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1、2019/5/6,研究电磁现象的有关规律及其应用的科学,第二篇电磁场,第5章 真空中的静电场, 5. 1 电荷 库仑定律, 5. 2 电场 电场强度E, 5. 3 静电场的高斯定理, 5. 4 电场力的功 电势, 5. 5 *电势与电场强度的关系,静电场：相对于观察者静止的电荷所产生的电场,2019/5/6,5-1电荷.库仑定律,1.自然界只存在两种电荷，同种电荷相排斥，异种电荷相吸引,2.美国物理学家富兰克林首先称其为正电荷和负电荷,一.两种电荷,2019/5/6,3.带电的物体叫带电体 4.质子和电子是自然界存在的最小正、负电荷，其数值相等，常用+e和-e表示,1986年 e 的推荐值为,
2、C(库仑)为电量的单位,2019/5/6,1.实验表明:任何带电体或其它微观粒子所带的电量都是 e 的整数倍,2.电荷量子化：电荷量不连续的性质,-物体所带电荷量量值不连续,二.电荷量子化,2019/5/6,三.电荷守恒定律,电荷守恒定律：电荷只能从一物体 转移到另一物体，或从物体的一部 分转移到另一部分，但电荷既不能 被创造，也不能被消灭.,2019/5/6,摩擦起电：本质是电子从一个物体转移到另一个物体,常见的两种起电方式：,感应起电：感应电量等值异号,1.点电荷：可以忽略形状和大小以及电荷分布情况的带电体,四.库仑定律,2019/5/6,2.库仑定律： 1785年库仑(法)通过扭秤实验得
3、到两个静止点电荷之间相互作用的基本规律：,其中,-单位矢量,2019/5/6,3.实验测得,4.k常用常数 0 表示：,其中 0=8.8510-12 C2/Nm2,-真空介电常量,2019/5/6,说明: 对于不能抽象为点电荷的带电体，不能直接应用库仑定律计算相互作用力 库仑定律表达式中引入“4”因子，称为单位制的有理化，这可使以后的推导结果简单些,2019/5/6,设空间中有n个点电荷q1、q2 、q3 qn,-静电力叠加原理,实验表明，qi受到的总静电力等于其它各点电荷单独存在时作用于qi上静电力的矢量和，即,五.静电力叠加原理,2019/5/6,历史上的两种观点:,近代物理的观点认为：凡
4、是有电荷存在的地方，其周围空间便存在电场,5-2 电场 电场强度,一.电场,2019/5/6,1 力：放入电场中的任何带电体都要受到电场所作用的力-电场力 2 功：带电体在电场中移动时，电场力对它作功 3 感应和极化：电场中的导体或介质将分别产生静电感应现象或极化现象,静电场的主要表现:,2019/5/6,1 试探电荷：满足 线度充分小：试探电荷可视为点电荷, 以便能够确定场中每一点的性质 带电量充分小：可忽略其对原有电场分布的影响,二.电场强度,2019/5/6,实验： 将同一试探电荷 q0 放入电场的不同地点：,q0 所受电场力大小和方向逐点不同,电场中某点P处放置不同电量的试探电荷:,所
5、受电场力方向不变，大小成比例地变化,-电场力不能反映某点的电场性质,2019/5/6,定义：电场强度,单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m),设空间有点电荷q1、q2 、q3 qn,P点处的试探电荷 q0 所受电场力为,三.场强叠加原理,2019/5/6,P点：,场强叠加原理：电场中任一点处的场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和,2019/5/6,1.点电荷的场强,P点的试探电荷q0所受的电场力为,由场强的定义可得P点的场强为,-点电荷的场强,四.场强的计算,2019/5/6,讨论：,的大小与 q 成正比，而与 r2成反比,的方向取决于 q 的符号,q0 的方向沿
6、的方向(背向q),q0： 的方向与 的方向相反(指向q),2019/5/6,点电荷的场是辐射状球对称分布电场,2019/5/6,2.点电荷系的场强,设空间电场由点电荷q1、q2、qn激发,则各点电荷在P点激发的场强分别为:,P点的总场强为,-点电荷系的场强,2019/5/6,【例5-1】如图,一对等量异号电荷+q和-q，其间距离为l且很近，这样的电荷系称为电偶极子。定义 pe=ql 为电偶极矩，简称电矩，是矢量 ,方向由-q指向+q。求(1)两电荷延长线上任一点A的电场强度；(2)两电荷连线中垂线上任一点B的电场强度.,2019/5/6,解:(1)设两电荷延长线上任一点A到电偶极子中点O的距离
7、为r,+q和-q在A点处的场强大小分别为：,方向沿x轴正向,方向沿x轴负向,2019/5/6,因 pe=ql，当 rl 时有,方向沿x方向,2019/5/6,或,与电矩的方向一致,(2)设电偶极子中垂线上任一点B到 O点的距离为 r,则,2019/5/6,在 y 方向上， 和 的分量相互抵消,2019/5/6,当 rl 时,方向沿x负方向,即,与电矩的方向相反,2019/5/6,解,相对于O点的力矩：,【例5-2】求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。,2019/5/6,电偶极子在非均匀电场中又如何运动呢？,2019/5/6,根据电荷分布的情况，在带电体上取一个电荷元 dq ,dq 可表示为,3
