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1、专题四三角函数与解三角形第十二讲 解三角形一、选择题1 (2018 全国卷 )在 ABC 中， cos C5，BC1， AC5，则 AB25A4 2B 30C 29D2 5(2018全国卷)ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a，b ，c，若ABC 的面积2为 a2b2c2，则 C4A B 3CD 624（2017山东）在ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别为a，b，c若ABC 为锐角三3角形，且满足sin B(12cos C )2sin A cosC cos Asin C，则下列等式成立的是A a 2bB b 2aCA 2BDB 2A4（2016 年天津）在ABC 中，若
2、 AB=13 ， BC =3，C120，则 AC=A 1B 2C 3D 45（2016 年全国 III ）在 ABC 中， B =， BC 边上的高等于1 BC ,则 cos A =43A3 10B 10C -10D- 3 10101010101，AB1，BC2，则AC=6 (2014 新课标 )钝角三角形 ABC 的面积是 2A 5B 5C 2D 1(2014重庆)已知ABC 的内角 A ，B，C满足sin 2 A sin( ABC ) = sin(CA B)71，面积 S 满足 1 S 2 ，记 a ， b ， c 分别为 A ， B ， C 所对的边，则下列不2等式一定成立的是A bc(
3、bc)8ab(ab)16 2C 6abc12D 12abc24B8（2014 江西）在ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边长，若c2(ab)26 ， C，则ABC 的面积是39333D3 3A3BC2292014四川）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30 ，（此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A307560mBCA 240(3 1)mB 180(21)mC 120( 31)mD 30( 31)m10 2013新课标）已知锐角ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c，23cos2A（cos2A0，
4、 a7， c6 ，则 bA 10B 9C 8D 5（2013辽宁）在ABC，内角A, B,C所对的边长分别为a, b, c若 a sin B cosC11c sin B cos A1 b ，且 ab ，则B =2A B3C 2D 563612（ 2013 天津）在 ABC 中，ABC, AB2, BC3,则 sinBAC =4A 10B 10C3 10D510510513（ 2013 陕西）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若 b cosCc cosBa sin A ,则 ABC 的形状为A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D 不确定14（ 2012 广东）
5、在ABC 中，若A60 ,B 45 ,BC32，则 ACA43B23CD15（ 2011 辽宁）ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a sin Acos Bb cos2 A2a，则 baA 23B2 2C 3D 216（ 2011 天津）如图，在 ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD ,2 AB3BD ，BC 2BD ，则 sin C 的值为BADC3B366A 6C D 33616（ 2010 湖南）在，2a，ABC 中，角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b,c 若 C 120 c则A abB abC abD a 与 b 的大小关系不能确定二、填空
6、题18(2018 江苏 )在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD 1，则 4a c 的最小值为浙江在 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为a，b ，c若a7，b2 ，19 (2018)A 60 ，则 sin B =_ ， c =_ 20（2017 浙江）已知ABC,AB AC 4,BC 2点 D 为 AB 延长线上一点 , BD2 ,连结 CD ,则BDC 的面积是 _， cosBDC =_21（2017 浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术 ”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继
7、承并发展了“割圆术 ”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术 ”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ，S6 =22 2016年全国II）ABC 的内角A,B,C的对边分别为a, b, c，若cos A，（455cosC， a 1，则 b1323 (2015 广东 )设ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 a3 ，sin1，则 b， C6224（ 2015 福建）若锐角ABC 的面积为 103，且 AB5， AC8，则 BC 等于（2015新课标）在平面四边形ABCD 中，ABC75， BC2，则 AB25的取值范围是 _26（
8、2015 北京）在 ABC 中， a4 ， b 5 ， c 6sin 2A，则sin C272015天津）在ABC 中，内角A, B,C所对的边分别为a, b, c，已知 ABC 的面积为（3 15， b c2 ， cos A1，则 a 的值为428（ 2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度 CDm29（ 2014 新课标） 如图，为测量山高MN，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点从A 点测得M点的仰角MAN60 ，C
9、点的仰角CAB45以及MAC75 ；从C点测得MCA60已知山高BC100m ，则山高MN_ m MCNBA30（ 2014 广东）在ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b,c 已知 bcosCac cosB2b ，则b312013安徽）设ABC 的内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c若 b c 2a ，则（3sin A 5sin B, 则角 C_.32（ 2013 福建）如图ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD22AC ， sin BAC，3AB 3 2，AD3 ，则 BD 的长为 _ABDC332012安徽）设ABC 的内角A, B,C所对的边为a, b,
