第42讲圆锥曲线高考选择填空压轴题专练.docx

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1、0440 10 020 1020 20 00 2-1000-1第四十二讲一、选择题圆锥曲线高考选择填空压轴题专练 A 组1过抛物线 C ： y 2 =4 x 上一点 P (x, y0 0)作两条直线分别与抛物线相交于 A，B两点，连接 AB，若直线 AB的斜率为 1，且直线 PA， PB与坐标轴都不垂直，直线 PA，PB的斜率倒数之和为 3，则y =0（ ）A. 1 B. 2 【答案】DC. 3D. 4【解析】设直线 PA, PB的斜率分别为k , k12，因为点P (x, y0 0)在抛物线y2=4 x上，所以Py 2 0 , y y 2 ，故直线 PA 的方程为 y -y =k x - 0

2、 ，代入抛物线方程得4 4y 2 - y + y -y 2 =0 k k1 1，其解为y0和4k1-y0，则(4-yk ) 4 A , -y 4 k 2 k 1 1 ，同理可得(4-yk ) 4 B , -y 4k 2 k 2 2 ，则由题意，得4 4 -y - -yk k1 2(4-y k ) (4-y k0 1 0 2 4 k 2 4 k 21 2)2=1，化简，得y =201 1 + -1 =4k k1 2,故选 D2 已知双曲线x 2 yC ： -a 2 b22=1(a 0, b 0)，抛物线C ： y 2 =4 x ， C 与 C 有公共 2 1 2的焦点 F，C1与C2在第一象限的

3、公共点为M ，直线 MF的倾斜角为 q ，且cosq=1 -2 a3 -2 a，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A. 仅有两个不同的离心率e , e1 2且e (1,2),e(4,6) 1 2B. 仅有两个不同的离心率e , e1 2且e (2,3),e(4,6) 1 2C. 仅有一个离心率e且e (2,3)D. 仅有一个离心率 e 且 e (3,4)【答案】C【解析】y2=4 x的焦点为(1,0)， 双曲线交点为(1,0)，即c =1，设 M 横坐标为x0，则x +0p 1 a +1 =ex -a , x +1 = x -a , x =2 a 0 1a，试卷第 1 页，总 22 页a0

4、, 2 -1222 -1,1x -1cosq = 0x +10a +1-11-1= =a +1+11-1a1 -2 a3 -2 a，可化为 a2-5a +2 =0 ， 2 1a21-5 +1 =0, g a(e)=2e2-5e +1 =0，g(0)0, g(1)0, g(2)0, g(3)0, e 1, 2 e2-5e +1 =0只有一个根在(2,3)内，故选 C.3已知点 F 、 F 是椭圆1 2x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的左右焦点，过点 F 且垂直于 x 轴的1直线与椭圆交于 A、 B两点，若ABF2为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）( )A. B.

5、 5 -1 ,1 C. 5 -1 0, D.( )【答案】D【 解 析 】 由 于ABF2为 锐 角 三 角 形 ， 则A F F 4 50 , t an A F F= 2 1 2 1b22ac，1b22 ac ， a2-c22ac, e2+2e -1 0 ， e 2 -1，又 0 e 1，则2 -1 e 0, b 0) a2 b 2的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 A ,交另一条渐近线于点 B ，且 AF =213F B2,则该双曲线的离心率为A.6 5B.2 2C.3D.2【答案】A【解析】由F (c,0) 2到渐近线by = xa的距离为d =bc a 2 +b 2=

6、b ，即有 AF =b2，则BF =3b2，在DAF O2中，OA =a , OF =c , tanF OA =2 2ba,试卷第 2 页，总 22 页1 -a4btanAOB = =ab2 ab 2，化简可得 a 2 =2b23，即有 c 2 =a 2 +b 2 = a22，即有e =c 6=a 2，故选 A.5焦点为 F的抛物线C：y2=8 x的准线与x轴交于点 A，点 M 在抛物线C上，则当MAMF取得最大值时，直线 MA的方程为（ ）A.y =x +2或 y =-x -2B.y =x +2C.y =2 x +2或 y =-2x +2D.y =-2x +2【答案】A【解析】过 M 作 M

7、P与准线垂直，垂足为 P，则MA MA= =MF MP1 1=cosAMP cosMAF，则当MAMF取得最大值时， MAF必须取得最大值，此时直线 AM与抛物线相切，可设切 线 方 程 为y =k(x+2)与y 2 =8 x联 立 ， 消 去 y得ky 2 -8 y +16 k =0， 所 以=64 -64 k 2 =0，得k =1则直线方程为 y =x +2或 y =-x -2故本题答案选 A6 设 A是双曲线x 2 y 2- =1(a 0, b 0) a2 b 2的右顶点，F (c,0)是右焦点，若抛物线试卷第 3 页，总 22 页( )2 2( ) 2 2 y24a 2=- x 的准线

