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1、数量关系,三角形的面积=底高2 长方形的周长=（长+宽）2,梯形的面积=（上底+下底）高2 速度和相遇时间=总路程,甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程路程 华氏温度（F ）=摄氏温度(C )1.8+32,长方体和正方体,1、两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。,2、,形体相同点不同点关系,面棱顶点面的形状面的大小棱长,长方体6128一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。相对的面的面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体,正方体6128六个面都是正方形六个面的面积相等六条棱长都相等,长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。,长方体的12条棱有3组
2、，每组的四条棱长度相等。,长方体的棱长总和=长4+宽4+高4=（长+宽+高）4,长方体放桌面上，最多只能看到3个面。,3、正方体的展开,1）“141型”，中间一行4个图：作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。,2）“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。见上图,3）“222”型，两行只能有1个正方形相连。,4）“33”型，两行只能有1个正方形相连。,4、长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面三个面的面积，再乘以2，就可以求出表面积了。,长方体的表面积 = 长宽2+长高2+宽高2,=（长宽+长高+宽高）2,正方体的六个面完全
3、相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘6就可以了。,正方体的表面积 = 棱长棱长6,5、在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。,一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。,通风管顾名思义是通风用的，没有底面。所以只要算四个侧面就可以了。,（1）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；,（2）具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸等；,（3）具有四个面的长方体、正方体物品：
4、水管、烟囱等。,6、体积和容积。,（1）体积：物体所占空间的大小,（2）容积：容器所能容纳物体的体积,像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。,7、体积（容积）单位。,（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。,单位名称意义相当的实物,1立方厘米棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米约为一个手指尖的大小,1立方分米棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米约为一个粉笔盒的大小,1立方米棱长是1米的正方体，体积是1立方米用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小,体积与
5、容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升 1立方分米=1升,升和毫升之间的进率是1000，因为1升是1立方分米，1毫升是1立方厘米。升和毫升相比，升是高级单位，毫升是低级单位，把高级单位的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。,8、因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长宽高。正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长棱长棱长。因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长宽；正方体的底面积=棱长棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积高。,（1）长方体的体积=长宽高,（2）正方体的体积=棱
6、长棱长棱长,（3）长方体的体积=底面积高,9、求这根长方体木料的体积要用“底面积高”，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如图。两个面的面积和是12平方分米，一个面的面积是6平方分米。,本题求体积用的公式是“底面积高”，也可以说用的是“横截面积长”。另外对于把一个长方体截成两段，截了一次，增加了两个面，如果是截成三段，就是截了两次，增加了四个面。也就是说每截一次，增加两个面。,10、综合运用体积单位、长度单位的知识。将一个大的形体分成一个小的形体。将小正方体紧紧地排成一排，能排多少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。,棱长是1米的正方体，它的体积是1立方米，棱长是1分米
7、的正方体，它的体积是1立方分米，1立方米 = 1000立方分米，所以能分成1000个。顺次紧紧地排成一排，那么就能排成1000分米，1000分米 = 100米。,分数乘法,1、分数和整数相乘，可以表示求几个几分之几相加的和。,2、求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。,3、分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。如果整数能与分数的分母约分，要先约分，再计算。,4、在解答有关分数乘法的实际问题时要找准单位“1”的量。,数量关系式是：单位“1”分率 = 分率对应的量,5、求一个数的几分之几（几倍）是多少的分数应用题的解题思路和解答方法完全相同：用一个数乘几分之几。解题思路中
8、是把一个数看作单位“1”，这也就提示我们解答分数应用题时先要找准单位“1”。同样，我们在画线段图时，也应该先画出单位“1”的量。,在解答分数应用题的过程中，不仅仅要找准单位“1”的量，还要知道分率对应的量是什么？一般来讲，题目中分率如果是多（少）的分率，那么分率对应的量就是多的部分（少）。,6、根据“实际产量比计划节约了”，写出一个数量关系式,计划产量 = 实际产量比计划节约的产量,7、分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。,8、因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。,9、三个数
9、相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。,10、一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于这个数。,11、解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。数量关系式是：单位“1” 分率 = 分率对应的量。,12、乘积为1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。,13、1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数都大于1，自然数的倒数都是分子为1的真分数，假分数的倒数小于或等于1。,分数除法,1、分数除以整数可以
