《第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题).docx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 38 炼 向量的数量积数量积的投影定义一、基础知识1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ， AB 是轴上的有向线段，如果实数l 满足 l = AB ，且当AB与轴同向时，l0，当AB与轴反向时，l0 ，所以 l=b cos q（2）当 q为锐角时，l = b cos(p-q)=-bcosq，因为 l0 ，所以 -l=-bcosq即l=b cosq（3）当q为直角时，l=0，而cosq=0，所以也符合l=b cosq( )( ) 2综上可得：a在b上的投影l=b cosq，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向 量 a , b 数 量 积 公
2、 式 为a b= a b cosq， 可 变 形 为a b = a bc o qs)或a b=b a cos q ，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量a , b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b=b l（记l为 a 在 b 上的投影）a ba b（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：la b=a ba即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向 量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影）
3、，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定 值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题二、典型例题：例 1：已知向量 a , b满足a =3, b =2 3，且a (a+b)，则b在a方向上的投影为（ ）A3 B-3. C-3 3 3 3D2 2思路：考虑 b 在 a 上的投影为a ba，所以只需求出 a b即可。由a a +b可得：a a +b =a +a b=0，所以a b=-9。进而a b -9 3 3 = =-b 2 3 2答案：C小炼有话说：本题主要应用投
4、影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量 的模长221( )( ) ( )例 2：如图，在ABC中，AB =BC =4, ABC =30，AD是边BC上的高，则AD AC的值等于（ ）A0 B4 C8 D-4思 路 ： 由 图 中 垂 直 可 得： AC 在 AD 上 的 投 影 为 AD ， 所 以AD AC = AD， 只 需 求 出 ABC 的 高 即 可 。 由 已 知 可 得AD = AB sin ABC= 2，所以 答案：BAD AC = AD =4例 3 ： 两 个 半 径 分 别 为r , r1 2的 圆M , N, 公 共 弦AB长 为 3 ， 如 图 所 示
5、， 则A M A B+ A N A B=_.思路： AB 为两个圆的公共弦，从而圆心 M , N 到弦 AB 的投影为AB的中点，进而AM , AN在AB上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB和AN AB时可利用向量的投影定义。解：取 AB 中点 T ，连结 MT , NT ，由圆的性质可得：MT AB, NT AB AM AB = AT AB =1 2 9 1 2 9 AB = AN AB = AT AB = AB =2 2 2 2 AM AB +AN AB =9例 4：如图， O 为 ABC 的外心， AB =4, AC =2, BAC 为钝角， M 是边 BC 的中点，则AM AO的值
6、为（ ）A. 4 B.5C.6D.7思路：外心O在AB, AC上的投影恰好为它们的中点，分别设为P , Q，所以AO在AB, AC上的投影为AP =1 1 AB , AQ = AC2 2，而M恰好为BC中点，故考虑AM = AB +AC ，所以 21 1 1 1 2 1 2 AM AO = AB +AC AO = AB AO +AC AO = AB + AC =5 2 2 2 2 2 答案：B小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而 在求数量积时可联想到投影法。( )OA OC(2 2 2例 5：若过点P (1,1)的直线l与O : x2 +y 2=4
7、相交于 A, B 两点，则 OA OB 的取值范围是_思路：本题中因为 OA, OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B作直线OA的垂线，垂 足 为D， 通 过 旋 转AB可 发 现 ， 当OB OA时 ，OA OB =0，AB位于其他位置时，D点始终位于OA的反向延长线上，OA OB =-OA OD ，故 OA OB 0 ，故 OA OB=0，下面寻找max最小值，即DO的最大值，可得当B在OA上的投影与C重合时，DA最大，即为AC，此时直线OP即为直线AB 。所以 (OAOB)=-OA OD =-OA OC =-r2=-4。min进而OA OB的范围是-4,0答
8、案：-4,0例 6：已知OA =1, OB =3，且OA, OB的夹角为150，点C是AOB的外接圆上优弧AB上的一个动点，则OA OC的最大值是_思路：题中 OA 的模长为定值，考虑 OA OC 即为 OA 乘以 OC在OA上的投影，从而OA OC的最大值只需寻找投影的大小，观 察 图 形 可 得 只 有 当 MC 与 OA 同 向 时 ， 投 影 最 大 。 即( )max= OA OD ，只需计算 OD 的模长即可解：当MC与OA同向时，OC在OA上的投影最大 OA OC)max= OA OD在AOB中，AB = OA +OB -2 OA OB cos AOB =7 AB = 7AB 7
