1、1 反常积分概念2 无穷积分的性质与收敛判别3 瑕积分的性质与收敛判别1 反常积分概念一一.问题的提出问题的提出 定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分”。例例1：（第二宇宙速度问题）（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？从而火箭从地面上升到离地心r(R)处需作的功为 OrRx-最后由机械能守恒定律得:例例2：圆柱形桶的内壁高为h,内半径为 R，桶底有一半径为 r 的小孔。试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？从物理学知道，当桶内水位高
2、度为 h-x 时，水从孔中流出的速度为 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足OxOh由此则有:所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写为“积分”但是因为这里的被积函数是 0,h)上的无界函数，故二二 两类反常积分的定义两类反常积分的定义1 无穷限反常积分无穷限反常积分注2.利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法：方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛,极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。解解由于由于a解解(1)由于由于由于和因此这两个无穷积分都收敛.由定义 2 无界函数反常积分无界函数反常积分注注1 1：注3.讨论无穷积分的
3、敛散性以及求其值的方法方法：方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛，极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。例例5 5 计算瑕积计算瑕积 的值的值.解解 例例6 6：解结论：结论：注意：注意：（1）此结论以后是经常用到的，要熟记。（2）此结论可以推广为以下几种情形：由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知 发散结论：结论：五五.作业作业P269:1(2)(4)(6),2(3)(5)(7).2 无穷积分的性质及收敛判别无穷积分的性质及收敛判别1.无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则一一.无穷积分的性质无穷积分的性质定理定理11.1：性质
4、性质2.无穷积分的性质无穷积分的性质性质性质注注:由性质由性质2可得无穷积分收敛的充要条件可得无穷积分收敛的充要条件性质性质证明:由积分绝对值不等式,又有3.无穷积分的绝对收敛与条件收敛无穷积分的绝对收敛与条件收敛绝对收敛绝对收敛；条件收敛条件收敛。注注 性质说明绝对收敛的无穷限积分自身一定收敛但自身收敛的无穷限积分不一定绝对收敛二二.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法1，比较原则，比较原则解：解：例例1.讨论收敛性，讨论收敛性，根据比较原则)，比较原则的极限形式，比较原则的极限形式推论推论12，柯西判别法，柯西判别法1)推论推论22)推论推论3则有:例例2.讨论下列无穷积分的收敛性，讨
5、论下列无穷积分的收敛性，解解(1)：所以根据柯西判别法解解()：根据柯西判别法由于 三三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法狄利克雷判别法与阿贝尔判别法1 狄利克雷判别法狄利克雷判别法定理定理11.3：证明:2 阿贝尔判别法阿贝尔判别法定理定理11.4：1.实际中,这两个判别法常用于判别条件收敛 的无穷积分；2.用这两个判别法关键是选择适当的f(x)及g(x)；3.在狄利克雷判别法中，一般令f(x)为sinx或cosx；注 由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别 法或柯西判别法，结合例1，我们可以先考虑判别它是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法。解题思路：解：解：
6、综1.(2)及2.知：证：证：例例4.证明下列无穷积分都是条件收敛的：利用此例可以解下例说明：从此例可以看到：作业作业P275:2,3,4(1)(4),5(1)(4)3 瑕积分的性质及收敛判别瑕积分的性质及收敛判别1.瑕积分收敛的柯西准则瑕积分收敛的柯西准则一一.瑕积分的性质瑕积分的性质定理定理11.5：性质性质2.瑕积分的性质瑕积分的性质性质性质注注:由性质由性质2可得瑕积分收敛的充要条件可得瑕积分收敛的充要条件性质性质证明:由积分绝对值不等式,又有3.瑕积分的绝对收敛与条件收敛瑕积分的绝对收敛与条件收敛绝对收敛绝对收敛；条件收敛条件收敛。注注 性质说明绝对收敛的瑕限积分自身一定收敛但自身收
7、敛的瑕限积分不一定绝对收敛二二.瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法1，比较原则，比较原则)，比较原则的极限形式，比较原则的极限形式推论推论12，柯西判别法，柯西判别法1)推论推论22)推论推论3则有:注意：1.实际应用中，常用推论3；2.用推论3时要找p,使同时满足p及3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。例例1：讨论下列瑕积分的收敛性：解题思路：1.解题前要先判别瑕点是哪个；2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。解解:(1)(2)下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子：讨论反常积分例例2：解题思路：此题既是无穷积分也是瑕积分(x=0 是瑕点),要分开考虑。解解:综上所述，把讨论结果列表如下：发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛定积分由此可见，反常积分五五.作业作业P275:1,2,3,4(1)(6),5(1)(4)
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