10、用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。,2、分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。,3、一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。,4、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。,5、一个数除以真分数所得的商大于这个数；一个数除以假分数，所得的商小于或等于这个数。,6、在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个数的倒数就可以了。在计算过程中除以一个数，只要转化为乘这个数的倒数，而乘一个数是不要变化的。所以，当乘、除法放在一起的时候，往往容易混肴。计算过程中一定要做好判断。,7、在解答分数除法应用题时要找准单位
11、“1”的量，而简单的分数除法应用题就是要求单位“1”的量。,8、分数除法应用题的数量关系式是：,单位“1” 分率 = 分率对应的量,在具体解答时，用方程做，设单位“1”的量为。,9、解答分数除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。,可以发现：分析的思路与乘法应用题是一致的，也是根据题里叙述的条件，明确把哪个数量看作单位“1”。但是单位“1”的数量是未知的，所以先根据一个数和分数相乘的意义列出等量关系式，然后设未知数，列出相应的方程并解答。解答应用题时最关键的就是对应用题的数量关系进行分析，而不能套用解题思路。可以进行这样的小结：当应用题中单位“1”已经知
12、道时，就用乘法解；当单位“1”不知道，要求单位“1”时，要用除法解或列方程解。,期中考试前的知识梳理,（一）数的运算：分数乘除法计算,1、分数乘法的意义与计算法则,意义：分数与整数相乘的意义既可以表示求几个几分之几相加的和是多少？又可以表,示求一个数的几分之几是多少？,例1、6 既表示 （6个相加的和是多少？）又表示（6的是多少？）,表示（的是多少？）,计算法则：分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；,分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时要先约分，再相乘。,例2、12 = =,2、分数除法的意义与计算法则,意义：已知两个因数的积，与其中的一个因
13、数，求另一个因数是多少？,例3、表示（已知两个因数的积是，与其中的一个因数是，求另一个因数是多少？）,计算法则：分数除以整数可以用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。,一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。,3、分数连乘、连除和乘除混合运算,分数连乘：先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。,连除和乘除混合运算：在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个数的倒数就可以了。,4、倒数的意义与求倒数的方
14、法,倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。,求倒数的方法：求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。,（三）解决问题,解答分数乘除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在解答时要找准单位“1”的量。数量关系式是：单位“1” 分率 = 分率对应的量。当题中单位“1”已经知道时，就用乘法解；当单位“1”不知道，要求单位“1”时，要用除法解或列方程解。,（四）认识图形,形体相同点不同点关系,面棱顶点面的形状面的大小棱长,长方体6128一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。相对的面的面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体,正方体6128六个面都是正方形六个面的
15、面积相等12条棱长都相等,（五）测量,1、体积（容积）的意义和体积单位：,体积的意义：物体所占空间的大小,容积的意义：容器所能容纳物体的体积,体积单位：立方米、立方分米、立方厘米,单位名称意义相当的实物,1立方厘米棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米约为一个手指尖的大小,1立方分米棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米约为一个粉笔盒的大小,1立方米棱长是1米的正方体，体积是1立方米用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小,体积与容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升 1立方分米=1升,2、长方体、正方体表面积和体积的意义与计算：,长方体、正方体表面积的意义与计算：,意义
16、：就是长方体、正方体六个面的总面积。,计算：长方体的表面积 = 长宽2+长高2+宽高2 =（长宽+长高+宽高）2,正方体的表面积 = 棱长棱长6,长方体、正方体体积的意义与计算：,意义：就是长方体、正方体所占空间的大小。,计算：长方体的体积=长宽高,正方体的体积=棱长棱长棱长,长方体（正方体）的体积=底面积高,六、比的意义和基本性质、按比例分配问题,1、两个数相除又叫做两个数的比。如：32也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。,2、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；同分数比较，
17、比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。,3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。,在化简过程中，如果比的前项和后项都是整数，那就同时除以它们的最大公约数；如果前项和后项是小数或是分数，先将它们同时乘一个数化成整数，再化简。要注意：最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。,4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是一个数，化简比的结果一定要是一个比。,5、把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。,比与除法、分数之
18、间有着密切的联系。但不不是说，它们之间是等同的。它们之间的区别是：比是两个量之间的关系，除法是一种运算，而分数是一个数。在理解意义的时候要注意区分。,比与除法、分数之间的联系,比（2:5）前项比号（:）后项比值,分数（）分子分数线（-）分母分数值,除法（25）被除数除号（）除数商,六、分数四则混合运算,1、分数四则混合运算运算的顺序，与我们已经学过的整数四则混合运算顺序相同。,2、整数运算定律和性质同样适用于分数四则混合运算。,分数四则混合运算的顺序，与我们已经学过的整数四则混合运算的顺序相同。在计算过程中，能简便计算的要简便计算。前一题按照四则运算的计算顺序进行计算。先算小括号里面的，最后算
