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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 黄海学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 于才华 2. 刘扬 3. 王晓龙 4. 郭彩霞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 戴琳琳 薛靖峰 日期： 2011 年 8月 30 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 饮料罐（即易拉罐）在我们生活中随处可见，饮料的
3、生产过程中需要大量的易拉罐。本文研究的是易拉罐的形状和尺寸最优设计问题，在生产大量易拉罐时，可以节省易拉罐的制作材料和生产费用。 问题一，我们利用千分尺测量了一个355毫升可口可乐饮料的易拉罐各部位，列出了有关的数据表格。 问题二，我们在已知假定易拉罐是一个正圆柱体时，针对材料最省的标准，在不考虑易拉罐的盖部圆台和底部圆台的高度画出了简单的平面图。利用问题一的数据：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍,建立体积的目标函数，得出高是半径的4倍是易拉罐的最优设计。我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐形状和尺寸。 问题三，结合问题一、二，已经给出易拉罐的中心纵断面：上面部分是一个正圆台，下
4、面部分是一个正圆柱体，假定圆台和圆柱的厚度不同，列出了材料最节约目标函数，利用了非线性规划方法和LINGO软件求得最优解。问题四，我们考虑到易拉罐的材料、安全、成本问题等方面，设计了我们自己的易拉罐的形状。关键词：易拉罐 最优设计 不等式 最小值 数学模型一、问题的重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就
5、请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4 利用你
6、们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、模型假设 1.假设易拉罐的制作材料都是相同的；2.假设罐体不受温度的影响而发生变化；3.忽略气体压强对造型设计的影响；4.假设实测数据的误差对验证过程不影响；5.忽略易拉罐接缝材料重叠部分的影响。三、符号说明 ：易拉罐的容积：易拉罐材料体积：罐体底面半径：罐体圆台上表面半径：易拉罐体总高度：圆台高度：圆柱体高度：罐体上表面的厚度：罐体下表面的厚度：罐体
7、厚度四问题分析对于问题一，引出355毫升的可口可乐饮料罐，要求我们测量它的各个部分的数据，我们首先考虑到它的形状，从而去建立数据表。对于问题二，已经假设易拉罐是个正圆柱体，要求我们去证明它是最有设计，我们首先考虑到去画图分析易拉罐的形状和需要测量的部分的数据。计算易拉罐在什么清下最省，也就是考虑到高与半径之比。对于问题三，根据易拉罐的中心纵断面，我们应该考虑到易拉罐的表面积或体积，建立数学模型证明它是最优解。对于问题四，是叫我们发挥我们的想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计，理想的饮料灌装容器应以下作用考虑：从保护产品、使用方便、降低成本、便于运输等方面考虑。对于问题五，结合以前学习和实
8、践写一篇论文，跟我们做本文思路类似。五、模型建立与求解问题一 测量模型所需的数据我们利用千分尺去测得一容积为355 ml可口可乐饮料的易拉罐各部位的数据为：符号含义实测值（单位：mm）易拉罐的主身的半径31.39 易拉罐的盖部的半径27.2易拉罐的底部的半径24.06整个易拉罐的高度118.90易拉罐的圆柱部分的高度102.35易拉罐盖部圆台的高6.80罐侧壁的厚度0.12罐盖的厚度0.30罐底的厚度0.23问题二 设易拉罐是一个正圆柱体时的最优设计假设罐体是一个规格的圆柱体，我们得到 由于易拉罐上低和下底的强度必须要大一点（经千分卡尺的实际测量结果为：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍），因而在制