8、.连续分布带电体的场强,求出电荷元dq在某点P处的场强,2019/5/6,在直角坐标系中,求出整个带电体在P点产生的总场强为,2019/5/6,【例5-3】设有一长为L的均匀带电q的直线，求直线中垂线上一点的场强,解：建立如图坐标系，O为直线中点，P为直线中垂线上任一点,任取一长为dy的电荷元dq,2019/5/6,即,2019/5/6,2019/5/6,当xL时，带电直线可视为“无限长”,讨论：,则,当xL时，即在远离带电直线的区域,即带电直线可看作点电荷q,2019/5/6,【例5-4】 长L=15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为C/m的电荷。求在导线的延长线上与导线一端B相距d=5
9、cm处P点的场强。,建立如图所示的坐标系，在导线上取电 荷元dq,则,解：,2019/5/6,导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿轴正方向，大小为,电荷元在P点所激发的场强方向如图所 示，场强大小为,2019/5/6,P,2019/5/6,【例5-5】一半径为R、均匀带电为q的细圆环，求(1)轴线上某一点P的场强；(2)轴线上哪一点处的场强极大？并求其大小,解：以圆环圆心O为原点建立如图坐标系,在圆环上任取一线元dl,则,2019/5/6,由对称性有,2019/5/6,为定值,且,-可看作集中在环心的点电荷,讨论：,当xR时，有,2019/5/6,x =0时,E的极值位置,令,可得,2019/
10、5/6,o,Y,X,如图所示的带电体，o点场强呢？,由对称性有,2019/5/6,【例5-6】 半径R为的圆弧形细塑料棒，两端空隙d，总电荷量为Q的正电荷均匀地分布在棒上。如d弧长，求0点场强的大小和方向。,解(1)电荷线密度,2019/5/6,d弧长，可采用挖补法近似求解,缝隙d处不带电，等同于带等量异号电荷,与弧形棒构成一带电圆环，其在0点产生的电场为0.,d很小， 相当于一点电 荷，根据场强叠加原理，则 二者共同在0点激发的总场强为：,2019/5/6,例5-7一半径为R的均匀带电薄圆盘，电荷面密度为, 求圆盘轴线任一点场强,解：可将带电圆盘看成是由许多同心带电细圆环组成的,在圆盘上取一
11、半径为r，宽度为dr 细圆环为电荷元dq,则,2019/5/6,因各细圆环在P点的场强方向相同,2019/5/6,讨论：,xR时，带电圆盘可视为无限大均匀带电平面,有,-垂直于板面的匀强电场,2019/5/6,xR时,-相当于点电荷q的电场,2019/5/6,表示电场方向：曲线上每一点的切向为该点的场强方向,5-3 静电场的高斯定理,表示场强大小：电力线的疏密程度表示场强的大小,一.电力线,2019/5/6,电力线的性质： 电力线起于正电荷(或无限远处)，终于负电荷(或无限远处)，不会形成闭合曲线。 两条电力线不会相交。 电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化的方法,2019/5/6,电通
12、量：通过电场中任一给定面的电力线数,均匀电场中：,平面S的法矢与场强成 角,平面S与场强垂直,则,则,二.电通量,2019/5/6,非均匀电场中，对任意曲面S：,在S上任取一小面元dS,当S是一个闭合曲面时,: 对闭合曲面，自内向外为正方向,2019/5/6,【例5-8】求穿过曲面S的电通量。,解：挖补法求解。,2019/5/6,【例5-9】求穿过曲面S的电通量。,解：挖补法求解。,2019/5/6,高斯定理：静电场中任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以0,即,闭合曲面S称为高斯面,三.高斯定理,2019/5/6,简证 包围点电荷q的球面, 且 q 处于球心处,推论：对
13、以q为中心而 r不同的任意球面而言，其电通量都相等,2019/5/6,包围点电荷q的任意闭合曲面S,以 q为中心作一球面S,通过S的电力线都通过S,不包围点电荷q的任意闭合曲面S,穿入、穿出S的电力线数相等,2019/5/6,点电荷系q1、q2、qn电场中的任意闭合曲面,-真空中静电场的高斯定理,2019/5/6,对连续分布的带电体,为电荷体密度，V为高斯面所围体积,讨论：,当 ，E0，即有电力线从正电荷发出并穿出高斯面，反之则有电力线穿入高斯面并终止于负电荷,2019/5/6,电力线从正电荷出发到负电荷终止，是不闭合的曲线,-静电场是“有源场”,高斯面上的场强 是总场强，它与高斯面内外电荷都
