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1、九年级数学同步辅导与测试正多边形和圆重点、难点：1. 正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。2. 正多边形与圆的关系（ 1）把圆分成n（ n 3）等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形，这圆是正 n 边形的内切圆。n（ 2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3. 有关的概念（ 1）正多边形的中心（ 2）正多边形的半径（ 3）正多边形的边心距（ 4）正多边形的中心角4. 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成
2、 2n 个全等的直角三角形。这里我们设：正n 边形的中心角为 ，半径为 R，边心距为 r ，边长为 an，周长为 Pn，面积为 Sn，则有（ ）360；（2）an2 R180；（ ）180；1nsin3 rR cosnn221211（ 4）Rr4 a n； （ 5）Pnn a n ；（ 6） Sn2 n r a n2 r Pn；（ 7 ）正多边形的每一个内角( n2)180 ，内角和(n 2)180 .n5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。6. 重点和难点：（ 1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角
3、三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30、60角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。（ 2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。知识总结正多边形的定义要理解后记牢， 这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆， 但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。有关正多边形的计算实质是把问题转化为解直角三角形的计算， 所以这里要用到三角函数及勾股定理等有关知识。要注意线段的转化， 如圆内接三角形的半径 （即该圆的半径） 又是该圆外切正三角形的边心距，掌握了这些变化，有利于运算求值的一些计算。巩固提高已知： 四边形内接于
4、圆，且AC BD于，求证： AB 2BC 2CD 2DA2为定ABCDOE值。ADEOCB图 720分析：本题可用特殊值法探求定值，因为 A、B、C、D在 AC BD的制约下是圆上任意点，2222的定值， 由所以 E 随之运动， 当 E 运动到圆心 O这一特殊位置时， 不难得到 AB +BC+CD+DA于图形中元素便于用数量关系表示，所以采用计算法较好。证明：设 ADB，则 CAD90在 ABD 中，由正弦定理有 AB 2 R sin在CD中，有 CD2Rsin( 90)2RcosAB 2CD 2(2 R sin) 2( 2R cos) 2(2R )24 R2同理BC2AD 2(2R) 24R
5、 2AB 2BC 2CD 2DA 24R 24R 28R2 为定值。BC中，abc2Rsin Asin Bsin C说明：此例中用到正弦定理，即其中 a、 b、 c是BC的三边， 2R是BC外接圆的直径，正弦定理很常用，也很好证。AAOBC图 721证法如下：如图7 21，A 的对边为 a，连结 BO 并延长 BO 交圆 O于 A ，连结 A CA B是直径，A CB90BCa在 Rt A CB当中， sin A AB2RBCBC，AAsin Aa ，即a2 R2 Rsin A同理可证b，c2R2sin BRsin Cabc2Rsin Asin Bsin C【例题分析】例 1. 求半径为 2c
6、m的圆内接正三角形的边长及面积。COADB图 714解：如图7 14， O为正ABC 的中心， ODAB于D.AOB360120 ，AOD603AO 2cm，AD AOsin 6033( cm)221即 AB23 (cm)又 ODOAcos6021(cm)，2在 ABC 中， AB 边上的高 CDCOOD2 1 3(cm)S ABC1AB CD1233 33 (cm) 2 .22正三角形 ABC 的边长为 23cm，面积为 33cm2 .例 2. 一个圆内接正方形的边心距为r ，求该圆的外切正六边形的边长。分析：由题意画图 7 15，AB 是圆 O 的内接正方形的一边， CD是外切正六边形的一
