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1、互补性与超模性：产业经济经济理论新进展东北财经大学经济学院周鹏本文简要评述了Topkis提出并由Milgrom和Roberts.等发展的互补性和超模性经济理论。他们使用了数学中的格论（lattice theory）来正式地表述经济意义上的互补，给出了一个完备的比较静态分析。互补性和超模性概念能够揭示出企业的战略、结构以及管理过程需要彼此契合。互补性和超模性理论不仅在经济学分析具有很强的解释力，而且在管理实践中也具有深刻的指导意义。关键词： 互补性 超模性 Complementarity and Supermodularity : A Progress of Modern EconomicsZh
2、ou PengThis paper discusses Complementarity and Supermodularity theory, which is proposed by Topkis and developed by Milgrom and Roberts. They explain the economic complementarity by using Lattice theory in Mathematics and develop a complete static analysis. This theory can be used to analyze the fi
3、tness among strategy, structure and management process. This direction shows a good explanatory power and very useful in management.Key words: Complementarity Supermodularity在微观经济学中，互补性（complementarity）概念对于我们来说并不陌生。如果两种商品互相补充、共同提供一种效用，那么我们称它们为互补品，而它们之间的关系则为互补性。起初，这种看起来极其普通的定性认识并未引起人们足够的注意。萨缪尔森早期（194
4、7）关于互补性有个评论：“在我看来，从其根本的重要性上来说互补性问题并不值得人们那么关注”。但是，随着现代经济学研究的进展，互补性以及与之有关的超模性（supermodularity）概念受到了经济学家的重视，其应用在宏观和微观经济领域都有涉及，乃至萨缪尔森在后期（1974）认识上也发生了转变：“重新审视互补性概念的时机已经成熟最简单的东西往往是最难于完全理解的”。在互补性和超模性经济理论研究方面， Topkis（1978，1979），Milgrom和Roberts（1990）是代表性人物，随后该主题的研究迅速集中了一批优秀的经济学家如Vives（1990）、Amir（1991，1996，20
5、03）等。在模型技术上，他们使用了数学中的格论（lattice theory）来正式地表述经济意义上的互补，解决了传统经济学无法处理的经济现实中变量个数增多和非凸性问题，给出了一个完备的比较静态分析。在经济内涵方面，互补性和超模性概念能够揭示出企业的战略、结构以及管理过程需要彼此契合；企业需要变革组织设计和组织过程来适应市场环境和自身战略的变化；经济或组织系统有时会陷入某个状态而难于自拔，其变迁往往表现出缓慢、磨合和不确定。互补性和超模性理论不仅在经济学分析具有很强的解释力，而且在管理实践中也具有深刻的指导意义。二、互补性与超模性思想的简单数理表述互补性这种说法始自埃奇沃思（Edgeworth
6、，），其含义可以一般地归纳为，如果强化一种活动会提高强化另一种活动的收益，那么这两种活动就是互补的。在目标函数可导的前提下，这种说法等价于目标函数关于两个自变量的混合偏导值为正数，即某个变量的边际收益是另一个变量的增函数。对于很多现实问题来说，目标函数连续性、可导性以及变量可分性的要求都过于苛刻，而Topkis使用的互补性和超模性方法就克服了这些现实中的约束。Topkis（1976，1978，1987），Milgrom和Roberts（1990，1994，1995）使用了数学中的格论来表述互补性。为了避免说明过于复杂，我们这里只介绍相关的基本内容。在欧氏空间中，如果对于集合X中任意的元素和，都