14、有关,q为高斯面内的一切电荷的代数和，即电通量只与高斯面所包围正负电荷代数和有关，与高斯面外电荷无关,高斯定理是普适定理，但用之求场强时必须要求场强分布有高度对称性。,2019/5/6,【例5-10】如图所示，一闭合曲面S内有一点电荷q，O为S面上任一点，若将q由闭合曲面内的P点移到T点，且OP=OT，那么 (A) 穿过S面的电通量改变，O点的场强大小不变； (B) 穿过S面的电通量改变，O点的场强大小改变； (C) 穿过S面的电通量不变，O点的场强大小改变 (D) 穿过S面的电通量不变，O点的场强大小不变,2019/5/6,2019/5/6,补充例题：,？能否用高斯定理求解穿过高斯面S的电通
15、量和高斯面上P点的场强吗？,2019/5/6,一般步骤: 1。分析电场所具有的对称性质-球对称、轴对称和面对称； 2。过被求场点作适当形状的闭合曲面为高斯面； 3。计算通过高斯面的电通量和高斯面所包围的电荷总和； 4。代入高斯定理（即令电通量等于高斯面内的电荷代数和除以o），求出电场强度。,四.高斯定理应用举例,2019/5/6,【5-12】求点电荷场强分布。,解：点电荷的电场分布具有球对称性,取与点电荷同心球面S为高斯面，高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致,2019/5/6,【例5-13】求均匀带正电Q球面内外的场强分布。设球体半径为R，带电量为Q,解：带电球面的电场分布具有球对称性
16、,高斯面如图示。,2019/5/6,rR时：,或,rR时：,2019/5/6,【例5-14】求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半径为R，带电量为Q,解：带电球体的电场分布具有球对称性,高斯面如图示。,2019/5/6,rR时：,rR时：,2019/5/6,得,2019/5/6,解：带电球体的电场分布具有球对称性,取与球体同心球面为高斯面。,【例5-15】求非均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半径为R，电荷体密度,2019/5/6,在距球心r处取半径为r、厚度为dr的薄球壳作为体元dV，则体元dV内包含的电量为,2019/5/6,2019/5/6,【例5-16】求均匀带正电的无限长细棒的场
17、强分布。设棒的电荷线密度为,解：电场分布具有轴对称性，任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外,以棒为轴作半径为r、长为 h的圆柱闭合面为高斯面,2019/5/6,由高斯定理有,或,2019/5/6,【例5-17】求轴半径为R的均匀带正电的无限长圆柱面的场强分布。设圆柱面的电荷线密度为,解：电场分布具有轴对称性，任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外,以圆柱面的轴线为轴，作半径为r、长为 h的圆柱闭合面为高斯面,2019/5/6,由高斯定理有,或,2019/5/6,由高斯定理有,可在圆柱面内作同样的高斯面,2019/5/6,解：电场的分布具有面对称性,高斯面取为两底与板面对称平行，侧面与板面垂直的圆柱形
18、闭合面,【例5-18】求均匀带正电无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为,2019/5/6,得,方向垂直于板面向外,2019/5/6,【例5-19】一无限大,厚为b,体电荷密度 的均匀带电板,求板内.板外电场的分布.,解:a:板内. 选立方体(图示圆柱面也可)为 高斯面,上、下、前、后四个面 上电通量为零.,=q/0,=S 2X/0,E= x/0,(x|b/2),Y,2019/5/6,b:板外。,利用高斯定理求解。,=q/0,= S b/0,E= b/2 0,2019/5/6,【例5-20】一无限大,厚为b带电平板,体电 荷密度为 ，式中k为 一正的常数,求板内、板外电场的分布.,解：利用场
19、强叠加原理求解。,可看成无数多个无限大带电 平板产生的场强的叠加。,2019/5/6,该无限大带电薄平板在板外产生的场强：,dq= s dx= s,dE=/20=dx/ 20=kx dx/ 20,一个无限大带电薄平板所带电量为：, = dx=kxdx）,所有无限大带电平板在板外所产生的电场方向均沿X轴正向。,A：板外。,2019/5/6,B：板内。,被求场点P左侧的无限大带 电平板在P点产生的电场方 向均沿X轴正向，即,右侧无限大带电平板在P点产生电场方向均沿X轴负向,2019/5/6,一.静电场力作功的特点,试探电荷q0在q的电场中，沿任意路径从 a 移动到 b,取位移元,5-4 电场力的功
