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1、y =3sin 4 x +2020 届吉林省吉林市高三第一次调研考试数学（文）试题一、单选题1已知集合A =-1,0,1,2，B =xx0，则 AB =（ ）A1,2B-1,0C0,1,2D-1【答案】B【解析】根据集合交集的定义，即可求出答案. 【详解】因为A =-1,0,1,2，B =xx0.所以AB =-1,0故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集 运算及其性质.2函数 p3的最小正周期是（ ）A2pBp2Cp3Dp【答案】B【解析】由三角函数的最小正周期T =2 pw，即可求解。【详解】w=4，T =2 pw2p pT =4 2故
2、选：B【点睛】本题考查求三角函数y =A sin(wx +j)的周期，属于基础题。3已知 D 是ABC 边 AB 上的中点，则向量 CD =（ ）第 1 页 共 17 页A- BC +12BABBC -12BAC- BC -12BADBC +12BA【答案】A【解析】利用向量的线性运算，用基底BC,BA表示向量CD 【详解】.因为 D 是ABC 边 AB 上的中点，所以CD =CB +BD =CB +1 1 BA =-BC + BA2 2.故选 A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量 靠拢.4已知奇函数f ( x) 当 x 0 时， f ( x
3、 ) =x (1-x )，则当 x 0 时， f ( x)的表达式是( )A-x(1+x )B-x(1-x )Cx(1+x )Dx ( x -1)【答案】C【解析】设 x0，又当 x0 时,f(x)=x(1x)，故 f(x)=x(1+x)， 又函数为奇函数，故 f(x)=f(x)=x(x+1)，即 f (x)=x(x+1)，本题选择 C 选项.5已知正项等比数列 A4满足B2， 与的等差中项为 ，则 的值为( )C3 D8【答案】A【解析】设等比数列的公比为 ，计算即可得到所求首项 【详解】，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，正项等比数列公比设为，满足 ， 与的等差中项为 ，可得可得解
4、得，（舍去），即，则，故选： 【点睛】第 2 页 共 17 页 2222本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于 基础题6若 cos(a+p2) =-33，则cos2a =（ ）A-23B-13C13D23【答案】C【解析】本道题化简式子,计算出sina,结合 cos 2a =1 -2sin2 a,即可.【详解】cos pa+ =-sin 2 a =-33,3得到 sin a = ,所以 31 1cos 2a =1 -2sin 2 a =1 -2 =3 3,故选 C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.7已知向量 a ， b 的夹角为 60，a =1，
5、b =2，则2 a -b =（ ）A2B 2 3C 7D1【答案】A【解析】根据 2a -b = 【详解】(2a-b)2展开计算即可得出答案.2a -b =(2a-b)2= 4 a -4 a b+ b2= 4 a -4 a b cos60+ b1= 4 -4 12 +42=22故选：A.【点睛】本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题,解本类题型需熟练掌握两向量差的模长计算公式： a -b =(a-b)2=a -2a b+b .第 3 页 共 17 页 p f ( x ) =2 sin 2 x +3 8将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移p12个单
6、位得到数学函数g ( x )的图像，在g ( x)图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）Ax =-p24Bx =p4C x =5p24Dx =p12【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得y =2 sin 4 x +p3，根据放缩变换可得函数g (x)的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数f (x)=2sin 2 x +p3的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y =2 sin 4 x +p3，再将所得图象向左平移p12个单位得到函数g (x)的图象，即g (x)=2sin 4 x + p p 2p + =2 sin 4x +12 3 3 ，由4 x +2p
7、 p= +k3 2p, k Z，得x =1 pkp-4 24, k Z，当k =0时，离原点最近的对称轴方程为x =-p24，故选 A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数y =A sin(wx +j)可求得函数的周期为2 pw；由wx +j=kp+p2可得对称轴方程；由wx +j=kp可得对称中心横坐标.9若函数f (x)=ax（ a 0 且 a 1 ）在 R 上为减函数，则函数y =loga(x-1)的图象可以是（ ）AB第 4 页 共 17 页x11CD【答案】D【解析】根据函数f(x)=ax（a 0且a 1）在 R 上为减函数知道0 a 0且a 1）在 R 上为
