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1、 1 从平面向量到空间向量 学习目标 1. 了解向量由平面到空间的推导过程2. 理解空间向量的概念3. 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量 学习过程 一、课前准备复习：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量，向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：1. 什么叫空间向量？2.空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？3.空间向量如何表示？4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？探究任务
2、二：向量、直线、平面的相关概念问题：1.直线的方向向量概念 2.平面的法向量概念 典型例题例1 见P26思考与交流例子三、总结提升 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 直线的方向向量概念3平面的法向量的概念4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若=，则，的长度相同，方向相反或相同;B. 若与是相反向量，则=;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD中，一定有.2. 已知向量，是两个非零向量，是与，
3、同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. B. 或C. D. =3. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量2 空间向量的运算（一）一、选择题1. 下列说法中正确的是 （ ）A. 若=，则，的长度相同，方向相反或相同;B. 若与是相反向量，则=;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD中，一定有.2. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下
4、列各式正确的是 （ ）A. B. 或C. D. =3. 下列说法正确的是 （ ）A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量二、填空题4.长方体中，化简= .5.如果都是平面的法向量，则的关系 .三、解答题6.已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式： ; ; ； .创新与实践: 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：错误反思题号错题分析正确解法2 空间向量的运算一、选择题1. 下列说法正确的是 （ ）A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；B. 任意两个共
5、线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量与共线，则. 2. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若， 则与相等的向量是 （ ）A. B. C. D. 3.下列命题中： 若，则，中至少一个为 若且，则 正确有个数为 （ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二、填空题3.已知中，所对的边为，且,则= 4.已知向量满足，则_ 三、解答题6.已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，试用向量表示向量.创新与实践: 已知为平行四边形，且，求的坐标.错误反思题号错题分析正确解法3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)1、 选
6、择题1.则 （ ）A15 B5 C3 D12. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 3.已知 ， 且，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题4. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 ，则点B的坐标是 .5. 已知，且，则x .三、解答题6.已知，求：； ； ； ； （5）.创新与实践: 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件 错误反思题号错题分析正确解法3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(二)1、 选择题1. 若为空间向量的一组基
7、底，则下列各项中，能构成基底的是 （ ）A. B. C. D. 2.在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为 （ ）A0 B. 1 C. 2 D. 33.已知,与的夹角为120，则的值为 （ ）A. B. C. D. 二、填空题4.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基 底，试用基底表示 .5. 已知关于x的方程有两个实根，且 ，当t 时，的模取得最大值.三、解答题
8、如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.(1)求与的坐标;(2)求与所成的角的余弦值创新与实践: 如图，正方体的棱长为， 求的夹角； 求证：. 错误反思题号错题分析正确解法4 用向量讨论垂直与平行（一）一、选择题1.若，则是的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2.已知且与互相垂直，则的值是 （ ） A.1 B. C. D. 3.下列各组向量中不平行的是 （ ） A. B. C. D.二、填空题4.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系 是 .5.已知向量，若，则_；若则_.三、解答题6.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系： ；
9、 .创新与实践: 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF平面PBC。 错误反思题号错题分析正确解法4 用向量讨论垂直与平行(二)一、选择题1.下列说法正确的是 （ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若是直线的方向向量，则2.已知，能做平面的法向量的是 （ ）A. B. C. D. 3.已知，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C.4 D.二、填空题4.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系 是 .5.若向量
10、，则这两个向量的位置关系是_.三、解答题6.如图，在四面体中，点分别是的中点 求证：（1）直线面；（2）平面面创新与实践: 用向量方法证明：(三垂线定理的逆定理)如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.错误反思题号错题分析正确解法5 夹角的计算（一）一、选择题1.已知向量，若，设，则与轴夹角 的余弦值为 （ ） 2.若，与的夹角为，则的值为 （ ） A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.13. 在正方体中，为的交点，则与所成角的 （ ） . . . .二、填空题4.若，且，则与的夹角为_.5.若向量与的夹角为，则 .三、解答题6.设空间两个
11、不同的单位向量 与向量的夹角 都等于45. (1)求和的值； (2)求的大小.创新与实践: 如图，已知点P在正方体的对角线上，PDA=60.求DP与所成角的大小.错误反思题号错题分析正确解法5 夹角的计算（二）一、选择题1.若A，B，C，则ABC的形状是 （ ） A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. B. C.或 D.或3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成 角的正弦值为 ( ) A. B. C. D.二、填空题4.直三棱柱ABCA1B1C1中，A
12、CB=90，AA1=6，E为AA1 的中点，则平面EBC1与平面ABC所成的二面角的大小为 .5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面 直线和所成角的余弦值为 .三、解答题6.如图3，已知直四棱柱中，底面是直角梯形， 是直角，求异面直线与所成角的大小. 创新与实践:如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=1，,AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点.（1）求证：CD平面BDM； （2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小. 错误反思题号错题分析正确解法6 距离的计算（一）一、选择题1.设，则线段的中点到点的距离 为 ( ) A. B. C. D.2
13、.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( ) A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为603.四边形为正方形，为平面外一点，二面角 为，则到的距离为 （ ） 2二、填空题4.如图，PABCD是正四棱锥，是正方体， 其中，则到平面PAD的距离为 .5. 已知正方体的棱长是，则直线与 间的距离为 。三、解答题6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,求点C到平面AEC1F的距离.创新与实践: 如图,是矩形,平面,分别是的中点,求点到平面
14、的距离.APDCBMN错误反思题号错题分析正确解法6 距离的计算 （二）一、选择题1.正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面距离等于 （ ） . . . .2一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是 （ ） 3.三角形ABC的三个顶点分别是，则AC边上的高BD长为 （ ） A.5 B. C.4 D.二、填空题4. 已知是异面直线，那么：必存在平面过且与平行； 必存在平面过且与垂直；必存在平面与都垂直； 必存在平面与距离都相等其中正确命题的序号是 2. 已知空间四边形，点分别为的中点，且 ,用，表示，则=_.三、
15、解答题6. 如图，在长方体中，点在棱上移（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离.创新与实践:如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点.求在侧面内找一点，使面，并计算点到和的距离. 错误反思题号错题分析正确解法本章小结测试一、选择题1. 已知，则的最小值是 （ ）A. B. C. D. 2.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D. 3. 正方体的棱长为，,N是的中点，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题4. 已知，且，则k .5. 空间两个单位向量与的夹角都等于，则 .三、解答题6.如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点. 求证：; 求与所成角的余弦值； 求的长. 创新与实践: 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 错误反思题号错题分析正确解法