20、 电势,2019/5/6,-与路径无关,在q1、q2、qn点电荷系电场中移动,-与路径无关,2019/5/6,对连续分布带电体可得同样结果,结论：电场力所作的功只与试探电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关,-静电场环流定理,-静电场是一个保守场，静电力是保守力,路径闭合时,2019/5/6,设Wa和Wb分别表示试探电荷q0在a点和b点的电势能,当电荷分布在有限区域内时，通常选无限远处为零电势能参考点,二.电势能,2019/5/6,三.电势,定义：,-单位正电荷从a点移到无限远处时静电场力所作的功,任意两点a和b之间的电势差(电压)为,2019/5/6,说明：,电势的单位为J/C，称为伏特，
21、记作V,当电荷分布不是在有限区域内时，则不能将无限远处选择为零势点，要根据具体情况，选择合适的零电势点,2019/5/6,1.点电荷q电场中的电势,取无限远处为零电势参考点，a点电势为,四.电势的计算,2019/5/6,讨论： q0：各点的电势为正，离q愈远电势愈低，在无限远处电势最低并为零 q0：各点的电势为负，离q愈远电势愈高，在无限远处电势最高并为零,2019/5/6,对q1、q2、qn构成的点电荷系,2. 点电荷系电场中的电势,2019/5/6,点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和,-静电场的电势叠加原理,2019/5/6,【例5-21】四个电量均为
22、q的点电荷，分别放在边长为a的正方形的四个顶点上，求(1)正方形中心O处的电势；(2)如果将试探电荷q0从无限远处移到O点，电场力作功多少？,解：(1)O点到四个顶角的距离均为,2019/5/6,根据电势叠加原理有,(2)将q0从无限远处移到O点，电场力所作的功为,2019/5/6,【例5-22】如图所示，已知r=6cm，a=8cm q1=310-8库仓，q2=-310-8库仓。求：将电量为210-9库仓的点电荷从C点移到D点，电场力作功多少？,2019/5/6,【例】在点电荷的电场中，若取图中的点为电势零点，则点的电势为（ ）,2019/5/6,3.连续分布电荷电场中的电势,根据电荷分布，取
23、一电荷元dq，写出该电荷元在 a点的电势dU,则a点总电势为,解法一：用电势叠加原理求解,对线分布带电体，此法很方便。,2019/5/6,步骤一：求出各区间场强分布； 步骤二：选取电势零点和积分路径； 步骤三：用电势定义式进行分段积分。,解法二：用电势定义式求解,场强分布易用高斯定理求出时，此法很好用。,解法三：用挖补法求解,2019/5/6,例5-24试计算半径为R、均匀带电为q的细圆环轴线上任一点a处的电势。,在圆环上任取一线元dl，所带电量为,解法1：用电势叠加原理求解。,2019/5/6,积分路径取轴向,解法2：用电势定义式求解。,2019/5/6,讨论：,环心处：x0,xR，则,-相
24、当于点电荷的电势,2019/5/6,【例5-25】一半径为R的均匀带电球壳，所带电荷为q，求空间任一点a的电势,解：由高斯定理可得,r为a到球心的距离,2019/5/6,时：,时：,2019/5/6,讨论：,球壳内任一点的电势与球壳的电势相等(等势),球壳外的电势与球壳上的电荷集中于球心的点电荷的电势相同,2019/5/6,【例5-26】两个均匀带电的同心球面，半径和带电量分别为R1、+Q1和、-，且，求电势分布。,解：由高斯定理可得,2019/5/6,时：,时：,2019/5/6,时：,2019/5/6,【例5-27】求无限长均匀带电直线外任一点a处的电势。已知电荷线密度为,解：无限长均匀带
25、电直线的场强大小为,在通过a点并与带电直线垂直的线上取一参考点b为电势零点,2019/5/6,取rb1m，则Ub0,r 1m处，U0,2019/5/6,等势面:电势相等的点所组成的曲面,沿等势面移动电荷，电场力不作功,5-5 场强与电势的关系,一.等势面,静电场中等势面特点:,电力线和等势面正交,2019/5/6,2019/5/6,二.场强与电势的关系,在直角坐标系中,2019/5/6,讨论： 静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值，方向垂直于等势面指向电势降的方向 在电势不变的空间，电势梯度为零，所以场强必为零 电势为零处，场强不一定为零；场强为零处，电势也不一定为零,2019/5/6,2019/5/6,【例5-29】关于场强和电势的关系，下列说法中哪一项是正确的？（ ） （A）场强为零的点，电势必为零； （B）电势为零的点，场强必为零； （C）在电势不变的空间，场强处处为零； （D）在场强不变的空间，电势处处为零；,2019/5/6,【例5-30】应用电势梯度的概念，计算半径为R、电荷面密度为的均匀带电圆盘轴线上任一点P的电场强度,解：取半径为r宽为dr的圆环为电荷元，则,2019/5/6,由电势叠加原理有,2019/5/6,由电荷分布的对称性可知，场强方向沿轴线,P点电场强度在x轴方向的分量为,