7、存在不小于和的元素，同时也存在不大于和的元素，那么X就是一个格。表示大于或等于和的最小要素（可以理解为集合运算中的“并”运算）；表示小于或等于和的最大要素（可以理解为集合运算中的“交”运算）。这里X或X表示集合X的要素存在一致的偏序（partial order）关系。在多维的情形下点，即选择两个点中的最大或最小坐标确定一个新的点。因此，格定义的数理表述为，对于集合X来说，对于任意点，都存在，那么X就是一个格。这也意味着，对于一个格来说，其元素可以按照某个顺序进行排列。在一个格中进行、运算得到一个封闭集合叫做子格（sublattice）。图1可以直观地表现出格的一般含义。如果二维空间上一个区域是
8、一个子格，那么其边界就不能向下倾斜。图1 集合为二维空间上的一个子格根据格的数学定义我们可以看出，一个子格能够表达一种技术上的互补性。这里的互补性表现在，如果问题定义在空间（比如生产中的种投入）上的一个子格中，那就意味着增加一些变量的值并不妨碍增加其它变量的值；同样，减少一些变量的值也不妨碍减少其它变量的值。通过目标函数来正式表述互补性就引出了超模性概念：对于定义在格上的一个目标函数，如果对于任意的，不等式都成立，那么就是超模函数，其变量也具有埃奇沃思意义上的互补性。在二维的情形下，这个不等式的含义是，从点变动到点（或）所实现函数的增量小于从点（或）变动到点的相应增量，即增加一个变量可以提高另
9、一个变量的增加带来的收益。这种表述的数理表达也可以直接写成。我们知道，在两种商品为互补品的效用函数中，或者是两种要素具有互补性的生产函数中，这个式子都是成立的。互补性和超模性在数理上的定义尽管简单，但却蕴含着丰富的经济理论内涵。三、互补性和超模性理论的经济内涵Milgrom和Roberts深具洞见地指出，增加某种活动会提高增加另一种活动的收益，这个互补性定义在本质上是一种顺序（order）的概念。在比较静态经济分析中，增加外生变量会导致内生变量的增加就表现出两种变量之间的互补性。这就意味着，我们在解决经济问题时只需要关注具有一定顺序的解集就可以了。具体来说，互补性和超模性的内涵可以归纳为如下三
10、个方面。1在技术层面，互补性和超模性原理实际上是一种比较静态分析的优化方法，可以大大简化经济问题最优解的“搜寻”过程。根据超模函数的定义，如果和在子格上使超模函数实现极值，那么和也能使实现极值。这样，超模函数极值点具有很好的特性：如果极值点不唯一，那么极值点或者是严格有序的（所有选择都是低值水平或者都是高值水平），或者是对于任意两个无序极值点来说必然存在其它极值点严格大于或小于这两个解。进一步说，如果判断出在子格上使得一个超模函数实现极大，那么我们就可以根据是否严格大于或小于来寻找其它极值点。如果这些点都没有产生更大的值，那么其它点也不可能是极值点。这种优化方法显示出了很高的效率。在选择变量数
11、目很多的情况下，使用常规方法选择极值点需要进行大量的信息和计算工作。但是，如果运用上述分析把解的范围从个象限缩减到2个象限，而遗漏解的可能性只有50，那么这对于最优解的搜寻来说是很有效率的。如果超模函数定义在选择变量的向量以及参数向量组成的子格上，那么极值点的比较静态就很容易分析，因为极值解是参数的单调非递减函数。进一步说，如果外部环境发生变化，选择变量将以系统、一致的方式上下变化，从而导致一个变量的提高会使全部变量都随之提高。这在参数分布彼此独立的横截面分析中，表现为任意两个内生变量，都是正相关的。超模性并不仅仅适用于这种单调比较静态结果，它也是目标函数变量增加时保证单调性不变所必需的。这些
12、增加变量指那些模型中没有反映、但现实中存在的效应和特性因素。为了保证模型的可靠性，就需要把这些效应纳入分析时所得到的比较静态结论仍然成立。如果在加上个别变量的二次凹函数后仍然保持单调性，那么必须是超模函数。因而，在研究企业问题时，要构建一个比较静态结果不依赖于附加项特征的利润函数，就需要目标函数是超模函数。此外，即使总目标函数由于一些选择变量相互替代而非超模函数，只要企业的目标分解后得到局部超模函数，战略性选择变量与局部变量仍然构成互补性关系，那么基于互补性和超模性分析的优化方法就仍然有效。这里的经济含义是，企业在适应环境变化的过程中，会发现进一步采取与新近举措互补的行动大有好处。比如，为非负
