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1、全国高中数学竞赛专题 - 不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质 ： abab0, abab0. 这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（ 1） abba （对称性）（ 2） abacbc （加法保序性）（ 3） a b, c 0acbc; ab, c 0ac bc.（ 4） a b 0a nbn , n an b(n N *).对两个以上不等式进行运算的性质.（ 1） a b, b cac （传递性） .这是放缩法的依据 .（ 2） a b, c da c b d .（
2、 3） a b, c da c b d.（ 4） a b 0, dc0,ab , adbc.cd含绝对值不等式的性质：（ 1） | x | a(a0)x2a2a x a.（ 2） | x |a(a0)（ 3） | a | b | | a（ 4） | a1a2x2a2b | | a |an | | a1 |xa或 xa.| b |（三角不等式）.| a2 | an | .证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题
3、时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。1比较法（ 比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（ 1）差值比较法（原理：A B 0A B）例 1设 a, b, cR+，试证：对任意实数 x, y, z,有 x2+y 2+z22( aabca)ab xyb c yzca xz .b)(bc)(ccab证明：左边 -右边 = x 2+y2+z22(baba)xy 2(abcyz2caxzc)(cb)(ca)(
4、ab)(bc)bx22(baba)xyay2cy22bca)yzbz2bcc)(ccaca(ab)(cababz22caxzcx2a( ab)(bc)bcb xa2cb z2ac2yyzx0.b cc ac aa ba bb c所以左边 右边，不等式成立。（2）商值比较法（原理：若1，且 B0，则 AB。）例 2若 axlog (1-x) (1-x)=1x) |1x（因为 01-x 21-x0, 01-x|log a(1-x)|.2分析法（ 即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证 ，只需证 。）例 3已知 a, b, cR + ，求证： a+b+c-3
5、3abc a+b 2ab .证明：要证 a+b+c33ca b a+b2ab.只需证 c2 ab33 abc ，因为 c 2abcabab33 ca b33abc ，所以原不等式成立。例 4已知实数 a, b, c 满足 0abc1，求证：2c)11.2c(1a(1 b)b(1a)证明：因为 00，求证： abc(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。证明 : (a+b -c)+(b+c-a)=2b 0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a0,a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.(1)当 a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且
6、仅有一个数为非正时, 原不等式显然成立 .(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时 , 则 a b c b ca b cb caab2同理abcacba,bcaacbc,三式相乘得 abc(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)例 6 已知 ABC的外接圆半径R=1， SABC=，a,b,c是 ABC的三边长，令 S=，t=。求证： tS 。解：由三角形面积公式: 1 bcsin A .正弦定理：a/sinA=2R.可得 abc=1.2所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c均大于0。所以2t=2abc +2bac+2cab =2aabc +2babc +2cabc =2
7、(a +b +c )=2s.所以ts 。4反证法例 7 设实数 a0, a1, ,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, , an-2-2an-1+an0，求证 ak0(k=1, 2, , n-1).证明：假设 ak(k=1, 2, ,n-1) 中至少有一个正数， 不妨设 ar 是 a1, a2, , an-1 中第一个出现的正数， 则 a10, a2 0, , ar-10, ar0. 于是 ar-ar-10，依题设 ak+1 -akak-ak-1 (k=1, 2, , n-1)。所以从 k=r 起有 an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10.
