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1、第二学期八年级数学竞赛试题卷一、选择题（ 6 4 =24）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。1、已知 m 12 ， n1 2，则代数式m2n23mn 的值为（）A.9B.3C.3D. 5、已知关于x 的方程(a1)x2 x有实数根 , 则a 的取值范围是22 +1=0( )A.a2B,aC.a2且 a1D.a 2 1000 1000 以内有 5 个“智慧数”，分别是 1,25,121,361,841 。（3） 是设这个智慧数是 n(n + 1)(n + 2)( n + 3) + 1， n( n+ 1)(n + 2)( n + 3) + 1= n
2、(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1= ( n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1= ( n2 + 3n + 1)2智慧数是平方数。（4）是设连续两个智慧数分别为(n2 + 3n + 1)2 ， ( n + 1)2 + 3(n+ 1) + 12 ( n + 1)2 + 3(n + 1) + 12 = (n2 + 5n + 5)2 (n2 + 3n + 1)2 ?(n25n + 5) 2= ( n2 + 3n + 1)?(n25n + 5) 2= (n4 + 8n3 + 21n2 + 20n + 5) 2= ( n2 + 4n + 1)2 + 3(n2 + 4n +
3、1) + 12连续两个“智慧数”的积是“智慧数”。18、（ 12）解：（ 1） 27 条对角线， 84 个三角形。（2）设 A 为一个顶点，即含点 A 的三角形共有 28 个，即每个顶点均在28 个三角形中。当把所有 84 个三角形顶点所标自然数都相加后（记和为S），每个顶点上的数均加了 28 次，故 S 为偶数。若奇三角形的个数为奇数，则它们顶点所标自然数总和s1 为奇数，而偶三角形顶点所标自然数总和s 必为偶数，又=s + s =奇数，矛盾，故奇三角形的个数必为偶数。2S 1 219、（ 12）解：在 RtABC中， AB 23 ， BAC30， BC3 ，AC3（1）如图（ 1），作 D
4、F AC， RtACD中， ADCD， DFAFCF 3 2BP平分 ABC， PBC， CP ， PF 1， DPPF2DF21030122DDCCPFFPABAB(1)(2)(第 19 题)（3） 当 P 点位置如图（ 2）所示时，根据（ 1）中结论， DF 3 ， ADF45， 2又 PDBC 3 ， DF 3 ， PDF 30PD2 PDA ADF PDF15当 P 点位置如图（ 3）所示时，同（ 2）可得 PDF 30 PDA ADF PDF75DDCCQPFPABAB(4)(3)(第 19题)（ 3）CP 3 2在DPBQ中， BCDP， ACB90， DP AC根据（ 1）中结论可知， DPCP 3 ， S DPBQ DP CP 9 2420、（ 12）解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。