7、条边，通过OM可求出圆 O的半径 OA，然后再找OA与 CD的关系。OCABMD图 715解：如图， AB是圆 O内接正方形的一条边，OMr，A2 rCD为圆 O外切正六边形的一条边，COD360606OACD ，且 AOC30ACOAtan 30362 rr3 3圆 O的外切正六边形的边长为2 6 r. 3例3.如图7 16， AB 是半圆的直径，C、D是 AB的三分之一点，若半径为R，求阴影部分的面积。CDAOB图 716解：连结 CD、 OC、 OD。C、 D是 AB 的三分之一点，ACDB， CD /AB平行线间的距离处处相等，OCD 与 CBD 有相等的高。S OCDS CBDS阴影
8、S扇形 OCDS1R 2S1R 2扇形 OCD6阴影6例 4. 如图 7 17，矩形 ABCD中， AD=2AB=2，以 D 为圆心，以 DA 为半径的弧交 BC 于 F 交 DC延长线于 E，求阴影部分面积。ADBFCE图 717解：连结 DF，AD DFDEAD 2AB2 ，DF2DC 2， CD 1DCF 90 ，DFC30AD / /BC，ADF 30在 RtDCF 中， cotDFCFC ，FC3CDS DFC1CD FC，S DFC3 .2222Sn R，S扇形 ADE902，同理 S扇形 ADF.扇形 ADE3603603S阴影S扇形 ADES扇形 ADFS DFC3323 ，2
9、32S阻影23.32例 5. 如图 7 18，矩形 ABCD中， AB=4，AD=6，求以矩形一边所在直线为轴旋转一周后的立体图形的表面积。ADBC图 718分析：由于矩形的长和宽不等， 以 AB边所在直线为轴旋转和以 AD边所在直线为轴旋转所得到的立体图形表面积是不一样的，所以要分类讨论。略解：（ 1）设以 AB 边所在直线为轴旋转，上底面周长2AD2612上底面面积下底面面积AD 236侧面面积上底面周长AB 48表面积侧面面积上底面面积下底面面积363648120（ 2）设以 AD边所在直线为轴旋转，上底面面积=下底面面积 =16上底面周长8 ，侧面积48 ，表面积6164880 .【模
10、拟试题】 （答题时间： 70 分钟）（一）一.选择题（每题6 分，共 30 分）1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比为（）A.扩大了一倍B. 扩大了两倍C. 扩大了四倍D. 没有变化2.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A. 3：2： 1B.4 ：3：2C. 4 ：2：1D. 6 ：4：33.一个正方形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆的面积之比为（）A. 3：2B.2 ：1C.9 ：4D. 25 ：94.同圆的内接正三角形面积与内接正六边形面积之比是（）A. 1： 2B.1 ：2C. 2:3D.1 ：35.若大圆的周长是小圆的周长的3 倍，那么大圆面积是
11、小圆面积的（）A.3倍B.3倍C.6倍D.9倍二 . 填空题（每题 6 分，共 30 分）1. 正五边形共有 _条对称轴，正六边形共有 _条对称轴。2.边长为 n 的正六边形中较长的对角线为_，面积为 _。3.圆内接正 n 边形的边长为 a，则同圆外切正 n 边形的边长为 _。4.一圆的内接正三角形的面积为8cm2 ，则此圆的外切正三角形的面积为_。5.同一圆中的内接正六边形和外切正六边形的周长比为_，面积比为 _。三 . 解答题（每题 10 分，共 40 分）1. 已知圆内接正方形的面积是8，求此圆的内接正六边形的面积。2. 若正六边形的面积为 6 3 ，求此正六边形内切圆的内接正三角形的面
12、积。3. 圆内接正五边形 ABCDE的对角线长为 l ，求它的边长。4. 如图 7 19，PA、PB切圆 O于 A、B，若 APB 60 ，圆 O的半径等于 3，求阴影部分的面积。AOPB图 719（二）一.选择题（每题 6 分，共 30 分）1.正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）3333A.6B. 4C.3D.22.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3 、S4 、 S6 之间的大小关系是（）A.S3S4 S6B. S6S4S3C. S6S3S4D. S4S6S33.两圆半径分别为R、r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4 倍，则这大圆的半径为（）1122122
