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1、现代控制理论Modern Control Theory,石大胜利学院 电气信息工程系,第二章 控制系统的状态空间表达式的解（分析）,Chapter 2 Solution( analysis)of State space description of control systems,第一章复习（Review of Chapter 1）,状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的建立(1) 状态空间表达式的建立(2) 状态矢量的线性变换 由状态空间表达式求传递函数阵,本章概要(Outline of this Chapter),线性定常齐次状态方程的解 矩阵指数函数状态转
2、移矩阵 线性定常系统非齐次方程的解 线性时变系统的解 离散系统状态方程的解 连续时间状态表达式的离散化,本讲概要(Outline of this Chapter),2.1 线性定常系统齐次状态方程的解 定义：自由解 矩阵指数法 2.2状态转移矩阵 状态转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特殊的矩阵指数函数 转移矩阵的计算,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解 (自由解),2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,定义：自由解 自由解：系统在输入为零（ ）时，由初始状态引起的自由运动。 此时，状态方程为齐次微分方程：,（2.1）,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,定义：自由解 一阶齐次微分
3、方程组的解 时，初始状态为 时，初始状态为 此时的解称为一阶齐次微分方程组的解，也称，方程的自由解。,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,矩阵指数法 设 的解为：,代入,得：,（2.4）,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,矩阵指数法 对应于t的同次幂系数相等,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,矩阵指数法,所以,记为 ，即,矩阵指数函数nn,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,矩阵指数法 例1：已知,，求,解：,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,矩阵指数法,2.2状态转移矩阵,2.2状态转移矩阵,转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特殊的矩阵指数函数 转移矩阵的计算,2.2
4、状态转移矩阵,状态转移矩阵定义 齐次微分方程 的自由解为： 或 表达式反映了从初始时刻的状态矢量 ，到任意 或 时刻的状态矢量 的一种矢量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数 ，它是一个时变函数矩阵；从时间的角度而言，这意味着它使状态矢量随着时间的推移，不断的在状态空间中作转移，所以 也成为状态转移矩阵，通常记为 。,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵定义 表示 到 的转移矩阵。 表示 到 的转移矩阵。,的解可以表示为：,或,这样,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵定义,图2-1 状态转移轨线,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵定义 意义：通过分析可以看出，利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻状
5、态矢量 ，求得任意时刻t 的状态矢量 。 说明齐次方程的解仅是初始状态的转移。,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的几条重要性质 具有如下的性质： 1、组合特性： 2、初始特性：,或,或,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的几条重要性质 3、有逆特性： 4、传递特性：,或,2.2状态转移矩阵,转移矩阵的几条重要性质 5、 6、对nn矩阵A和B，若AB=BA，则 7、,或,2.2状态转移矩阵,几个特殊的矩阵指数函数 1、若A为对角阵,则,2.2状态转移矩阵,几个特殊的矩阵指数函数 2、若A能够通过非奇异变换予以对角化，即,则,2.2状态转移矩阵,几个特殊的矩阵指数函数 3、若A为约旦矩阵,则,2.2
6、状态转移矩阵,几个特殊的矩阵指数函数 3、若A为约旦矩阵,则,则,2.2状态转移矩阵,几个特殊的矩阵指数函数 4.若,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 根据定义直接计算 化矩阵A为约旦标准型法 拉氏反变换法 应用凯莱哈密顿定理法,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 1、根据定义直接计算,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 1、根据定义直接计算 例2-1：已知 求 解：,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 2、化矩阵A为约旦标准型法 矩阵A特征值互异,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 2、化矩阵A为约旦标准型法 矩阵A特征值有重根,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算
7、2、化矩阵A为约旦标准型法 例2-3,，求,解:,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 2、化矩阵A为约旦标准型法,得,按第一章的方法求得,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 2、化矩阵A为约旦标准型法,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 3、拉普拉斯变换法,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 3、拉普拉斯变换法 例2-4：（同上例） 解：,2.2状态转移矩阵,状态转移矩阵的计算 4、应用凯莱哈密顿定量法（自己看）,由此，有,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,定义： 对线性定常系统 称为非齐次状态方程，系统的运动称为强迫运动(在控制作用 作用
8、下的强迫运动）。,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,当初始时刻 ，初始状态 时，其解为： 当初始时刻 ，初始状态 时，其解为：,非齐次状态方程的解=自由运动+强迫运动,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,例2-8： 已知系统状态方程 求系统响应。 解：系统状态转移矩阵在以前的例中已求得为,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,代入公式得：,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,若初始条件为零，即 ，则系统的响应仅取 决于控制作用的激烈部分，而为：,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,典型输入信号作用下系统的解 脉冲响应 即当 非齐次状态方程的解为 当K=1时为单位脉冲响应，则：,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,典型输入信号作用下系统的解 阶跃响应 即当 非齐次状态方程的解为 当K=1时为单位阶跃响应，则：,必须存在,2.3 线性定常非齐次状态方程的解,典型输入信号作用下系统的解 斜坡响应 即当 非齐次状态方程的解为 当K=1时为单位斜坡响应，则：,必须存在,作业(Homework),P.87 2-4(2) P.87 2-5 P.87 2-6,