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1、高数（下）分类解析-积分2011级一、4. 假设, 则5. 设为上与之间的弧段，则四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：三重积分,的面积证明 设，则由于高斯公式条件满足，从而有的面积五、（本题8分）计算, 其中是一段正弦曲线沿增大方向解: 令, 则，补线段从而另解 原式对于，由于令, 则在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线为积分路径得，故原式六、（本题8分）计算, 其中是球面在平面之上的部分解 由题意曲面为，则从而七、（本题8分）计算曲面积分,其中为介于与之间的部分得的下侧.解 补平面区域取上侧. 两曲面
2、形成封闭曲面的外侧, 围成由高斯公式 故 原式2010级1. 一3. 假设为圆的右半部分,则二、 （本题8分）计算三重积分,其中是由所围成的闭区域.解 原式五、（本题8分）计算,其中为(1)圆周(按反时针方向)(2)圆周(按反时针方向)解: (1)令,则在所围区域每点成立从而由格林公式(2)取为圆周(按反时针方向)则在和中间的区域内每一点成立从而由格林公式六、（本题8分）计算,是平面被圆柱面截出的有限部分解 平面的法向量为(由对称性)七、（本题8分）计算曲面积分,其中为上半球面的上侧.解 取一曲面,下侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧,围成有高斯公式 故 原式2009级一、2、4分 , 其中5、4
3、分交换二次积分的积分次序 四、 8分 求锥面被圆柱面割下部分的曲面面积（答案：）五、 8分 计算（答案：）六、 8分计算曲面积分，其中为半球面的上侧（答案：）七、7分 计算曲线积分，其中表示包含点内的简单闭曲线,沿逆时针方向。（答案：）2008级4、4分 交换二次积分的积分次序5、4分设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ，四、 7分 求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：上半球面的部分为五、 7分 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域解：由对称性，从而六、 7分计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧解：取上侧则原式 七、7分 计算曲线积分，其中表示第四象限内以
4、为起点为终点的光滑曲线。解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关取路径，2007级5、4分设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分6、设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分. 二、7分 计算二重积分.是由所围成的闭区域解：作图知三、 7分 计算三重积分，其中.由所确定解：由交线（舍去）于是投影区域为，柱坐标下为四、 7分 计算，其中为半球的上侧解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式原式（用对称性可以简化计算）五、 7分 计算，其中为抛物面解：，投影区域为由对称性，原式2006级3. 已知曲面，则（ B ）(A）； (B) ； (C) ； (D) 2曲线L为从原点到点的直线段，
5、则曲线积分的值等于 3交换积分次序后，三、（本题7分）计算二重积分，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域解：四、（本题7分）计算三重积分，其中是由柱面及平面所围成的闭区域解：五、（本题7分）计算，其中为旋转抛物面的上侧解：六、（本题7分）计算，其中为从点沿椭圆到点的一段曲线解：十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算解：2005级4、3分设平面曲线为下半圆周，则曲线积分(A)； (B) ； (C)； (D)5、3分 累次积分 (A)； (B) ； (C) ； (D) 5、3分设为球面的外侧，则曲面积分 .六、计算题8分设积分域为，试计算二重积分七、计算题8分计算三重积分，式中八、b. 7分（化工类做本题，非化工类不做本题）设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，为从点到点的直线段九、 计算题8分计算曲面积分，其中为上半球面