8、减函数.所以0 a 1时，函数y =loga(x-1)=loga(x-1)在(1,+? )上单调递减.当 x 0且a 1）在 R 上为减函数，判断出0 a 0），则称f (x)为“k 倍函数”，给出下列结论：f (x)=1x是“1 倍函数”；f (x)=x2是“2 倍函数”：f (x)=ex是“3 倍函数”其中正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据f (x)=1x在(- ? ,0 ) ， (0,+?)单调递减,可在区间(- ? ,0)上找，也可在区间(0,+? ) 1 f ( m) = =n m上找使 1 f ( n) = =m n成立的m、n的值.因为f (x)=x20,所以n m 0
9、，又f (x)=x2在0, +)上单调递增，即在区间0, +)上找使 f ( m) =m 2 =2 m f ( n ) =n 2 =2 n成立的m、n的值.f (x)=ex在 Rf (m) =e m上单调递增，即找使 f ( n) =e n=3m=3n成立的m、n的值.等价于e x =3 x 有两根，可证明 【详解】g (x)=ex-3x有两个零点.f (x)=1x是“1 倍函数”:即存在m,n(-,0)(0,+)，使f(x)在m,n上的值城为m,n.若m,n(-,0)，f (x)=1x在(- ? ,0 )上单调递减,即 1f ( m) = =n m mn =1 . 1f ( n ) = =m
10、 n第 7 页 共 17 页()令m =-2, n =-1 1 1 1 , f x = 在-2，- 上的值域为 -2，-2 x 2 2.即f (x)=1x是“1 倍函数”；f (x)=x2是“2 倍函数”:即存在m,nR，使 f (x)在m,n上的值城为2m,2 n.因为f (x)=x20,所以 n m 0.又因为f (x)=x2f ( m) =m 2在 0, +)上单调递增,即 f ( n ) =n 2=2 m=2 n m =0, n =2.即f (x)=x2在0,2上的值域为0,4，即f(x)=x2是“2 倍函数”.f(x)=ex是“3 倍函数”:即存在m,nR，使f (x)在m,n上的值
11、城为3m,3n.因为f (x)=ex在 Rf (m) =e m =3m上单调递增,所以 f ( n) =e n =3n等价于 e x =3 x 有两根.记g (x)=ex-3x，现证 g (x)有两个零点.g(x)=ex-3 ，令 g(x)=ex-3 =0解得 x =ln3.即函数g (x)=ex-3x 在 (-,ln3)单调递减，在(ln3, +)上单调递增.g (ln3)=eln3e-3ln 3 =3 -3ln 3 =3ln 0 2 x +1, x 0，则 1 =_.【答案】11 【解析】根据解析式，先求 【详解】ln x, x 0f ( x) =， 2 x +1, x 01 1 f =l
12、n =-1，e e 1 f f= f ( -1) =2 0 =1， ，再求 1 即可。故答案为：1【点睛】本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。14已知a =2 5，b =(1,2)，且 a / / b ，则向量 a 的坐标是_【答案】 (2,4)，(-2,-4)【解析】根据b =(1,2)且 a / / b ，可设a =(m,2m )，再利用 a =2 5 ，解出 m 的值即可得出答案.【详解】因为 a / / b ，b =(1,2)所以设a =(m,2m )又因为a =m 2 +4 m 2 =2 5 m =2.所以a =(2,4)或a=(-2,-4).故答案为：(2,4 )
13、，(-2,-4).【点睛】本题考查根据向量平行与模长求向量的坐标表示,属于基础题.根据向量平行设出向量 a =(m,2m )，可以简化计算.15我国古代的天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二十四个节气，每个节第 9 页 共 17 页1气唇（gu）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 16.5 尺，这十二节气的所有日影子长之和为 84 尺，则夏至的日影子长为 _尺.【答案】1.5【解析】由题意设此等
14、差数列a的公差为d n，则 S =8412a +a +a =16.5 1 5 9求出首项即可得到答案。【详解】设此等差数列an的公差为 d，由题意 S =8412a +a +a =16.5 1 5 9 12 1112a + d =84 即 23a =3(a +4 d ) =16.5 5 1解得 a =1.51d =1所以夏至的日影子长为1.5故答案为：1.5【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式， 属于基础题。16已知函数f (x)=sin(wx+j)（0 wp2，j p2）的部分图象如图所示，则f (0)+f(1)+f(2)+f (48)=_【答案