8、因为 anak-1 ar+1ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。5数学归纳法例 8 对任意正整数 n(3)，求证： nn+1(n+1) n.证明： 1）当 n=3 时，因为34=8164=4 3，所以命题成立。2）设 n=k 时有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证 (k+1)k+2(k+2)k+1，即(k1) k 21.(k2) k 1因为kk 11 ，所以只需证( k1) k 2k k 1，(k 1) k(k2) k 1(k 1)k即证 (k+1) 2k+2 k(k+2) k+1 ，只需证 (k+1) 2k(k+2) ，即证 k2+2k+1k 2+2k. 显然成立。所以
9、由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例 9已知 x, y, z R+ ，求证： x2y 2y 2z2z2x 20.yzzxxy证明：不妨设 xy, x z.） xyz，则11z1z， x2y2z2 ，由排序原理可得xyxyx2y2z2y 2z2x2y z z x x yy z，原不等式成立。z x x y） xzy，则11y1z， x2z2y2 ，由排序原理可得xzxyx 2y 2z 2y 2z2x2，原不等式成立。y z z x x yy z z x x y7.放缩法（ 即要证 AB ，可证 AC 1, C1C2, ,Cn-1Cn, CnB(n N +).）例 10已知 a, b, c 是
10、 ABC 的三条边长， m0，求证：abc.ambmcm证明：ababab1mmca b m1c ma m b m a b m a b m a b mc m（因为 a+bc），得证。8.引入参变量法a33例 11已知 x, y R +, l, a, b 为待定正数，求f(x, y)=b的最小值。x2y2解：设 yk ，则 xlk, ykl， f(x,y)=(1 k )2a 3b3x11kl 2k 21a3b3a33k b313 1313k213322(a b)3l2k ak2bkbkal2(a +b+3a b+3ab )=l2，等号当且仅当 ab 时成立。所以 f(x, y) min= (ab
11、)3.xyl 2例 12 设 x1x2x3x42, x2+x 3+x 4x1，求证： (x1+x 2+x 3+x 4) 24x1x2x3x4.证明：设 x12 341k1, x3x44，=k(x +x+x )，依题设有3k) 2原不等式等价于 (1+k) 2(x2+x 3+x 4 )24kx 2x3x4(x2+x 3+x 4)，即 (1(x2+x 3+x 4) x2x3 x4 ，4k因为 f(k)=k+1 在1 ,1 上递减，k3所以(1k) 2(x2+x 3+x 4)=4k所以原不等式成立。9.局部不等式113122) (x2+x 3+x 4)3 3x2=4x2x2x3 x4.(kk44例
12、13已知 x, y, z R+，且 x2+y 2+z2=1，求证：x1y1z3 3 .1x2y 2z22证明：先证1x33 x2 .x2211232因为 x(1-x 2)=2x 2 (1x2 ) 23,2233所以1xx 2x 2 )x 23 3 x 2 .x2x(12233同理1y3 3 y 2 ，z3 3 z2 ，y 221z22所以xyz3 3 (x 2y 2z2 )3 3 .1 x 21 y 21 z222例 14已知 0a, b, c1，求证：abc2。bc1ca1ab1a2a证明：先证.bc1abc即 a+b+c2bc+2.即证 (b-1)(c-1)+1+bc a.因为 0a, b
13、, c1，所以式成立。b2bc2c同理,.ca 1a b c ab 1a b c三个不等式相加即得原不等式成立。10.利用函数的思想例 15已知非负实数111的最小值。a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)=b c caa b解：当 a, b, c 中有一个为 0，另两个为 1时， f(a, b, c)=5 ，以下证明 f(a, b, c)5.22不妨设 abc，则 0c 3, f(a, b, c)=2c1ab1.3c2c21ab( a b)2+(a+b)c ，因为 1=(a+b)c+ab 4解关于 a+b 的不等式得 a+b2( c 21 -c).考虑函数 g(
14、t)=t1, g(t) 在 c 21,）上单调递增。c 21t又因为 0c3 ，所以 3c21.3所以 f(a, b, c)=2cab21c21c22所以2 (c21c) c21.所以 c+a4c .12c2(c 21c)12c22( c 2a b c111 c)=2cc21c1c 21c 2= 21c 21c 3 c 21c21224c3c21225 3(1c2 1)c .222下证 3(1 c21) c 0 3 c3 c 21c2+6c+9 9c2+9c 3c 0c3 .4433，所以式成立。所以55因为 c4f(a, b, c) ，所以 f(a, b, c) min= .32211. 构