10、c；则下列命题正确的是（若 abc2 ；则 C若 ab2c ；则 C33若 a3b3c3 ；则 C若 (ab)c 2ab ；则 C22若 (a2b2 )c22a2 b2 ；则 C334（2012北京）在ABC 中，若 a 2,bc7,cos B1 ，则 b =4（2011新课标）ABC 中，B60,AC3,，则AB+2BC的最大值为_3536（2011新课标）ABC 中， B120 , AC7, AB5 ，则ABC 的面积为 _ _（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a， b，c分别为内角 A， B ， C 所对的边长，37ba6cos CtanCtanC=_ab，则tan Btan A38
11、2010山东）在ABC 中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c，若a2, b2，（sin BcosB2 ，则角 A 的大小为三、解答题（2018北京）在ABC 中， a7 ， b8，cos B1397(1)求A ；(2)求 AC 边上的高40（ 2018 全国卷）在平面四边形ABCD 中， ADC90，A45 ，AB2，BD 5(1)求 cosADB ；(2)若 DC2 2，求 BC41 （ 2018天津）在 ABC 中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c 已知b sin Aa cos(B)6(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2
12、A B) 的值42（ 2017 新课标）ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c，已知ABC 的面积为a23sin A(1)求 sin B sin C ；(2)若 6cos B cosC1， a 3 ，求ABC 的周长43（ 2017 新课标）ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin A3 cos A0， a 27 ， b2 (1)求 c ；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC ，求ABD 的面积44（ 2017 新课标）ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin( AC
13、 )8sin 2B 2(1)求 cos B(2)若 ac6 ，ABC 面积为 2，求 b （天津）在 ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 已知a b， a 5 ，45 2017c6 ， sin B35（）求 b 和 sin A 的值；（）求 sin(2 A) 的值446（ 2017北京）在ABC 中， A =60 ， c3 a 7（）求 sin C 的值；（）若 a7 ，求ABC 的面积47（ 2016 年山东）在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为a， b，c，已知2(tan A tan B)tan Atan B .cos Bcos A（）证明： ab2c ；
14、（）求 cos C 的最小值48（ 2016 年四川）在 ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，且 cos Acos Bsin C abc（ I）证明： sin A sin Bsin C ；（ II ）若 b2c2a26 bc ，求 tan B .549（ 2016 年全国 I） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知2cosC(a cosB+b cos A)c.（ I）求 C；（ II ）若 c7, ABC 的面积为 3 3 ，求 ABC 的周长250（ 2015 新课标 2） ?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， ?
15、ABD 面积是 ? ADC 面积的 2倍( )求sin B ；sin C( ) 若 AD=1，DC =2，求 BD和AC的长251 2015湖南）设ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c，a b tan A，且 B 为钝角（ 1）证明： B A；2（ 2）求 sin Asin C 的取值范围52（ 2014 山东）ABC 中， a ，b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边长已知a 3,cos A6 , BA32（）求 b 的值；（ II ）求ABC 的面积532014安徽）设ABC的内角A, B,C所对边的长分别是a, b,c，且 b3 ， c1 ，（A2B （）求
16、a 的值；（）求 sin( A) 的值454（ 2013新课标）如图，在 ABC中， ABC 90， AB = 3 ，BC=1， P为 ABC内一点， BPC 901（）若PB = ，求 PA；（）若 APB 150，求 tan PBA（2013新课标） ABC 在内角A,B,C的对边分别为a, b, c，已知 a bcosC c sin B 55（）求 B ；（）若 b 2 ，求 ABC 面积的最大值56（ 2012 安徽）设 ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为a,b, c ，且有 2sin B cos Asin A cosC cos Asin C （）求角 A 的大小；（ )
17、若 b 2 ， c1 ， D 为 BC 的中点，求 AD 的长57（ 2012 新课标）已知 a 、 b 、 c 分别为ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边， a cosC3a sin C b c0 （）求 A ；（）若 a 2 ，ABC 的面积为 3，求 b 、 c （2011山东）在 ABC 中，a， b ，c分别为内角 A ， B， C 所对的边长已知58cos A 2cos C2cacos Bb（ I ）求 sin C 的值；sin A1， b2 ，ABC 的面积 S （ II ）若 cos B459（ 2011 安徽）在ABC中，a ， b ， c 分别为内角A，B，C所对的
18、边长，a=3 ，b=2 ， 12cos( BC )0 ，求边BC上的高60（ 2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点，现位于偏西A 点北偏东 45，B 点北偏西60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于60且与 B 点相距 203 海里的 C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为B 点南30海里 /小时，该救援船到达D 点需要多长时间？61（ 2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔标杆 BC 的高度 h =4m ，仰角 ABE=AE 的高度H (单位：，ADE=m），如示意图，垂直放置的EHCD hABd（ 1）该小组已经测得一组、的值， tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值；（ 2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位： m），使与之差较大， 可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问 d为多少时，最大？