8、 l 上存在一点 P ，使 APF =30 c，则双曲线的离心率的范围是（ ）A.2,+) B. (1,2C.(1,3D.3,+)【答案】A【解析】抛物线的准线方程为x =a2c,正好是双曲的右准线.由于 AF= c -a ,所以 AF 弦,a +c 3 圆心 O , c -a , 半径R =c -a圆上任取一点 P, APF =30, 现在转化为圆与准线相交问题.所以a +c a 2- c -a ,解得 e 2 .填 A. 2 c7 中心为原点O的椭圆焦点在x轴上， A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点，OPA =900，则该椭圆的离心率e的取值范围是 （ ）A.1 ,12 B. 2 1 6 2

9、 ,1 C. , D. 0, 2 2 3 2【答案】B【解析】设椭圆标准方程为x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2，设 P(x,y)，点 P 在以 OA 为直径的圆 上 。 圆 的 方 程 ： a a x - +y 2 = 2 2 ， 化 简 为x2-ax +y2=0，x 2 -ax +y 2 =0 x 2 y 2+ =1(a b 0) a2 b 2可得 (b2-a2)x2 +a 3 x - a2 b2ab 2=0 。则 x = , 0 x a ,c 2所双0 ab 2c 2a ,可得22e 0)上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形 ABC 的个数为（ ） A.

10、0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C试卷第 4 页，总 22 页F A1=- -22( )2 【解析】由题可知其焦点为 F 0,p2作倾斜角为 60与倾斜角为 120 的直线，分别与抛物线x2=2 py ( p 0)相交天两点 A, B , C , D如图，则 AFC , BFD均为正三角形故本题答案选 C 9 设 F为抛物线C : y 2 =2 px ( p 0)的焦点，曲线 y =kx( k 0)与C相交于点 A，直线 FAk恰与曲线 y = ( k 0)x相切于点 A， FA交C的准线于点 BFA，则 等于（ ） BAA.1 1 2 3B. C. D.4 3 3 4【答案】B【 解

11、 析 】 由y2 =2 pxky =xkx =解 得 3 2 pk ， 又 对 y = y =3 2 pkk k ， y =-x x 2， 所 以kFA=33 2 pkk p-2 pk 2=-3kk 2 4 p2 k 2p 2， 化 简 得 k = ， 所 以4 2x =3k p=2 pk 4，FA x -x= =AB x -xA Bp4p p-2 4 p 3 ，故选 B10 已知点 P在抛物线y2=x上，点 Q 1 在圆 x + + y -4 =1 2 上，则PQ的最小值为（ ）试卷第 5 页，总 22 页- , 422( )2 21 2A.3 5 3 3-1 B.2 2-1C.2 3 -1

12、D.10 -1【答案】A【解析】设抛物线上点的坐标为 P (m2,m )(m0)圆 心 1 与抛 物 线 上的点 的 距离 的 平方 ：d2 1 = m 2 + + m -4 =m 2 4+2 m2-8m +1614令 f (m)=m4+2 m2-8m +1614( m 0)，则 f (m)=4(m-1)(m2+m+2)由导函数与原函数的关系可得函数在区间 (0,1)上单调递减，在区间(1,+)上单调递增，函数的最小值为 f (1)=1114，由几何关系可得： PQ 的最小值为 11 本题选择 A 选项.1 3 5 -1 = -14 2.11已知椭圆 M ：x 2 y 2+ =1a2 b2（a

13、 b 0）的一个焦点为F (1,0)，离心率为 ，2过点 F的动直线交 M 于 A， B两点，若x轴上的点P (t,0)使得APO =BPO总成立（O为坐标原点），则t =（ ）A.-2B. 2C.- 2D.2【答案】B【 解 析 】 在 椭 圆 中 c =1 ， e =c 2= 得 a = 2 ， 故 b =1 ， 故 椭 圆 的 方 程 为 a 2x 22+y 2 =1，设A (x, y1 1)， B (x, y2 2)，由题意可知，当直线斜率不存在时，t可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为y =k (x-1)，联立方程组 y =k (x-1) x 2+y 2 =1 2，得 (