15、】33 32【解析】根据图像求出w=p3、j=p3，再计算出f (0)、f (1)、f(2)、f (3)、第 10 页 共 17 页() ()3 3()()f (4)、f (5)【详解】的值，再由周期性得出答案.由图知：T =2 3 =6,即2pw=6 w=p3.所以f (x)=sinp3x +j，又f (-1)=0 .即-p3+j=0 j=p3.即f (x)=sinp px +3 3.所以f (0)=sinp 3 p p 3 = ， f 1 = sin + =3 2 3 3 2，2p pf 2 =sin + =0 ， f (3)3p p 3 = sin + =3 3 2，4p p 3f 4
16、= sin + = ， f 5 = sin 3 3 25p p+ =03 3 .所以f (0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=23.又函数f (x)=sinp px +3 3周期为 6.所以f(0)+ f(1)+ f(2)+f(48)=8 (f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(0)=33 32.故答案为：33 32.【点睛】本题考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式与三角函数的周期性的应用，属于中 档题.解本题的关键在于正确求出三角函数的解析.三、解答题17AB 是底部 B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物 AB 的高度，先
17、把高度为 1 米的测角仪放置在CD位置，测得仰角为 45，再把测角仪放置在 EF 位置，测得仰角为 75，已知 DF =2 米，D，F，B在同一水平线上，求建筑物 AB 的高第 11 页 共 17 页度。【答案】（ 2 + 3 ）米【解析】在 DACE中，利用正弦定理求出 AE ，在 DAEG求出 AG即可求出 AB .【详解】DACE中，AE CE=sin 45 sin(75 - 45)，AE =2sin 45sin30 =2 122=2 2 （米）2AB =AG +1 =AE sin75 +1=2 2 sin75 +1因为sin75 =sin(30 +45)=sin30 cos45 +co
18、s30 sin 45 1 2 3 2 2 + 6= + =2 2 2 2 42 + 6所以 AB =2 2 +1 =2 + 3 （米）4所以建筑物 AB的高度为（ 2 + 3 ）米【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基第 12 页 共 17 页n，2 n= -( ) 础题。18已知数列an为等差数列，公差 d 0，前 n 项和为Sn，a =2 ，且 a ， 1 2a4，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设b =n2Sn，记数列b的前 n 项和为 T nn，求证：T 2n【答案】（1）a =2 nn；（2）证明见解析.【解析】（1）根据
19、即可得出答案.a =2 ，且 a ， a ， a 成等比数列列出方程，即可解出 d =2 ， 1 2 4 8（2）由（1）知 S =nn2+n ，代入b =n2Sn，再利用裂项相消求出 1 T =2 1 - n +1 ，即可说明【详解】T 2n.（1）由题意得：a42=a a2 8，(2+3d)2=(2+d)(2+7d)，整理得 d 2 -2 d =0 ，因为 d 0 ，所以 d =2 ，所以a =2 +2 (n-1)，a=2 n n n（2） S =n n2+n ，b =n2 2 1 1 = =2 -S n +n n n +1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 T =2 - +2 - +
20、2 - +2- =2 1 - 21 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 ，即T 0，c =61 1 3S = ac sin B = 4 6 =6 3 2 2 2【点睛】本题考查利用正余定理解三角形，属于基础题.解三角形一般情况看所给形式是否为余弦公式，若不是则用正弦定理将边的关系化为角的关系，或者将角的关系化为边的关系， 再化简得出答案.20设函数 x列nf ( x) =sin x -1的正零点从小到大依次为x , x ,1 2， x ，构成数 n（1）写出数列xn的通项公式 x ，并求出数列nxn的前 n 项和 Sn；（2）设a =nS pn -n 4，求sin an的值.【答案】（1）x =2( n -1)p+ np2，S =n ( n -1)p+ nnp2；（2）见解析【解析】（1）由函数f ( x ) =sin x -1的正零点，令sin x -1 =0即可求出 x ，再有等差n数列求和公式即可求出Sn（2）首先求出a =nS p p n - =( n -1)p+ n 4 4，再讨论 的奇偶即可求解。【详解】第 14 页 共 17 页 nn （1）x =2( n -1)p+ np2, n N *S =np p p + 2p+ + 4p+ +2 2 2 + 2( n -1)p+ p2=2p1+2 +3 +(n -1) +np np =n (n -1)p