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1、初中奥数题试题一一、选择题（每题1 分，共 10 分）1如果 a，b 都代表有理数，并且ab=0，那么 ( )Aa，b 都是 0Ba，b 之一是 0Ca，b 互为相反数Da，b 互为倒数答案： C解析： 令 a=2 ， b= 2，满足 2+( 2)=0 ，由此 a、 b 互为相反数。2下面的说法中正确的是( )A单项式与单项式的和是单项式B单项式与单项式的和是多项式C多项式与多项式的和是多项式D整式与整式的和是整式答案： D解析： x2， x3 都是单项式两个单项式x3 ， x2之和为 x3+x 2是多项式，排除 A 。两个单项2B 。两个多项式 x3+x2 与 x3 x2 之和为 2x3 是
2、个单式 x ， 2x 2 之和为 3x 2 是单项式，排除项式，排除 C ，因此选 D。3下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B没有最小的正有理数C没有最大的负整数D没有最大的非负数答案： C解析： 最大的负整数是-1 ，故 C 错误。4如果 a，b 代表有理数，并且ab 的值大于 ab 的值，那么 ( )Aa，b 同号Ba，b 异号Ca0Db0答案： D5大于 并且不是自然数的整数有( )A2 个B3 个C4 个D无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在右边 0 的左边（包括0 在内）的整数只有3， 2，1，0 共 4 个选 C。6有四种说法：甲正数的平方不一定大于它本身；乙正
3、数的立方不一定大于它本身；丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A0 个B1 个C2 个D3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。7a 代表有理数，那么， a 和 a 的大小关系是 ( )Aa 大于 aBa 小于 aCa 大于 a 或 a 小于 aDa 不一定大于 a答案： D解析： 令 a=0 ，马上可以排除A 、B 、 C，应选 D 。8在解方程的过程中， 为了使得到的方程和原方程同解， 可以在原方程的两边 ( )A乘以同一个数B乘以同一个整式C加上同一个代数式D都加上1答案： D解析：对方程同解变
4、形，要求方程两边同乘不等于0 的数，所以排除A。我们考察方程x2=0 ，易知其根为x=2 若该方程两边同乘以一个整式x 1，得 (x 1)(x 2)=0 ，其根为 x=1 及 x=2 ，不与原方程同解，排除B 。同理应排除C事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1 ，因此选D9杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A一样多B多了C少了D多少都可能答案： C解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a(110%)=0.9a ；第三天杯中水量为 (0.9a)
5、 (1+10%)=0.9 1.1 a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.99 1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选 C。10轮船往返于一条河的两码头之间， 如果船本身在静水中的速度是固定的， 那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将 ( )A增多B减少C不变 D增多、减少都有可能答案： A二、填空题（每题1 分，共 10 分）1198919902 198919892=_。答案： 19891990 2 19891989 2=(19891990+19891989) (19891990 19891989)=(19891990+19891989) 1=39783979
6、。解析：利用公式a2-b2= （a+b ） (a-b) 计算。21234+56+78+4999 5000=_。答案： 1 2+3 4+5 6+7 8+4999 5000=(1 2)+(3 4)+(5 6)+(7 8)+(4999 5000)= 2500 。解析：本题运用了运算当中的结合律。3当 a= 0.2 ， b=0.04 时，代数式 a 2-b 的值是 _。答案： 0解析：原式 =( 0.2) 2 0.04=0 。把已知条件代入代数式计算即可。4含盐 30%的盐水有 60 千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是 _千克。答案： 45（千克）解析：食盐 30% 的盐水 6
7、0 千克中含盐 6030% （千克），设蒸发变成含盐为 40% 的水重 x 克，即 6030%=40%x解得： x=45 （千克）。遇到这一类问题， 我们要找不变量， 本题中盐的含量是一个不变量， 通过它列出等式进行计算。三、解答题1. 甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的 1 ，乙每月比甲多开支 100 元，5三年后负债 600 元，求每人每年收入多少？答案：解： 设每人每年收入x 元，甲每年开支4/5x 元，依题意有：3（ 4/5x+1200 ） =3x+600即(3-12/5)x=3600-600解得， x=5000答：每人每年收入5000 元所以 S 的末四位数字的和为1 9 9
8、 5=24 。4一个人以 3 千米 / 小时的速度上坡， 以 6 千米 / 小时的速度下坡， 行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程。答案：设上坡路程为x 千米，下坡路程为y 千米依题意则：由有 2x+y=20，由有 y=12-x ，将之代入得2x+12-x=20 。所以 x=8( 千米 ) ，于是 y=4( 千米 ) 。答：上坡路程为8 千米，下坡路程为4 千米。5求和：。答案：第 n 项为所以。6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数。证明： 设 p=30q r，0r30，因为 p 为质数，故 r0，即 0 r30 。假设 r 为合数，由于 r30，
9、所以 r 的最小质约数只可能为2，3，5。再由 p=30q r 知，当 r 的最小质约数为2， 3， 5 时， p 不是质数，矛盾。所以， r 一定不是合数。解：设由式得 (2p-1)(2q-1)=mpq ，即 (4-m)pq+1=2(p+q) 。可知 m 4由， m0，且为整数，所以m=1，2，3下面分别研究p， q。(1)若 m=1 时，有解得 p=1 ， q=1，与已知不符，舍去(2)若 m=2 时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故m=2 时无解(3)若 m=3 时，有解之得故 pq=8 。初中奥数题试题二一、选择题1数1是()A最小整数B最小正数C最小自然数
10、D最小有理数答案： C解析：整数无最小数，排除 A；正数无最小数，排除 B；有理数无最小数，排除D。1 是最小自然数，正确，故选 C。2.a 为有理数，则一定成立的关系式是( )A7aaB7+a aC7+a 7D|a| 7答案： B解析：若 a=0，70=0 排除 A；7+0=7 排除 C；|0| 7 排除 D，事实上因为 70，必有 7+a 0+a=a选 B。3. 3.1416 7.5944+3.1416 (-5.5944) 的值是 ( ) A6.1632B6.2832 C6.5132D5.3692答案： B解析：3.14167.5944+3.1416( -5.5944)=3.1416(7.