14、1+2k2)x2-4k 2 x +2 k 2 -2 =0 ， x +x =1 24k 2 2 k 2 -2 ， x x =1 +2 k 2 1 +2 k 2，试卷第 6 页，总 22 页114k 21 -m1 12 222使得APO =BPO总成立，即使得 PF 为 APB 的平分线，即有直线 PA 和 PB 的斜率之和为 0 ，即有y y1 + 2 =0 ，由 y =（kx -1）， x -t x -t1 2y =k (x-1)，即有2x x -(t+1)(x+x)+2t=0 2 2 1 2 1 2，代入韦达定理，可得4k 2 -4 1 +2 k 2-(t+1) +2t =01 +2 k 2

15、，化简可得 t =2 ，故选 B.二、填空题12已知抛物线C : y 2 =4 x的焦点为 F，直线l与抛物线C相切于 Q点， P是l上一点（不与 Q重合），若以线段 PQ为直径的圆恰好经过F，则PF的最小值是_ 【答案】 2【解析】根据抛物线的对称性设Q (m,2 m )，则kQF=2 mm -1，所以直线 PF的方程为y =1 -m2 m(x-1)，由 y 2 =4 x ，取 y =2 x ，y=1x，所以直线l的方程是y -2 m =1m(x-m)，联立y = (x-1) 2 my -2 m = (x-m)m，解得点 P 的横坐标 x =-1，所以点 P在抛物线的准线上运动，当点 P的坐

16、标是(-1,0)时，PF最小，最小值是2.13已知双曲线C :x 2 y 2- =1(a 0, b 0) a 2 b2的右焦点为F (c,0)，点 P在双曲线C的 c 左支上，若直线 FP 与圆 E : x - 3 2+y2=b 29相切于点 M 且 PM =2 MF，则双曲线C的离心率值为_【答案】5【解析】设双曲线C的左焦点为F1，由圆心c E ,03 可知，F E =2 EF 1，又PM =2 MF， 可 知EM / / PF1， 且P F =3 E M= 1，b 由 双 曲 线 的 定 义 得PF =2a +b，PF PF1，RtF PF中 ，F F = F P + FP (2c2)

17、1 1=b2+(2a+b)b =2 a e =ca= 5.试卷第 7 页，总 22 页 1 2211 314已知抛物线y 2 =2 px ( p 0)的焦点为 F，过抛物线上点P (2,y0)的切线为l，过点 P 作平行于 x 轴的直线 m ，过 F 作平行于 l 的直线交 m 于 M ，若 PM =5 ，则 p 值为_的【答案】6【解析】设P (2,2 p )，由y =2 px，得y = 2 p11 x，则当 x =2 时，y =p2， 所 以 过 F且 与lp p 平 行 的 直 线 方 程 为 y = x -2 2 ， 代 入M (7,2 p )，得 7 -p2=4 ，解得 p =6 ,

18、故答案为 6 .B 组一、选择题1两条抛物线T :1=y21+ax，+1b1xT : y =a x 2 +b x +c (a0, a 0, a a2 2 2 2 1 2 1 2)， 联 立 方 程 消 去x 2项 ， 得 直 线a b - a b l : y = 2 1 1 2 x+a - a2 1a -c a c2 1 ，1称2直线 l 为两条抛物线 T 和 T 的根轴，若直线 a - a2 1m : x =t分别与抛物线y =-x2+2 x +2 ， y =12(x2-5x +4 )及其根轴交于三点P , P , P 1 2，则PP1PP2=（ ）A. 2B.1 1C. 2t D.2 2t

19、【答案】A【解析】抛物线y =-x2+2 x +2 ， y =12(x2-5x +4 )的根轴为 y =-x +2，所以PP1=PP2(-t+2t+2)-(-t+2)-t2+3t=(-t+2)-(t2-5t+4)-t 2 + t2 2 2=2，故选 A2已知F , F1 2是椭圆和双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且F PF =1 2p4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）A.12B.22C.1D.2【答案】B试卷第 8 页，总 22 页2 2( ) ( )52【解析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴常为a2 PF +PF =2 a 1 2 1PF -PF =2 a 1

20、2 2 PF =1a +a PF =a -a 4c 1 2, 2 1 22=(a+a12)+(a-a)1 2-2 (a1+a2)(a1-a )cos2p44c 2 = 2 - 2 a 2 + 2 - 2 a 2 4 =1 12 - 2 2 - 2 2 - 2 2 - 2 2 2 + 2 ? = e2 e2 e 2 e 2 e e1 1 1 1 1 2e e 1 222,故选 B.3设点F , F1 2分别为双曲线：x 2 y 2- =1(a 0, b 0) a2 b 2的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点 P，满足 PF =F F 1 1 2，点F1到直线PF2的距离等于双曲线的实轴长，则该