13、A.2 ( R r)B. 2(Rr)C.2RrD.2R2r 24.若两圆半径分别为R 与 r （ Rr ），圆心距为d，且 d 2R2r 22Rd ，则两圆位置关系为（）A.外离B.外切或内切C. 相交D. 外切5. 已知圆 O与圆 O 内切于 A 点，圆 O 弦 BC过圆 O 圆心 O 交圆 O 于 D、 E，若圆 O的直径为 6，且有 BD : DE: EC34: :2 ，则圆 O 的半径长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二 . 填空题（每题 6 分，共 30 分）1. 正十边形的半径等于 10，则边长等于 _。2. 一个正 n 边形的面积是 240cm 2 ，周长是 60cm ，则
14、边心距是 _。3.已知圆内接正三角形边长为2 3cm ，则以该圆内接四边形的边长为边的正三角形外接圆的外切正三角形的边长是_。4.已知正多边形的边长为23cm ，内切圆半径 r 3cm ，则正多边形的边数为 _，外接圆的半径 R 为 _。5.已知圆 O与圆 O 外切于 M点， AB是外公切线， A、B 为切点，若 AB 4 ， OO 5 ，则两圆的半径为 _。三 . 解答题（每题 10 分，共 40 分）1. 如图所示， O1 和 O2 相交于 A、 B，过 A 作直线交 O1 于 C，交 O2 于 D，M 是CD中点，直线BM交 O1 于 E，交 O2 于 F。求证： ME MF2. 已知圆
15、 O与圆 O 外切于 P 点，割线 AC过 P 点交圆 O于 A，交圆 O 于 C， BC切圆 O 于C，圆 O的直径 AD延长线交 BC于 B，求证： ABBC3.已知 AB是圆 O的直径， CD切圆 O于 C， BDDC 于 D，若 AB 2 ， DBA 140 ，求BC 的长。4.已知 ABC中，AB 6， A 30 ， B15 ，求绕直线AC 旋转一周所得几何体的表面积。【试题答案】模拟测试一一.选择题：1.D2. A3. B4. B5. D二.填空题：a1.5 ， 62.2n， 33n 2cos18023.n4.32cm25.cos180， cos2180nn三.解答题：1.设正方形
16、边长为AB，正六边形边长为AC，过 O点作 OMAC 于 M，连结 OB、 OA、 OC，可求出正六边形的面积为6 3 。2. 提示：设 AB 是正六边形一条边长， C 为切点， CD为圆 O的内接正三角形的一条边长，过O点作OECD，垂足为E，分别连结OA、OC、OB、OD，所求的S311393CDOE 3334222。a513.2l提示：用黄金分割知识，解得。4.提示：阴影面积S四边形 AOBPS扇形 AOB9 3 3模拟测试二一.选择题：1.C2. B3. D4. B5. A二.填空题：1.5 5 52. 8cm3.4 2cm4.6 ，23cm5.1 ，4或 4，1三 . 解答题：1.
17、分析一：要证 ME MF，结合已知 MC MD，若连结 CE、 DF，只需证 CME DMF。连结公共弦AB，通过两圆的公共圆周角证法一：连结CE、 DF、 AB C ABE， D ABE C D又 CM DM， CME DMF CME DMF MEMFABE传递，证明C D。分析二：考虑到ME是 O1 中相交两弦CA、 EB被交点分成的一段，MF是 M向 O2 所引割线段，因此可利用圆幂定理来证明。证法二：在O1 中，弦 CA、 EB相交于点 M EMMB CMMA在 O2 中， MAD、 MFB是 O2 两割线 MFMB MAMD MCMD MEMB MFMB MEMF2. 提示：过 P
18、点作两圆的切线 EPF，则因 APC是割线，所以有APECPF，又 BC是切线，所以CEPC ，故APEC ，这时我们先实现了使C 与圆 O有关，只是AP 上的圆周角还没有，故连结PD，则APEADP ，因 AD是直径，所以有ADP90，则 AADP 90 ，即AC90 ，即B 90 ，可证 ABBC 。23.答案：9 。ln R180提示：要求 BC 的长，由弧长公式可知必须已知半径及圆心角的度数，因直径AB=2，则 OA=1，即半径已知，那么只要求出圆心角的度数即可，又已知中有DBA 140 ，而 DC DB 及 DC是圆 O的切线，因此只要把DBA 转化为圆心角问题，就可确定圆心角的度数
19、。由于 DC切圆 O于 C，由切线的性质， 若连结 OC，有 OC DC ，因D 90，那么 DB/CO，2故DBACOB180 ，所以 COB 40 ，由弧长公式可求 BC 的长为 9。4. 答案： (18 9 2)提示：所得的图形是由两个圆锥的母线所围成的立体图形，过 B点作 BDAC 交 AC延长线于 D 点，由ACB135，故 DCB 45，所以 CDDB ，在 Rt ADB 中由A30 ，AB6 ，所以 BD3 ，在 Rt DCB 中， BC3 2 ，16618AB为母线的圆锥侧面积为2根据圆锥的知识，以，12692以 BC为母线的圆锥侧面积为32，所以立体图形表面积为(189 2 )。