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1、第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义形如 A （ A、B 为整式），其中 B 中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。二、分式的性质（1）分式的基本性质：A A M A M （其中 M是不为零的整式）。BBMBM（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。（3）倒数的性质：1、 a 11 a0 ， a11 a0 ；aa11n2、若 a1，则 a n1（ a0， n 是整数）；aa12 a0 。3、 aa三、分式的运算分式的运算法则有：abab acadbc；ccc，dbdbacacacadn
2、anabd，dbc，n （ n 是正整数）。bdbbb四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形） ，因式分解法，分组通分法和换元法等。【例题精讲】【例 1】（ 1）当 m_时，分式m1 m3 的值为零；m23m2（2）要使分式1有意义，则 x 的取值范围是 _。1xx思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。【巩固】、若分式3x212的值为，则 x 的值为；1x24x40_a242、若使分式 113a 没有意义，则 a 的值为 _；2a【拓展】当 x 取何值时，分式
3、x 2有意义？25 x 6x【例 2】化简下列分式：（1）2x1x 2（2）11248x24 x 2 x 1x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1（3） 1111。x 1x 1 x 2x 2 x 3x 99 x100【巩固】化简：nmm2n 2（1）12nm24mn 4n 2m（2）111；23a 2 a25a 6 a27aa12【例 3】已知 2xy 0 ， Ax ， Bx1 ，试比较 A 与 B 的大小；yy2【巩固】比较两数5678901234 与 5678901235 的大小。67890123456789012347【例 4】化简：y z 2z x 2x y2x y x zy x
4、 y z。z x z y【巩固】化简：y x z xz y x yx zyzx 2y z x y 2zx y 2z y z 2 xy z 2xx2y z第二讲：分式的化简求值【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略：（1）适当引入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等。2、基本思路（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒
5、等变形推到另一边；（2） 两边同时变形为同一代数式；左边（3） 证明： 左边右边0，或1，此时 右边0。右边3、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例 1】（ 1）已知 x 2 y0 ，求 x23xyy2_；2x2xy3y2（2）已知 115 ，则 2 x5xy2 y_；xyx2xyy（3）若 abc ，则 3a2bc_；345a2b3c【例 2】若 xa bb cc a ，求 x 的值？cab【例 3】已知 abc0 ，且 abc ，求 3a2bc 的值？bcaa2b3c【
6、巩固】若 abcd ，则 abcd 的值是 _；bcdaabcd【例 】已知： x 2x1 0，求 x41的值。4x4【巩固】（1）已知 a23a 1 0 ，则代数式a3的值为 _；a61（2）若 x2x 1 0 ，则 x42 x 1_；x5【例5】已知a、b、 c 为实数，且ab1 ，bc1 ，ca1 ，那么abc的值是多少？ab3bc4ca5abbcca【例 6】已知 abc1，求证：abc。1ab a 1 bc b 1 ac c 1 思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】已知： abc0， abc0 ，求 a(11) b(11) c(11) 3的值。bcc aab【例 7】已知 a11， b11，求 c1 的值。bca【例 8】已知 xab ，ybc ，zca ，求证： 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 。abbcca思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。【巩固】已知 ac3 ，求证： a 2c2b2d 2ab 2cd 2。bdacbdabcd