9、造中，上、下底的厚度为罐的其他部分厚度的2倍，即。根据问题一测量得到的厚度数据，我们建立如下模型：罐体用材总体积 得 带人得由不等式可得: 当且仅当时取得最小值 即总罐高应为半径的4倍，这是易拉罐的最优设计。这与千分尺所测量几乎一致。这一结果同时也验证了我们所测量的易拉罐高度与半径尺寸设计的合理性。 问题三 罐体为正圆台与圆柱组合的最优模型根据问题一、问题二进一步考虑，假设易拉罐上部为正圆台下部为圆柱体。如图2圆柱体体积表示为圆台体积表示为从而得到罐体总体积为要求易拉罐体积一定时用料最少，且高度与半径比为4:1，在此情况下还应满足厚度为则制罐用材总体积建立以下数学模型 利用LONGO数学软件（
10、另见附页一）得出问题四 易拉罐的最优设计 我们考虑到所设计的易拉罐在以节省材料的前提下保证运输方便、安全、和美学等的合理程度，受到隧道拱形结构的提示（如图3）设计出一下罐体简化示意图（图4）此拱形结构可使的罐壁两侧材料相对薄从而节省出出少许材料，将省出的材料用于上盖和底面的容积扩充，从而保证355ml的容量。同时拱形结构也保证了罐体在1.5-2pa气体压强的情况下的结构稳定性。且此设计也便于叠放、码堆等各种运输。此方案的设计与常规直体易拉罐相比更符合人体力学的要求，方便各年龄段人员的拿放使用。且更安全，外形大胆创新，有更好的创造性。六、模型的评价与推广模型的评价：1. 最大限度的节约了罐体的材
11、料和生产成本。2. 易拉罐最优设计的模型简单明了，易于理解。3. 模型的基本思路比较清晰。4. 使用LINGO，使得计算更加精确。5. 设计创新。模型的推广：1.本文考虑的是易拉罐的的形状和尺寸的最优设计问题，我们建立的数学模型可以推广到油罐的设计用于运输问题和食品罐存储的相关领域，从而节省生产成本和提高经济效益。2.新罐体的设计运用到日常生活中会取得人们的新奇，在成本不增长的情况下提高产品的销售。七模型的改进1. 我们建立的模型都是考虑在易拉罐各部分的材料相同和简化了模型的计算，细节方面有待提高。2. 易拉罐的设计运用到了力学、美学和材料等知识，单单凭借数学计算还是很片面的，我们还应联系实际
12、工作经验做出最完美的结果。3. 我们建立的模型都是考虑在易拉罐各部分的材料相同。4. 设计出的新罐体没有数据的支持，还应进行数学运算并考虑到日常生产等方面是否合理。八建模感想数学模型(Mathematical Model)是通过利用数学符号来解决一些实际问题，需要对问题做出分析与假设并列出相关数据，运用数学工具MATLAB软件计算以得出相关结论并验证结论的正确性的过程，达到解决实际问题的目的。而数学模型是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。根据以前学习和实践数学建模的亲身体验，我们组把数学建模基本步骤可以归纳为以下： 1
13、了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题. 2.要把实际问题“翻译”成数学问题开始进行分析。 3.需要观察实际生活当中细节，像此题中的易拉罐模型是对易拉罐进行了观察，并上网搜集相关数据进行整理。 4.对某些实际问题进行简化，抽象并做出假设。像此题中我们对易拉罐简化成圆柱体进行求解。 5.针对具体题目设出相关变量及参数，并对其做出合理详细的解释。 6.确定相关变量和参数之间的数学关系，深一步研究数学模型使其得到更加广泛的应用。 7.根据所建立的数学模型，运用数学工具例如（MATLAB）进行相关计算。 8.在得出计算结果后，可能会存在一定的误差，需要还原到实际问
14、题进行深一步验证与分析，得出结论。在模型建立过程中，我们发现存在着三个难点：1.怎样由实际问题到抽象之间的转换，同时要考虑对问题进行假设和分析;2.采用哪种数学方法和工具建立模型，设立相关数据变量及参数使模型简单具体化；3.怎样验证数学模型是否合理。参考文献【1】千分尺的使用，http:/ Local optimal solution found. Objective value: 4159.158 Extended solver steps: 4 Total solver iterations: 199 Variable Value Reduced Cost PI 3.141500 0.00
15、0000 B 0.1200000 0.000000 V 355000.0 0.000000 R1 29.72515 0.000000 R 30.59339 0.000000 H1 0.4354140 0.000000 H 120.7481 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -437.4479 2 0.000000 -34659.65 3 0.000000 -0.7844832E-02 4 4159.158 -1.000000 5 0.000000 -0.2614944E-02 6 120.3126 0.000000 7 0.8682421 0.000000