9、 2R = = =2 7sin AOB 1即R =721( )A M A N1AM AN=AM AC = AD +DM AD +DC = AD + DC AD +DC2=AD +2 1 2 31 1 OD = ON + ND = OA +R = + 72 2 OA OC = OA OD = + 7max 2答案：12+ 7例 7：如图，菱形ABCD的边长为2, A =60 , M为DC中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AM AN的最大值为（ ）A.3B.2 3C.6D.9思路：在所给菱形中AM方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即AM乘以AN在AM上的投影，所以AM AN的最大值只
10、需要寻找 AN 在 AM 上的投影的最大值即可，而 A 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在AM投 影 距 离 A 最 远 的 ， 结 合 图 像 可 发 现 C 的 投 影 距 离 A 最 远 ， 所 以( )=A M，A再C由AD , DC表示后进行数量积运算即可m a x解：( ) ( )( ) ( ) max DC + AD DC =92 2答案：9小炼有话说：（1）从例 7 也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取 得最值的情况（2）在找到取到最值的N点位置后，发现利用投影
11、计算数量积并不方便（投影，AM不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找 最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。2例 8：如图，在等腰直角ABC中，AC =BC =2，点M , N分别是AB, BC的中点，P点是ABC内（包括边界）任一点，则AN MP的取值范围是_思路：因为P点为ABC内任一点，所以很难用定义表示出AN MP，考虑利用投影定义。由 AN 长为定值，可得AN MP为AN乘以MP在AN上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过 M 作 AN 的垂线，则 M 点的投影为F，当 P 在 B 点时， MP 在 AN 上的投影最大且为线段
12、FE 的长，当 P 在 A 点时， MP 在 AN 上的投影最小，为 - AF ，分别计算相关模长即可。在图中有条件可得：AN =5, CN = BN =1 BE AE，所以可得：Rt ACN Rt BEN，则AN NE= NE =CN BN55，所以6AE = AN + NE = 55，由FMBE，M为中点可得：F为AE中点，从而MB , MA在AN方向上的投影分别为3 35, - 55 5，由AN = 5,即可求得AN MP的范围为-3,3答案：-3,3例 9 ： 已 知M为 直 角 三 角 形ABC的 外 接 圆 ，OB是 斜 边AC上 的 高 ， 且AC =6, OB =2 2 ， A
13、O 0)BI BA，则 的值为（ ） BAAC BA.2B.4C.3D.5思 路 ： 从 条 件 上 判 断 很 难 用 代 数 方 式 求 解 ， 所 以 考 虑 作 图 观 察 几 何 特 点 ， 则PA -PB = AB =10。由PA PCPA=PB PCPB及所求BI BABA可想到投影与数量积的关系 ， 即PC在PA, PB上 的 投 影 相 等 ， 即 可 得 到PC平 分APB。 再 分 析 B I = B A+l + (l0)A C A P A Il=A C A P+ ， 且 A C A PA C+A CA P为A PAC , AP的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分P
14、PAC，而AI与和向量共线，从而AI平分PAC，由此D可得I为APB的内心，作出内切圆。所求BI BABA也可视IEAC F B为 BI 在 BA 上的投影，即 BF ，由内切圆性质可得：PD = PEAD = AFBF = BE，所以PA - PB = PD + AD - BE + PE = AF - BF =4，且有AF + BF = AB =10，可解得BI BABA= BF =3答案：C小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。2三、历年好题精选（数量积三种求法综合）1、如图
15、：在平行四边形 ABCD 中，已知 AB AD的值是 .AB =8, AD =5 ， CP =3 PD , AP BP =2，则2、已知O的半径为 1，四边形ABCD为其内接正方形，EF为O的一条直径，M为正方形ABCD边界上一动点，则ME MF的最小值为_3、已知点M是边长为 2 的正方形ABCD的内切圆内（含边界)的一动点，则MA MB的取值范围是（ ）A.-1,0B.-1,2C.-1,3D.-1,44、已知P, M , N是单位圆上互不相同的三个点,且满 足PM = PN，则PM PN的最小值为（ ）A-1 1 3B - C -4 2 4D-15、如图， A, B 是半径为 1 的圆 O
16、 上两点，且 AOB =p3，若点BC是圆O上任意一点，则OA BC的取值范围是_CA6、（2015，福建文）设a =(1,2),b=(1,1),c=a+kb，若b c，O则实数k的值等于（ ）A.-3 5 5 3B. - C. D.2 3 3 27 、（2015 ，天津）在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB / / DC , AB =2, BC =1, ABC =60,动点E和F分别在线段BC和DC上, 且 ,BE =lBC , DF =19lDC ,则AE AF的最小值为 _D FCE8、（2015，山东）已知菱形 ABCD 的边长为 a, ABC =60 BD CD =则（ ），ABA
17、.3- a22B.3- a42C.3 3a D.4 2a29 、（2015，福建）已知1AB AC , AB = , AC =t ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，t且AP =ABAB+4 ACAC，则PB PC的最大值等于（ ）A.13B.15C.19D.2110、（2016，无锡联考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点以 A 为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F若P为劣弧EF上的动点，则 PC PD 的最小值为_11 、（ 2016 ，南京金陵中学期中）如图，梯形ABCD中，ABCD, AB =6, AD =DC =2 ， 若 AC BD =-12，