13、实数，在外界参数变化前，在初始最优点位置。如果参数变化后仍然满足，那么在新的最优解位置仍然有；但如果，那么就取正值。如果在初始位置还未达到最优，而且与的交叉偏导为正，那么提高就更有利。因而，在变动环境中企业将致力于寻求与现有行动具有互补关系的措施。在现实经济中，选择变量之间普遍存在的强互补性本身就意味着目标函数不可能是凹的。超模函数避免了以往经济模型要求的变量可分性和凹性函数等不现实假设，使得模型可以分析报酬递增。使用互补性和超模性分析需要对复杂的战略和组织政策进行适当排序。当两个变量本来互相替代，即混合偏导小于零，那么将某个变量的排序颠倒就会改变混合偏导的符号（也就说，若，则），从而产生互补
14、性。2在经济思想层面，互补性和超模性能够正式地解决协同性和系统效应问题，即“整体大于其部分之和”；也能够解决“报酬递增”或“正反馈”问题。假定和是空间上的两个点并且严格大于。在数学上超模性等价于，对于每个和，将的每个部分都提高到与中对应的水平，实现的收益大于变量逐个增加实现的收益总和，用数理公式表达就是。这里表示以外的其它所有变量量。关于整体与部分之间的关系的正式表达还有：若是独立同分布的随机干扰项，则超模函数满足。这意味着，如果选择变量受到随机误差项的干扰，那么超模函数的干扰项相同比它们各自独立时期望值要大。也就是说，在要素之间存在互补性的情况下，只要各部分之间彼此契合，那么即使发生了偏离计
15、划的现象，那么对其进行协调就比“各自为政”产生的破坏成本更低。进一步推论，分散化决策有可能给各个主体产生协调失败的损失，而这种协调失败隐含着一种超模性。假定分散主体的现有选择为，报酬为，对任意以及有，存在使得。这样，在维区间上存在一个超模函数，该区间与定义域是一致的。这个道理在实践中体现在，如果企业的部门管理者都根据企业利润最大化目标针对外部环境参数变化选择最优决策变量，但它们不能协调其行动，而是每个人都假定别人行动不变而采取行动，那么它们在整体上就对环境变化没有实现最优反应。上述分析在动态意义上还会产生另外一种含义：一旦经济系统的互补性变量发生了整体性的向上或向下变动，那么这个过程就将按照初
16、始的方向持续下去。这实际上解释了系统的成长、衰退以及崩溃过程。该思想的模型化表达是，目标函数是超模函数，如果在某个时期有，那么结果就一定是，除非有某种外部冲击打断这种过程。类似地，如果值下降，那么这种下降趋势将继续，除非有某种冲击打断。如果考虑到更长期界内的目标函数，比如在某个时期开始最大化，那么该结论仍然成立。许多建立在规模报酬基础上的增长模型可以纳入上述框架，因为在这些模型中规模报酬等价于不同时点选择的互补性。比如，假定某个决策者在时期实现的收益是当时资本存量的凹函数，而资本存量取决于投资。如果净收益是，其中是凹函数。那么该目标函数就是各期投资水平的超模函数，即不同时期的投资具有互补性。类
17、似的，假定在任何一个时期净资本存量为，并且任何时期的净收益为，其中每个都是凹的增函数且。函数表示投资的平均成本；其自变量为资本存量的扩张速度。此时，不同时点的投资就是彼此互补的，早期的高水平投资将增加后期投资的速度。3在方法论层面，互补性和超模性提供了一类新的博弈理论，即超模博弈。一般的博弈论需要目标函数的拟凹性来保证纯策略纳什均衡解的存在，并且需要引入混合战略概念来保证存在纳什均衡解，而把这种随机解（即混合战略解）作为均衡解的做法在经济学家中仍然存在很大争议。超模博弈关注到了博弈各方之间的战略互补性，克服通常博弈理论的缺陷，其方法大大拓展了非合作博弈理论的应用领域。在经济学模型中，寡头垄断和
18、宏观协调博弈在很多情况下就是这类超模博弈。在人超模博弈中，每个人的目标函数都为超模函数，定义在积上。令点表示人超模博弈的纳什均衡解，在此均衡下任何成员单独改变战略都不能提高自己的报酬。每个主体的报酬函数都是自身和对手战略选择变量的超模函数，每个主体的边际收益都是对手选择策略的非递减函数。Bulow，Geanakoplos和Klemperer（1985）用战略互补来描述这类博弈，即最优反应函数是递增的，最优反应曲线向上倾斜。这类博弈存在最大和最小值的纯策略纳什均衡解，最大最小解之间的策略组合区间包含了所有非合作博弈的一般解，并且博弈各方经过适应性学习最终会在该区间内生成唯一策略选择组合。如果博弈
