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1、2.1.1指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1知识与技能（ 1）理解分数指数幂的概念；（ 2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（ 3）掌握分数指数幂的运算性质；（ 4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3情感、态度与价值观（ 1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化 ”的数学思想；（ 2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（ 3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1教学重点： （1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2教学难点：分数指数幂概念的理解（三
2、）教学方法发现教学法1经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质.老师提问，学习问题ana a a a, a01 (a 0) ,学生回答 .新知前的00无意义简 单 复复习引入形成概念n1aan(a0)am anam n ;(am )namn(an )mamn ,(ab )nanbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.观察以下式子，并总结出规律：
3、a 0 5a10(a2 ) 5a2105a 5a8(a4 )2a48a 2 4a12(a3 )4a3124a 4 5 a105a210a 5(a2 )5小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时， 根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a22a 3(a0)1bb2(b0)4c55c4(c0)m即： n ama n (a 0, n N * , n 1)为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：习，不仅能唤起学生的 记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备 .老师引导学生“当根式的被开数学方数的指数能被根指数整
4、除时，根中引进一式可以写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式） ”联想 “根式的念或法则被开方数不能被根指数整除时，根时，总希式是否也可以写成分数指数幂的形望它与已式 .”.从而推广到正数的分数指数幂有的概念的意义 .或法则是相容的 .学生计算、构造、猜想，允许交流让学讨论，汇报结论教师巡视指导生经历从“特殊一mn am (a 0, m, n N * )一般”，a n正数的定负分数指数幂的意义与负整“归纳一数幂的意义相同 .猜想”，m1(a 0, m, n N * )是培养学即： a n生“合情ma n规定： 0的正分数指数幂等于0，0的推理”能负分数指数幂无意义 .力的有效说明：规
5、定好分数指数幂后，根式与分方式，同数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根时学生也式的一种新的写法，而不是经历了指n111数幂的再a ma m a ma m (a 0)发 现 过程，有利于培养学生的创造能力深化由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、 研究， 教师引导通过本环概念义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数节 的 教指数幂的运算性质， 可以推广到有理数指数学，进一幂，即：步体会上rsrs(a0, r , s Q)一环节的（ 1） a aa（ 2） ( ar )Sars (a0, r , s Q)设 计 意图（3）(a b) rar br (Q 0, b 0, r Q )若 a 0，
6、 P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本 P57P58.即： 2 的不足近似值， 从由小于2 的方向逼近2 ，2 的过剩近似值从大于2 的方向逼近2 .所以，当2 不足近似值从小于2 的方向逼近时，5 2 的近似值从小于 5 2 的方向逼近 5 2.当2 的过剩似值从大于2 的方向逼近2 时， 5 2 的近似值从大于5 2 的方向逼近 5 2 ，(如课本图所示 )所以， 5 2 是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂a p (a0, p是一个无理数) 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂 .无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和
7、过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考： 2 3 的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：arasar s (a0, rR, sR)(ar )sa rs (a0, rR, sR)(a b)rar br ( a0, rR)应用例题学生思考，口答，教师板演、通过举例例 1（ P56，例 2）求值2115；16383；25 2；()( )4.281例 2（ P56，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ a 0）a3.a ； a2 3 a2 ；a3 a .分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.131
8、7解： a3 . a a3 a 2a 2a 2 ；a2 3 a22228a2 a 3a 3a 3 ；a314412aa a 3a 3(a 3 )2a 3 .课堂练习： P59 练习第1，2，3， 4题补充练习：(2n 1 )4 ( 1 )2 n 11.计算：2的结果；4n822.若 a3 3,a10384,1求 a3 ( a10 )7 n 3的值 . a3点评例1解：22 83(23)323224 ；2 311 252(52) 22 (1 )11525；5 (1)5(21)522 1 (5)32 ；16324 (3)( )4()4813(2) 327.3 8例 2 分析：先把根式化为分数指数幂
9、，再由运算性质来运算.解： a3.a31aa 2317a2a 2 ；a2 3a2a22a 32283a 3 ；aa314aa a3a3412( a 3 ) 2a 3 .练习答案：24n42 2 n 11.解：原式 =2n2 62= 29=512；1 n 32.解：原式 = 3 (128) 7这二个例题的 解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算 能力= 3 2n 3.归纳1分数指数是根式的另一种写法.先让学生独自回忆，然后师生巩固总结2无理数指数幂表示一个确定的实数. 共同总结本节学习3 掌握好分数指数幂的运算性质，其成果，使与整数指数幂的运算性质是一致的.学生逐
10、步养成爱总结、会总结的习惯和能力课后作业： 2.1 第二课时习案学生独立完成巩固新知作业提升能力备选例题例1计算0（1） 232 2215412（ 1） (0.0001)4(27) 3【解析】12(0.01)0.5 .1(1) 1.5；(49) 2649（ 1）原式1 14491 111 1 .6101512110012127113（ 2）原式 = (0.14 )4(33) 3()2 2()2 282=0.1 132(7) 1(1)383= 109827314 .77【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的
11、.例 2化简下列各式：3738 3331531（ 1） a 2 aaaa；a41（ 2）a 38a 3 b2(1 23 b ) 3a .2a4b 323 aba 3【解析】373815331a 2 aa3 a 32 a（ 1）原式 =2a2= 3 a 273 aa 322711= a 3(a 3 ) 2(a 2 ) 3272272= a 3a 6a 3a 3 6a 3121= a 23a 6 ；1111a 3 (a8b)a 32 b3（ 2）原式 =a 3211214b 32a 3b 3a 3a 3111211211a 3 (a 32b 3 )( a 32a 3 b 34b 3 )a 31a3
12、211214b 32a 3 b343a 32b3111a 3a 3a 3a .【小结】（ 1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（ 2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解 . 如11( 2)6( 2)6 2(26)28 .（ 3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.