18、则AD BC =_12、已知圆 O 的直径为 BC ，点 A 是圆周上异于 B, C 的一点，且AB AC =1，若点P是圆O所在平面内一点，且AP =ABAB+9ACAC，则PB PC的最大值为（ ）A.2 3B.9C.76D.8113、如图，在半径为 1 的扇形AOB中，AOB =60 , C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP BP最小值是_14、如图，已知圆M : (x-4)2+(y-4)2=4，四边形ABCD为圆 M 的内接正方形， E , F 分别为边 AB, AD 的中点，当正方形yDFCMBABCD 绕 M 圆心转动时， ME OF 的取值范围是（ ）AEA.-8 2,8
19、2 B. -8,8C. -4,4 D. -4 2,4 2 ox15、在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD =p2，且AB =AD =12CD =1，M是AB的中点，且BN =2 ND ，则 CM AN 的值为（ ）A.5 5 7 7B. - C. D. -4 4 6 616 、如图，在平行四边形ABCD中，AB =2, AD =1,A =p3，点M在AB边上，且1AM = AB ，则 DM DB = 3（ ）A.-3 3B.2 2C.-1D.11 3 2 1 31( ) 习题答案：1、答案：22解析：AP =AD +DP =AD +1 3 3 AB ， BP =BC +CP =BC + CD
20、 =AD - AB4 4 4，所以AP BP =( AD +AB ) (AD - AB) =AD - AD AB - AB 4 4 2 162，即2 =25 -1 3AD AB - 64 ，解得 AD AB =22 2 162、答案：-12解析：以EF为坐标轴建系，则E (-1,0),F(1,0)，设M(x,y) ME =(-1-x.-y),MF =(1-x.-y) ME MF =x 2 +y 2 -1，所以ME MF的最小值只需找到x 2 +y 2的最小值即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得： ME MF =-min 2(x2+y2)min=123、答案：C解析：考虑如图建立坐标
21、系，可得：A (-1,-1),B(1,-1) M (rcosq,r sin q),q0,2p),0r1设，则，内切圆方程为：x 2 +y 2 =1，故MA =(-1-rcosq,-1-r sinq),MB =(1-rcosq,-1-r sinq)MA MB =r2cos2q-1+(1+rsinq)2=r2+2 r sinq设f(q)=2rsinq+r2，可得f (q)r2-2r,r2 +2 r ，再由0 r 1可得：r 2 -2r -1,0,r2+2r0,3，所以MA MB -1,34、答案：B解析：设P (1,0)M(cosq,sinq)，则由PM = PN可得：N (cosq,-sinq)
22、 PM =(cosq-1,sin q),PN =(cosq-1,-sinq)，其中0 qp22- ,2 2) 2 2 ( )1+9l 1 +9 l 2 2 1 +9l PM PN =(cosq-1)-sin2q=2cos2q-2cosq=2 cos1 1q- -2 2当cos q=12时，可得(PMPN) =-min125、答案： 3 1 解析：方法一：以O 为原点，OA 为 x 轴建系，则OA =(1,01 3 , B , ，设 C (cosnis,qq)，则BC =cosq-1 3,sin q-2 2。所以OA BC =cosq1 3 1 - - ,2 2 2 方法二：考虑B在OA上的投影
23、为OA中点M，利用数量积投影定义数形结合可知OA BC取最大值时，C 与 A 重合；当 OA BC 取最小值时，C 在 OA 反向延长线与圆 O 的交点处，经计算可得：6、答案：A 3 1 OA BC - , 2 2 解析：由已知可得：c =(k+1,k +2)，因为 b c ，所以 b c=k +1 +k +2 =0 k =-327、答案：2918解析：因为1 1 DF = DC , DC = AB9l 2 CF =DF -DC =1 1 -9l 1 -9l DC -DC = DC = AB9l 9l 18l，AE =AB +BE =AB +lBC，AF =AB +BC +CF =AB +B
24、C +1 -9l 1 +9lAB = AB +BC 18l 18l， AE AF = AB +lBC AB +BC = AB +lBC + 1 +l AB BC 18l 18l 18l =1 +9l 19 +9 l4 +l+ 2 1cos120 = 18l 18l2 1 17 2 1 17 29 + l+ 2 l+ =9l 2 18 9 l 2 18 18当且仅当2 1 2 29 = l即 l = 时 AE AF 的最小值为 .9l 2 3 18( )( ) 2 1322 1 222338、答案：D解析： BD CD = AD -AB -AB =-AB AD +AB =-aacos120 +a
25、2=32a29、答案：A1 解析：以 A 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则B ,0 , Ct (0,t)，ABAB,ACAC为单位向量，坐标为(1,0),(0,1)，AP=(1,4)P(1,4)，则1 PB = -1, -4 , PC =t (-1,t-4)所以yC1 1 PB PC =- +1 -4t +16 =17 - 4t +t t ，因为APBx1 14t + 2 4 t =4 ，所以 PB PC 17 -4 =13 t t10、答案：5 -2 5解 析：可 依正方形 以AB, AD为坐 标轴建 系，则P(cosq,sinq)， 其中 pq 0, 2 ，D (0,2),C(2,2)，PC =(2-cosq,2 -sinq),PD =(-cosq,2 -sinq)， PC PD =-cosq(2-cosq)+(2-sinq)2=5-2cosq-4sinq=5 -2 5sin(q+j)其中tanj=