19、方的报酬函数是各方选择变量和参数的超模函数，那么最大最小策略组合就是参数的非递减函数。在上述的分析中，我们解释了这种人博弈只在一个象限寻求优化。这个问题中还必须强调协调的重要性。如果能够在这人之间进行很好的协调，使得在上的另一个点处使最大，那么就是一个纳什均衡。而且，如果这个人起先被指挥行动到象限的某点，此后即可以根据其它成员过去的行为采取适应性学习策略以优化其行为选择，那么他们的行为就会一直停留在该象限。在没有更有效协调的情况下，即使博弈各方可以违反的约束在更大的范围内选择，他们也不可能通过新策略组合实现改进。进一步说，如果起初的协调行动没有使得博弈方之间实现纳什均衡，那么博弈各方的个体适应
20、性学习策略至多能实现次优均衡。四、互补性与超模性理论的应用举隅为了进一步说明互补性和超模性理论的应用，我们在这里给出一些经济学分析中比较常见的例子。1 消费者均衡变动的比较静态分析在消费者均衡的比较静态分析中，一个典型的问题是什么情况下商品为正常品，即某商品的消费随着消费者收入的提高而增加。目标效用函数为，商品和价格分别为，消费者收入为。把问题写成。对于这个效用最大化问题，只要是的增函数，我们可以把约束条件中的解出来，并代入目标函数，可得。如果为正常品，那么根据正常品的定义就可以得到不等式，即要求是的超模函数。根据目标函数（过程从略）可得。我们可以看出，这个式子并没有要求收入变量是连续的，也没
21、有要求优化值是内点或角点，而且也没有要求是凹函数，只需要上式成立即可，因而大大松弛了以往分析中关于变量连续和函数为凹等苛刻假设，使得个体效用函数的选择可以更加接近现实情形。2选择配对问题Becker（1973）研究了男女互相选择配对组成对夫妇的婚姻模型。在他的模型中，在某个性别中按照标准（比如男才女貌）自然排序，第1个人为最差者，第个人为最优秀者。如果女与男结为夫妇，则产生效用为。问题是，要实现社会总效用最大，那么这男女应如何选择配对？Becker认为在关于的差分递增的情况下，“郎才女貌”式的婚配会实现社会总效用最大，即最优秀的男性与最优秀的女性婚配。使用互补性和超模性原理，假定有两对夫妇不是
22、郎才女貌的婚配，不妨，必有，因而就没有达到社会最优，所以“郎才女貌”是社会最佳选择。3包含报酬递增的增长模型考虑一个两期的标准SolowKoopmans增长模型。个体效用函数为，生产函数为（注意这里对没有约束，因而即报酬递增的情形也可以包括进来），贴现因子为，表示产出，表示储蓄，表示消费，则目标函数为 ，约束条件为，且。这样，该问题可以写成。这里，关于不一定是凹的，因而最优解就可能取多个值。如何在这多个值中选择？由于，因而，即是的超模函数，所以最优储蓄就是的增函数，从而给出了最优解的判断标准，注意这里对并没有特殊约束。这就意味着，一般增长模型中不能处理的报酬递增问题可以得到解决。4搜寻博弈在D
23、imond（1982）宏观搜寻模型中，个体搜寻交易对手需要付出努力，为刻画搜寻环境的参数，其报酬函数为。这里表示除以外其他人的搜寻努力，表示搜寻成本。由于，因而对于任意成本函数，该博弈均为超模博弈；换言之，个人的搜寻选择并不以搜寻发生的成本为依据，而是以其交易对手的搜寻选择为依据。在这里，通常关于的假设就是多余的。这种搜寻模型的方法在本质上与Farrell and Saloner(1986)以及Katz and Shapiro(1986)的网络外部性模型是相同的。在这些模型中，个体博弈者的报酬为，为超模函数；或者是，为增函数。其中，博弈方的报酬函数关于和任何其它的混合偏导都是正的，因而可以反映
24、匹配过程、电话网络、技术分享等过程中的互补性。比如，个人计算机用户往往使用一两个标准，这不仅给自己带来便利，同时也有利于互补性软件和硬件的开发。五、互补性和超模性理论的应用前景互补性和超模性理论对现代经济学的数理基础来说是一个重要的推进，使得现代经济学模型不必过分依赖于严重脱离现实的数理假设；同时，该理论也给出了解决很多经济问题的系统方法。而且，互补性与超模性的经济内涵能够揭示企业组织的战略、结构和过程等要素之间的契合性，企业最优的战略和结构是彼此相联的，它们在变动的环境中是以一致的方式变化的。在有限理性的前提下，企业将会采取与现有的做法和政策具有互补关系的新措施。在企业业务流程重组中，包括组
25、织、技术等诸多要素，这些要素往往分成若干层次，同层次决策参数往往具有互补相关性。如果不能对具有互补相关性的参数一致地进行改进，或不能正确地识别、组合它们，必将直接影响企业最终的绩效，这也是业务流程重组成败的一个关键因素。互补性和超模性概念蕴含的丰富经济学内容勾勒出了该理论在社会经济尤其是中国这种转轨经济中的应用前景。互补性和超模性原理说明，即使分散决策的结果不是最优的，甚至各方试图努力改进结果，该结果也很难打破。在未经协调的情况下，没有人能够单独实现改进，这个系统锁定在次优的原始位置。这说明强互补性更有可能使个体调整难于达到集体的最优结果；团队的均衡与团队最优相距很远；集中指挥和协调非常必要。
