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1、第七章 习题答案7.1-1将Helmholtz方程在柱坐标系中分离变量。解：设代入上面的方程有:两边同时除以，并移项得：上式左边与无关，右边与无关，令左右两边都等于,即：右边为： 而左边有：两边同时除以，并移项得: 和： Helmholtz方程在柱坐标系下可分解为三个常微分方程。7.1-2 将三维热传导方程在球坐标系中分离变量。解: 在球坐标系中的表示式为: 设，代入上述方程有:方程两边同时除以并移项有:左右两边互不相关但相等，只能为常数，设为。有:对方程，设，代入有:对方程，设，代入有:移项并乘以有：上式可分解为：变形为：这样，原方程分解为四个常微分方程。7.2-1 求Hermite方程在领
2、域内的解解：因为，所以为方程的常点。 故在领域内方程有形如的解。 将的展开式代人Hermite方程有：整理得：所以有：得到：收敛半径 前几项： ik，即：其中：7.2-2 判断是下列方程的常点还是奇点，根据这一判断，写出解应有的形式，并用幂级数解法，求其不含对数项的解。（1）拉盖尔（Laguerre）方程解：将方程化为标准形式：，则，所以，为，的一阶极点，则为方程的正则奇点。原方程有如下形式的解：则： 将代入原方程有：整理并消除后可得：所以：而判定方程为的最低次幂项（项）的系数所确定的方程，为：于是，系数之间的递推关系为：收敛半径所以：，故一个特解为：7.2-2（2）退化超几何方程。（不等于整
3、数或零）解：将方程化为标准形式：，则，为，的一阶极点，所以为原方程的正则奇点。设则： 将代入原方程有：整理并消除后可得：而判定方程为的最低次幂项（项）的系数所确定的方程，为而系数之间的递推关系为：则有：收敛半径因为不等于整数或零，所以不为整数或零，则方程有两个线性无关的特解，下面分别求出时：， 时， 所以可得到该方程的两个线性无关的特解：（令）另解的其他形式（用函数表示） 7.2-2（3）虚余量贝塞尔方程解：将Bessel方程化为标准形式则为的一阶级点，为的二阶级点。故为原方程的正则奇点，有如下形式的特解设：，将代入原方程有：整理并消除，化简有：判定方程由的系数确定：间的递推公式为或收敛半径
4、的系数为所以：而时所以：若令，则有： 称为虚宗量（或变形）的贝塞尔函数，且。同理可得当时，有7.2-2（4），求邻域内的解。解：将方程化为标准形式，所以，而为的解析点，所以为方程的常点。设方程在邻域内的解为：则： 将代入原方程有：整理得：所以有：得到：收敛半径 前几项：为任意值，所以：， 所以： 或者用表示，其中7.2-3 求勒让德（Legendre）方程在的邻域上的解。解：将方程化为标准形式，所以，而为的一阶极点，所以为方程的正则奇点。设方程在邻域内的解为： 而将在邻域内的展开式代入原方程有：整理，化简有：判定方程由的系数来决定，即：所以递推关系为：当时，得到：或者：收敛半径为：所以：令，则
5、有所以： 7.2-4 在的邻域上求解方程，其中为任意常数。解：易知为方程的正则奇点，设其正则特解形式为：所以： 将代入方程有：整理并消除后可得：判定方程为：，得到且系数间的递推关系为：所以：收敛半径为：，所以得到：时， ， 7.3-2 求本征函数系的归一化因子。解：所以：，归一化因子为即有：7.3-4设有一均匀细杆，侧面是绝热的，两端点的坐标为和，在处温度为，而在另一端处，杆的热量自由散发到周围是的介质中去，即：，已知初始温度分布为，求杆上温度变化的规律。解：热传导方程：初始条件：边界条件： 将方程分离变量，设，代入热传导方程和边界条件有：和，这样得到：，下面求解本征值问题。设，将边界条件代入有： 所以：而 此方程决定本征值。本征函数：对于 代入初始条件： 下面求故，其中