21、双曲线的离心率为（ ）A.414B.4 5 5C. D.3 4 3【答案】D【解析】由题意知 PF =F F2 1 2，可知PF F1 2是等腰三角形，F1在直线PF2的投影是中点，可得P F =2 4c 2 -4a 2 =4b 2，由双曲线定义可得4b -2c =2a，则 b =a +c2，又 c2=a2+b2， 知 5a2+2 ac -3c2=0， 可 得 3e2- e2 - =5，0解 得e = 或1 (舍去)故本题答案选 D 34已知椭圆 M ：x 2 y 2+ =1 （ a b 0 a2 b 2）的一个焦点为F (1,0)，离心率为 ，2过点 F的动直线交 M 于 A， B 两点，若

22、 x 轴上的点P (t,0)使得APO =BPO总成立（ O 为坐标原点），则t =（ ）A. 2B.2C.- 2D.-2【答案】A【解析】由题意可得椭圆方程为x 22+y2=1，很显然 AB 斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，设 AB 的方程为y =k (x-1)其中A(x,y ),B(x,y1 1 2 2),试卷第 9 页，总 22 页1 222 22 22 22 2联立直线与椭圆的方程可得： (1+2k2)x2-4k2 x +2 k 2 -2 =0，则：x +x =1 24k 2 2k 2 -2 , x x = ,1 +2 k 2 1 +2 k 2由APO =BPO知

23、直线 PA 与 PB 的斜率之和为 0，则：y y1 + 2 =0 x -t x -t1 2，整理得：2 x x -(t+1)(x+x1 2 1 2)+2t =0,故：4 k 2 -4 4 k 2 (t+1) -1 +2 k 2 1 +2 k 2+2t =0 ,解得： t =2 . 本题选择 A 选项.5已知动点 P在椭圆x 2 y 2+ =136 27上，若点 A的坐标为(3,0)，点M 满足AM =1，PM AM =0 ，则 PM 的最小值是（ ）A.2B.3C.2 2D.3【答案】C【解析】 PM = AP - AM AM =1PM AM =0 PM AM AM =1，PM = AP -

24、1，点 M 的轨迹为以为以点 A 为圆心，1 为半径的圆，PM = AP -1，AP越小，PM越小，结合图形知，当 P 点为椭圆的右顶点时，AP取最小值a -c =6 -3 =3， PM最小值是32 -1 =2 2故选：C6 如 图 ， 两 个 椭 圆 的 方 程 分 别 为x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2和x 2 y 2+ =1 (ma) (mb)（a b 0 ， m 1），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线 AC 、 BD ，若 AC 、BD的斜率之积恒为-1625，则椭圆的离心率为（ ）试卷第 10 页，总 22 页22b244 4b,cA.3 3 4B. C.5 4

25、 5D.74【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为x 2(ma)+y 2(mb)=1，设切线 AC 的方程为y =k (x-ma) 1代入内层椭圆消去y得:(k2a21+b2)x2 -2 mk 2 a3 x +m2 k 2 a41 1-a2 b2=0由D=0化 简 得k 2 =1b2a 2 m11 -1,同理得k22= (m2-1), a 2所以 k 2 k 1 22b 4 b 4 c b 3 = = , = .e = = 1 -( ) 2 = ,a 5 a 5 a a 5选 A.7已知双曲线x 2 y 2- =1(a 0, b 0) a2 b2的左焦点是F (-c,0)，离心率为e，过点

26、 F且22与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆 y=2 cx 上，则 e线=x2 +y 2 =c 2在 y轴右侧交于点 P，若 P在抛物A.5B.5 +12C.5 -1D.2【答案】D【解析】双曲线x 2 y 2- =1a2 b 2b的渐近线方程为 y = xa，据题意，可设直线PF的斜率为b b ，则直线 PF 的方程为： y =a a(x+c)，解方程组x 2 +y 2 =c 2 y = (x+c)a得x =-cy =0或ax =y =2 -bc2abc2则P点的坐标为a2 -b 2 2ab c c又点 P在抛物线y2=2 cx上，得2ab 2=2c a 2 -b 2 c可化为2 a 4 =c 4，可知e 2 =2故本题答试卷第 11 页，总 22 页()(12()0 1(1 20E ,2 2案选 D8在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线C : x2=4 y，点 P是C的准线l上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A, B ，则 DAOB 面积的最小值为（ ）A.2B.2C.2 2D.4【答案】B【 解 析 】 设P (x, -1),A(x,y ),B(x, y0 1 1 2 2), 因 为 y=x2， 则 过 点 A, B的 切 线x 2 x x 2 xx - 1 = 1 x -x , y - 2 = 2 x -x 4 2 4 2)均