26、在企业和组织管理方面，互补性和超模性原理意味着，战略领导者在协调组织个体行动中未必需要知道完全的专业知识，他们只要知道掌握关键的互补性环节就可以提供富有成效的指导。这个推论是说，企业的领导者并不必然精通具体业务，但他需要精通企业各种业务之间的互补关系，然后就可以实现行之有效的管理和指挥。这就与一般的关于组织领导者培养和选拔的“业务型领导者”见解有所不同，因而互补性和超模性思想将对现代管理学理论产生一个重要的影响，管理学理论将根据该思想而进一步丰富和完整。在转轨经济中，如何认识哈耶克意义上的自由秩序的产生是一个重大的研究课题。哈耶克认为，中央计划者不可能掌握经济运行中各个部分的全部信息，因而中央
27、计划会表现为“致命的自负”。这种认识被很多学者奉为圭臬，因而在一定程度上影响了转轨政策的设计，一个很明显的例子就是前苏联和东欧的“休克疗法”。但是，按照互补性的思想，笔者以为，哈耶克的这种观点实际上是忽视了经济运行中各个部分之间的互补关系，而经济中各个部分之间的互补关系则意味着经济体不是一盘散沙，哈耶克提出的“分散的局部知识”并不那么“分散”。按照本文阐明的互补性和超模性原理，在经济转轨过程中，由于各个部分之间可能存在某种互补关系，因而只在局部上把某些经济要素达到最优值并没有统一行动的效果好，这样做反而可能产生负作用；进一步推论，在制度变革过程中集中指挥产生的系统错误比同等规模下未经协调的、各
28、自为政产生的错误成本要低。因而客观上经济运行需要一定程度的“统一指挥”，即中央计划。这种观点从分析的起点到结论，即从经济中的互补性开始到中央计划的必然性，均与现实的经济运行十分贴近。在这个意义上来说，现代经济学理论认识也许已经从互补性和超模性那里开始修正和补充，这个过程中的研究工作将成为现代经济学发展的亮点之一。参考文献References1Amir, Rabah. 1996. Cournot oligopoly and the theory of supermodular games. Games and Economic Behavior 15:13248.2Amir, Rabah, an
29、d Isabel Grilo. 2003. On complementarity conditions in Bertrand oligopoly. Economic Theory 22:22732.3Amir, Rabah, Leonard J. Mirman, and William R. Perkins. 1991. One-sector nonclassical optimal growth: Optimality conditions and comparative dynamics. International Economic Review 32:62544.4Becker, G
30、ary. 1973. A theory of marriage: Part I. Journal of Political Economy 81:81346.5Bulow, Jeremy, John Geanakoplos, and Paul Klemperer. 1985. Multimarket oligopoly: Strategic substitutes and somplements.Journal of Political Economy 93:488511.6Cooper, Russell. 1999. Coordination games: Complementarities
31、 and macroeconomics. Cambridge, UK: Cambridge University Press.7Diamond, Peter. 1982. Aggregate demand management in search equilibrium. Journal of Political Economy 90:88194.8Fundenberg, Drew, and Jean Tirole. 1991. Game theory. Cambridge, MA: MIT Press.9Milgrom, Paul, and John Roberts. 1990a. The
