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1、AD=2.下列结论： AGD =112.5专题 20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形， 熟悉以下基本图形例题与求解AGD【例 l】 如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，折叠EO正方形纸片 ABCD ，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后， 折痕 DE
2、分别交 AB ，AC 于点 E ，G 0 ；AAAEFGAA =2OG四边形是菱形；.B； SFDAGD=SDOGDC；其中，正确结论的序号是_ （重庆市中考试题） 解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法【例 2】如图 1，操作：把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上(CG BC )，取线段AE的中点M.连MD，MF（1）探究线段MD，MF的关系，并加以证明（2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变 探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明（大连市中考题改编）解题思路：由 M 为 AE 中点，想
3、到“中线倍长法”再证三角形全等ADFA D FBCMEB CMEGG图1图2【例 3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且EF =AE +FC，DG EF于 G ，求证： DG =DA .（重庆市竞赛试题）解题思路：构造AE +FC的线段是解本例的关键A DEGB F C【例 4】 如图，正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF 、GH 分割成四个小矩形， P 是 EF 与ABCDGH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的 2 倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测 HAF 的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含
4、的线段间的 关系AGBEPFDHC【例 5】 如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是边 BC ， CD 上的点，满足EF =BE +DF，AE , AF分别与对角线BD交于点M , N求证：（1）EAF =450；（2） MN2 =BM 2 +DN 2 （四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易 联想到直角三角形三边关系ADNFMBEC【例 6】已知 ：正方形 中， MAN =450， MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M , N当MAN绕点A旋转到BM =DN时（如图 1）
5、，易证BM +DN =MN（1）当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 2），线段 BM , DN 和 MN 之间有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图 3 的位置时，线段BM , DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造DN -BM是解题的关键ADMBCA DNADNBMCBMCN图 1图 2图 3能力训练A 级1. 如图，若四边形 ABCD 是正方形， DCDE 是等边三角形，则 EAB 的度数为_.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：A
6、B =BC =CD =DA；AO =BO =CO =DO, AC BD；AO =CO, BO =DO, AC BD；AB =BC , CD =DA其中，能判定它是正方形的题设条件是_. （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转 300，则这两个正方形重叠部分的面积是_.A DA（青岛市中考试题）DDPEAADCBCB C第 1 题图BC 第 3 题图P 第 4 题图4. 如图，P是正方形ABCD内一点，将DABP绕点B顺时针方向旋转至能与 DCBP 重合，若PB =3 ，则 PP =_.5. 将 n
7、个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，点 A , A , L A1 2 n方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )（河南省中考试题） 分别是正方形的中心，则 n 个正A .14cm2Bn4cm2C.n -1 1 cm 2 D. ( )4 4ncm2（晋江市中考试题）B 55 C. 65 D. 75B CA2A3A4AA1A5OF E第 5 题图第 6 题图6. 如图，以RtDBCA的斜边BC为一边在DBCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB =4, AO =6 2，则AC的长为( )A . 12 B 8 C.4 3D.8 2（浙江省竞赛试题）7如图，正方形ABC
8、D中， CE =MN , MCE =350，那么 ANM 是( )A .450 0 0 08如图，正方形ABCD的面积为 256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtDCEF的面积为 200，则 BE 的值是( )A15 B12 C11 D10A N D DFECBMC AB E第7题图第8题图9如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求证：AF BEABCD E AB F AD AFA EDFB C10. 如图，在正方形 中， 是 边的中点， 是 上的一点，且 =14AD求证： CE 平分 BCF A F DEB C11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上
9、一点，PE DC , PF BC , E , F分别是垂足求证：AP =EFA（扬州市中考试题）DPEBFC12.（1）如图 1，已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF (CG BC ) ， B , C , G在同一条直线上，M为线段AE的中点探究：线段MD , MF的关系（2）如图 2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转 450，使得正方形CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上， M 为 AE 的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（大连市中考试题）ADFFEMADMBCEBCGG图 1图 2B 级1. 如图，在四边形 A
10、BCD 中， AD =DC , ADC =ABC =900，DE AB于E，若四边形ABCD的面积为 8，则DE的长为_.2.如图，M 是边长为 1 的正方形 ABCD 内一点，若 MA2 -MB 2=12, CMD =900，则MCD =_.D A D（北京市竞赛试题） FCMAOEAEB BC C B第1题图第2题图第3题图90 ,3.如图，在RtDABC中， C = 0 AC =3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC =4 2，则BC的长为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于M，过M作MN AQ交BC
11、 于 N 点，作 NP BD 于点 P ，连接 NQ ，下列结论： AM =MN ； MP =12BD；BN +DQ =NQ；AA +BNBB为定值，其中一定成立的是( )A . B C. D. 5.如图，ABCD是正方形，BF / AC，AEFC是菱形，则ACF与F度数的比值是( )A . 3 B 4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为 20 的正方形内接于一个周长为 28 的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形 的顶点的最大距离是( )A .58B725C. 8 D.65E.5 3（美国高中考试题）AMDDCFA DQQPEPBNC ABBC第4题图第5题图第6题图第7题图7.如
12、图，正方形ABCD中，AB =8，Q是CD的中点，设DAQ =a，在CD上取一点P，使BAP =2a，则 CP 的长度等于 ( )A . 1 B 2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形 ABCD 中， M 是 AB 中点， E 是 AB 延长线上一点， MN DM 且交 CBE 平分线于N（如图 1）（1）求证：MD =MN；（2）若将上述条件中的“ M 是 AB 中点”改为“ M 是 AB 上任意一点”其余条件不变（如图 2）， （1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1
13、）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）ND CD CD CNNAMEB AMBE AB M E图1图2图39.已知0 a 1,0 b 1,求证：a2+b2+ (1 -a )2+b2+ a2+(1 -b )2+ (1 -a )2+(1 -b )22 210.如果，点 M , N 分别在正方形 ABCD 的边 BC , CD 上，已知 DMCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，求 MAN 的度数 （“祖冲之杯”邀请赛试题）D N CMA B11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH对角线 AE , CG 分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明： AE CG ，且 AE =CG ，D（北京市竞赛试题） ECFBGA H12. 如图，正方形MNBC内有一点A，以AB , AC为边向DABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ ，连接 RM , BP 求证： BP / RM （武汉市竞赛试题）TNR AMQPBC