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1、24.1.4圆周角,圆的认识,什么样的角叫做圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角。,你能给下图中象ACB 这样的角下个定义吗？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角,特征：, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,C,C,C,C,C,C,C,C,图1,图2,图3,图4,图5,图6,图7,图8,图9,圆外角,圆内角,1、分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
2、,2、分别量出图 中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？,结论 (1)同弧所对的圆周角都相等, (2)同弧所对的圆周角是圆心角的一半,如图AB所对的圆周角有,所对的圆心角有_,ADB,ACB,AOB,为了验证这个 发现 ， 可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，,这时可能出现三种情况:,（1） 折痕是圆周角的一条边，,（2） 折痕在圆周角的内部,（3） 折痕在圆周角的外部。,证明你的猜想:,（1）圆心在BAC的一边上.,由于OA=OC,因此C=BAC,而BOC=BAC+C,所以BAC= BOC,（2）圆心在BAC的内部.,D,作直径AD.,由于BAD= BOD,1,
3、2,DAC= DOC，,1,2,所以BAD+DAC= （BOD+DOC）,1,2,即BAC= BOC,1,2,（3）圆心在BAC的外部.,D,作直径AD.,由于DAB= DOB,1,2,DAC= DOC，,1,2,所以DAC-DAB= （DOC-DOB）,1,2,即BAC= BOC,1,2,ACB= ； ADB= ； = .,如图：则有,ACB,ADB,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,思考1,思考2,如图23.1.9，,线段AB是O的直径，,点C是O上任意一点（除点A、B），,那么，,ACB就是直径AB所对的
4、圆周角.,想想看，ACB会是怎么样的角？,我们可以看到，,OAOBOC，,所以AOC、BOC都是等腰三角形，,因而,OACOCA，,OBCOCB.,又,OACOBCACB180，,所以,ACBOCAOCB,90.,如图：,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）。,反过来也是成立的，即,90的圆周角所对的弦是圆的直径。,推论2:,归纳：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角两条弧, 两条弦, 两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,归纳：,圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。,结论3:圆内接四边形对角互补,O,B,C,D,A,思考3,圆内接四边形
5、的对角有何数量关系？,例1 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB平分线交O于D，求BC、AD、BD的长四边形 ACBD的面积.,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题讲解:,例2:,已知：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：,BD=DE,证明：连结AD.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。,求证：如果三角形一边上的中
6、线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.,证明：,CO= AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB=90., ABC 为直角三角形.,例3:,练一练,1、如图，在O中，ABC=50， 则AOC等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100,D,2、如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45,B,3如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对
7、角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？,A,B,D,C,1,2,3,4,5,6,7,8,1 = 4,5 = 8,2 = 7,3 = 6,利用同弧所对的圆周角的相等练习,4.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,5.如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,(1)一个概念（圆周角）,内容小结：,(2)一个定理： 等于该 弧所对的圆心角的一半；,(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.,半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。,同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的 圆周角相等,6.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度数。,BOC =140,A=21,8.如图，在O中，AB为直径，CB = CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC,