2b2，因为 a2 c2 2ac，所以只需证 2acb2 ，由已知得 2ac b(ac) 所以只需证 b(a c)b2，即 a cb，显然成立所以 B 为锐角112若 a0 ， b0，且 ab.(1)求 a3 b3 的最小值；(2)是否存在a， b，使得 2a 3b6？并说明理由112解： (1)由ab ，得 ab 2，仅当 a b2时等号成立故 a3 b3 2 a3b3 4 2，仅当 a b 2时等号成立所以 a3b3 的最小值为 4 2.(2)由 (1) 知， 2a 3b 26
10、ab 43.由于 436，从而不存在a，b，使得2a 3b 6.3 (2019 宁模拟南 )(1) 解不等式 |x 1| |x 3|4；(2)若 a， b 满足 (1) 中不等式，求证：2|a b|ab 2a 2b|.解： (1) 当 x 3 时， |x 1| |x 3| x 1 x 3 2x 4 4，所以4 x 3；当 3 x 1 时， |x 1| |x 3| x 1 x 3 24 恒成立，所以 3 x 1；当 x 1 时， |x 1| |x 3| x 1 x 3 2x44，解得 x0，所以 1 x0.综上，不等式|x1| |x 3|4 的解集为 x|4 x0 (2)证明：因为4(a b)2
11、 (ab 2a2b)2 (a2b2 4a2b 4ab2 16ab) ab(b4)( a 4)0 ，所以 4(ab) 2(ab2a 2b)2，所以 2|a b|2.当 x 2 时，由 f(x) x 1 1，解得 x0，此时 x 0；当 x2 时，由 f(x)3x 5 1，解得 x43，显然不成立故 f(x) 1 的解集为 M x|x 0 (2)证明：当x M 时， f(x) x 1，22222121于是 xf(x) x f(x) x(x 1) x (x 1) x x x 24.令 g(x) x1 2 1，24则函数 g(x)在 ( ， 0上是增函数， g(x) g(0) 0.2 2故 xf( x
12、) x f(x) 0.5 (2019 西安质检 )已知函数f(x) |2x 1| |x 1|.(1)解不等式f(x) 3；(2)记函数 g(x) f(x) |x 1|的值域为M，若 t M，求证： t 2 1 3t 3t. 3x， x 1，解： (1)依题意，得 f(x) 2 x， 1 x1，23x， x 1，2 f(x)3?x 1， 1x0 ， t 3 t2 1 0， t t2 1 3t 3t.6 (2019 长春质检 )已知函数f(x) |2x 3| |3x 6|.(1)求 f(x)2 的解集；1(2)若 f(x)的最小值为T，正数 a，b 满足 a b 2，求证：ab T. 5x9， x
13、2.作出函数 f(x)的图象如图所示由图象可知， f(x)2 的解集为7， 115 5 .(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知a ba b11，2242当且仅当 a b 时， “ ” 成立，即ab1 T.37已知函数f(x) |2x 1|x 2 .(1)求不等式f(x)0 的解集 M；(2)当 a， b M 时，求证： 3|a b|ab9|.5 x， x2.当 x32时， f(x)0 ，即 52 x0，无解；311，得11当 x2时， f(x)0 ，即 3x0x ；226215时， f(x)0 ，即 x2x .222综上， M x 1x5.62(2)证明：要证 3|a
14、b|ab 9|，只需证9(a2222b 2ab)a b 18ab81，即证 a2b2 9a2 9b2 81 0，即证 (a2 9)(b2 9) 0.因为 a， b M，所以 1a5， 1b5，626222所以 a 90 ， b 90 ，8已知函数f(x) m |x 4|(m0)，且 f(x 2) 0 的解集为 3， 1(1)求 m 的值；111(2)若 a， b， c 都是正实数，且 a2b3c m，求证： a 2b 3c 9.解： (1)法一： 依题意知f(x 2)m |x 2| 0，即 |x 2| m? m 2 x 2m. m 2 3，由题意知不等式的解集为 3， 1，所以 2m 1，解得 m 1.法二： 因为不等式f(x2) 0 的解集为 3， 1，所以 3， 1 为方程 f(x 2) 0 的两根，即 3， 1 为方程 m |x 2|0 的两根，所以m | 3 2| 0，m | 1 2| 0，解得m 1.111(2)证明：由 (1)可知 1(a， b， c0) ，所以 a 2b 3c( a 2b 3c) 1a 2b1 3c1 3 2ba 2ba 3ca 3ca 2b3c2b3c 9，当3且仅当 a2b 3c，即 a 3， b ， c 1 时取等号