19、除法；后一题先算乘法，一个数连续减去两个数等于减去这两个数的和。,计算的过程中只要按照计算顺序认真计算就可以了。要注意在计算的过程中，分数加、减法和分数乘除法差异较大，必须分清什么时候需要通分，什么时候需要直接约分。,3、比一个数的几分之几多（少）几，有时列方程解，有时用算术方法解；如果单位“1”已经知道，就用算术方法，如果单位“1”不知道，就设单位“1”为，列方程解。,4、这一类应用题比基本的求一个数的几分之几是多少的应用题的数量关系稍复杂一些，题目中所求的数量不是已知的几分之几所表示的数量，而是与这个数量有关的另一个数量。,5、解答这一类题目的关键还是要先弄清把哪个数量看作单位“1”，先求
20、出这个数量的几分之几是多少，再根据整数加、减法应用题的数量关系求出题目中要求的数量。,稍复杂的分数乘法应用题比简单的分数乘法应用题多了一步，分析题目的条件和问题，会发现，其实题目中的分率和所求的问题不是相对应的，这就是步数多一步的原因。在解答时，可以求出分率对应的量，再求问题；也可以先求出问题所对应的分率，再用单位“1” 分率 = 所求的量。,七、八、解决问题的策略，可能性,1、有些应用题涉及两三种物品的数量计算，解答这种应用题，可根据它们的组合关系，用一种物品替换另外的物品，使数量关系单一化，这样的思考方法，通常叫做替换法（也叫代替法）。,2、假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想
21、，然后按已知条件进行推算，再根据数量上的矛盾作出适当的调整，得出正确答案。,3、一共有几种并列的情况可能发生，其中一种发生的可能性就是几分之一。,4、在有几种不同的数量组成的一种整体中，其中的一种发生的可能性是这种情况的数量占总数量的几分之几。,九、百分数的意义和读写、百分数与小数、分数的互化,1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分率或百分比。,2、百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上“”来表示。,3、百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，而不能表示具体的量，也就是说百分数后面不能加单位。,4、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面
22、添上百分号。,5、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，一般保留三位小数），再把小数化成百分数。,6、百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。,7、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。,百分数和分数之间有联系，但也有明显的区别。百分数只表示两个数量之间的关系，不表示一个数量的值。分数既可以表示两个数量之间的关系，也可以表示一个数量的值。,分母是100的分数可以有两种意义：一种是一个数量的值，一种是两个数量之间的关系。其中只有表示两个数量之间的关系时才是百分数。如果表示一个数量的值时，这个分母是100的分数就不是百分数了。,百分数的分母
23、确实是100，但这和分母是100的分数还是有所区别的。前面一种说法是在描述百分数分母的特点，而后一种说法则是在说百分数的意义。比如说和吨，它们都是分母是100的分数，但吨却不是百分数。,1、一个数是另一个数的百分之几，直接用一个数除以另一个数。,2、生活中常见的一些百分率的计算方法；,合格率 = 100 种子的发芽率 = 100,小麦的出粉率 = 100 职工的出勤率 = 100,分数乘法应用题中的最基本的数量关系式：单位“1”分率 = 分率对应的量，如果和百分数应用题结合起来，求一种量是另一种量的百分之几，实际上就是求分率。它的解题思路与分数乘法应用题一样，区别在于结果要用百分数表示,除法被
24、除数除号（）除数商,分数分子分数线（）分母分数大小,比前项比号（:）后项比值,（1）分数乘法算式意义：,分数与整数相乘的意义既可以表示求几个几分之几相加的和是多少？又可以表示求一个数的几分之几是多少？ 16表示（ 16个是多少？或 16的是多少？ ）,分数与分数相乘的意义是求一个数的几分之几是多少？表示（ 的是多少？）,（2）分数除法算式的意义：,表示已知两个因数的积，与其中的一个因数，求另一个因数是多少？表示（已知两个因数的积是，与其中的一个因数是，求另一个因数是多少？ ）,（3）分数乘、除法的计算法则：,分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；,分数和分数相乘，用分子相
25、乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时要先约分，再相乘。,甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。,分数连乘、连除和乘除混合运算：为了简便，分数连乘时可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个数的倒数就可以了。,（4）倒数的意义，比的意义及化简比,倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。,求倒数的方法：求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。,比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 5 3 = （ ）: （ ）,比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。,化
26、简比：比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。,求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是一个数，化简比的结果一定要是一个比。,3、百分数的意义以及百分数和小数、分数的互化。,（1）百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分率或百分比。百分数只表示两个量的倍数关系，不表示具体数量，百分数后面不能带单位。,30 读作 百分之三十 百分之四十二点五 写作 42.5,1、长方体和正方体的特征。,形体相同点不同点关系,面棱顶点面的形状面的大小
27、棱长,长方体6128一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。相对的面的面积相等平行的四条棱长度,相等正方体是特殊,的长,方体,正方体6128六个面都是正方,形六个面的面,积相等12条棱长都相等,2、体积（容积）及其常用计量单位的意义。,（1）体积：物体所占空间的大小,（2）容积：容器所能容纳物体的体积,（3）体积（容积）单位。,棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米，棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米，棱长是1米的正方体，体积是1立方米。,体积与容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升 1立方分米=1升,3、长方体和正方体的体积和表面积的计算方法。,长方体的表面积=（长宽 + 宽高 + 长高）2,正方体的表面积= 棱长棱长6,长方体的体积= 长宽高,正方体的体积= 棱长棱长棱长 长（正）方体的体积= 底面积高,