32、economics of modern manufacturing: Technology, strategy and organization.American Economic Review 80:51128.10Milgrom, Paul, and John Roberts. 1990b. Rationalizability, learning, and equilibrium in games with strategic complementarities.Econometrica 58:125578.11Milgrom, Paul, and John Roberts. 1994a.
33、 Comparing equilibria. American Economic Review 84:44159.12Milgrom, Paul, and John Roberts. 1994b. Understanding the Japanese economic system. Estudios Economicos 9:342.13Milgrom, Paul, and John Roberts. 1995a. Complementarities and fit: Strategy, structure, and organizational change in manufacturin
34、g. Journal of Accounting and Economics 19:179208.14Milgrom, Paul, and John Roberts. 1995b. The LeChatelier principle. American Economic Review 86:1739.15Milgrom, Paul, and Christina Shannon. 1994. Monotone comparative statics. Econometrica 62:15780.16Samuelson, Paul. 1947. Foundations of economic an
35、alysis. Harvard Economic Studies, volume 80. Cambridge, MA: Harvard University Press.17Samuelson, Paul. 1974. Complementarity. Journal of Economic Literature 12:125589.18Tarski, Alfred. 1955. A lattice-theoretic fixed point theorem and its applications. Pacific Journal of Mathematics 5:285309.19Topk
36、is, M. Donald. 1968. Ordered optimal solutions. PhD dissertation, Stanford University.20Topkis, M. Donald. 1978. Minimizing a submodular function on a lattice. Operations Research 26:30521.21Topkis, M. Donald. 1979. Equilibrium points in nonzero-sum n-person submodular games. SIAM Journal of Control
37、 andOptimization 17:77387.22Topkis, M. Donald. 1995. Comparative statics of the firm. Journal of Economic Theory 67:370401.23Topkis, M. Donald. 1998. Submodularity and complementarity. Princeton, NJ: Princeton University Press.24Vives, Xavier. 1990. Nash equilibrium with strategic complementarities. Journal of Mathematical Economics 19:30521.