15、造法例16证明：。提示：构造出（ x， 0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。12.运用著名不等式（ 1）平均值不等式：设 a1, a2, ,an R+，记 H n=n1, Gn= n a1 a2an , A n= a1a2an ,11na1a2anQna12a22an2则 HnGnA nQn. 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均。n其中等号成立的条件均为 a1=a2= =an.当 n=2 时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得A nQn，再由 GnA n 可
16、得 HnGn，以下仅证 GnA n.1）当 n=2 时，显然成立；2）设 n=k 时有 GkA k ，当 n=k+1 时，记 1 k a1 a2ak ak 1=G k+1 .因为 a1+a2+ +ak +ak+1+(k-1)G k+1k k a1 a2akk k ak1 G kk112kk 12 k2 ka1a2 ak 1 Gk 12kGk 12kGk+1 ,2k所以 a1+a2+ak+1 (k+1)G k+1，即 A k+1 Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。例 17利用基本不等式证明a2b2c2abbcca.【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的
17、方法 .【略解】 a 2b22ab,同理 b2c32bc, c 2a22ca ；三式相加再除以2即得证 .【评述】（ 1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如 x12x22xn2x1x2xn ，可在不等式两边同时加上x2 x3xn x1 .x2x3x1再如证 (a1)(b1)(a) 3 (bc)3256a2b2c3 (,c0)时，可连续使用基本不等式 .cab（ 2）基本不等式有各种变式如 ( ab) 2a 22b 2等 .但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左2右两边次数均为2，系数和为 1.例 18已知 a b1, a, b0, 求证： a4b
18、41 .81 ，如何也转化为 a 、 b 的 4 次式呢 .【思路分析】不等式左边是a 、 b 的 4次式，右边为常数1 , 即证 a4b 418【略解】要证 a 4b 4(ab) 4 .88（ 2）柯西（ Cavchy ）不等式：设 a1 、 a2 、 a3 ， ， an 是任意实数，则(a ba ba b )2(a2a2a2 )(b2b 2b2 ).1 12 2n n12n12n等号当且仅当bikai ( k 为常数， i1,2, n) 时成立 .证明：不妨设 ai (i1,2, n) 不全为0， bi 也不全为0（因为 ai 或 bi 全为 0时，不等式显然成立） .记 A=a12a22
19、an2，B=b12b22bn2.且令 xiai, yibi (i 1,2, n),AB则 x12x22xn21, y12y22yn21. 原不等式化为x1 y1x2 y2xn yn1.即 2( x1 y1x2 y2xn yn )x12x22xn2y12y22yn2 .它等价于 ( x1 y1 ) 2(x2y2 ) 2( xnyn ) 20.其中等号成立的充要条件是xiyi (i 1,2, n).从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是bikai(kA).nB)2变式 1：若 ai R , bi R, i=1, 2, n，则 (nai2)( i n1ai.等号成立条件为 ai =bi,(i=1,
20、 2, n)。i1bi(bi) 2i1n, n)，则 nai(ai ) 2变式 2：设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2,i1. 等号成立当且仅当 b1 2ni1bin=b= =b .ai bii1例 19设 x1 , x2 , xnx12x22xn2 1xn2x1x2xn .R ，求证：x3xnx1x2【思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 x1 , x2 , xn0 ，故由柯西不等式，得(x2x3xnx1 )( x12x22xn2 1xn2 )x2x3xnx1( x2x1x3x2xnxn 1
21、x1xn ) 2(x1x2xn 1xn )2 ，x2x3xnx1x12x22xn2 1xn2x1x2xn .x2x3xnx1【评述】 这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、 比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.（ 3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组a1a2an 及 b1b2bn .则 a1b1a2b2anbn （同序和）a1bj 1a2b j 2anb jn （乱序和）a1 bna2 bn 1anb1 （逆序和）其中 j1 , j 2 , j n 是 1， 2， ， n 的任一排列 .当且仅当 a1a2an 或 b1b2bn 时等号（对任一排列j1 , j 2 , j n ）成立 .证明：不妨设在乱序和S 中 jnn 时（若 jnn ，则考虑 j n 1 ），且在和 S 中含有项 akbn (k n),则 akbn an b jnanb jnanbn .事实上，左右