11、5944- 5.5944)=2 3.1416=6.2832，选 B。4. 在-4 ， -1 ，-2.5 ，-0.01 与-15 这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是 ( )A225B0.15C0.0001D1答案： B解析： -4 ，-1 ，-2.5 ，-0.01 与-15 中最大的数是 -0.01 ，绝对值最大的数是 -15 ，(- 0.01) (-15)=0.15 ，选 B。二、填空题1计算： (-1)+(-1)-(-1) (- 1) (-1)=_ 。答案： (-1)+(-1)-(-1) (- 1) (-1)=(-2)-(-1) =-1。2. 求值： (-1991)-|3-|-
12、31|=_。答案： (-1991)-|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n 为正整数， 1990n-1991 的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是 8009。则 n 的最小值等于 _。答案： 4解析： 1990n 的末四位数字应为 1991+8009的末四位数字即为 0000，即 1990n 末位至少要 4 个 0，所以 n 的最小值为 4。4. 不超过 (-1.7) 2的最大整数是 _。答案： 2解析： (-1.7) 2=2.89 ，不超过 2.89 的最大整数为 2。5. 一个质数是两位数， 它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是 _。答案：
13、29解析：个位数比十位数大7 的两位数有 18， 29，其中只有 29 是质数。三、解答题1已知 3x 2-x=1 ，求 6x3+7x 2-5x 2000 的值。答案：原式=2x(3x 2-x)+3(3x 2-x)-2x+2000 =2x 131-2x+2000=2003 。2某商店出售的一种商品，每天卖出100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案： 原来每天可获利 4100 元，若每件提价x 元，则每件商品获利 (4 x)元，但每天
14、卖出为 (100-10x) 件。如果设每天获利为y 元，则 y (4 x)(100-10x) =400 100x-40x-10x 2 =-10(x 2-6x 9) 90400 =-10(x-3) 2490。所以当 x=3 时， y 最大 =490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大为 490 元。3如图 196 所示，已知 CB AB ，CE 平分 BCD ，DE 平分 CDA ， 1 2=90 。求证： DA AB 。证明： CE 平分 BCD ， DE 平分 ADC 及 1 2=90 ， ADC BCD=180 ， ADBC。又 ABBC， ABAD。4. 求方程 xy - 2x+y=4
15、 的整数解。答案： x y -2 x+y=4 ，即 x(y -2)+( y-2)=2 ，所以 ( x +1)( y-2)=2 。因为 x 10 ，且 x， y 都是整数，所以5. 王平买了年利率 7.11 的三年期和年利率为 7.86 的五年期国库券共 35000 元，若三年期国库券到期后， 把本息再连续存两个一年期的定期储蓄， 五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22 )答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x 元和 y 元，则因为 y=35000-x ，所以x(10.0711 3)(1 0.0522) 2+(
16、35000-x)(1+0.07865)=47761 ，所以1.3433x 48755-1.393x=47761 ，所以0.0497x=994 ，所以x=20000( 元)， y=35000-20000=15000(元)。6.对 k，m答案： 因为的哪些值，方程组(k1)x m-4 ， 至少有一组解？m 为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1 ，m=4 时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。当 k=1 ，m 4 时，无解。所以， k1，m 为任何实数，或k=1， m=4 时，方程组至少有一组解。初中奥数题试题三一、选择题1. 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A. x 2y
17、 与-3x 2z33B.3.22m2n 与 n m2C.0.2a 2b 与 0.2ab 2D.11abc 与 ab答案： B解析： 字母相同 ,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( )A3x-3Bx-1C3x-1Dx-3答案： C解析： (x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1 ，选 C。3. 两个 10 次多项式的和是 ( )A20 次多项式B10 次多项式C100 次多项式D不高于 10 次的多项式答案： D10+x 与 -x10是个次数低于 10 次的多项式，因此排解析：多项式 x+x2之和为 x2+x除了
18、 A、B、C，选 D。4. 若 a+1 0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是( )Aa，-1 ，1，-aB-a ，-1 ， 1， aC-1 ，-a ， a， 1D-1 ，a，1，-a答案： A解析：由 a+10，知 a -1 ，所以 -a 1。于是由小到大的排列次序应是a-1 1 -a ，选 A。5.a=-123.4-(-123.5) ，b=123.4-123.5 ，c=123.4-(-123.5) ，则 ( )AcbaBcabCabcDbca答案： B解析：易见 a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5 0，c=123.4-(-123.5)123.4
19、 a，所以 bac，选 B。6若 a0，b 0，且 |a| |b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( )A(a-b)(ab+a)B(a+b)(a-b)C(a+b)(ab+a)D(ab-b)(a+b)答案： A因为 a0，b0所以 |a|=-a ，|b|=b 由于 |a| |b| 得 -a b，因此 a+b 0， a-b 0。 ab+a 0，ab-b 0。所以应有 (a-b)(ab+a) 0 成立，选 A。7从 2a+5b 减去 4a-4b 的一半，应当得到 ( )A4a-bBb-aCa-9bD7b答案： D解析：2a 5b1=2a+5b-2a+2b=7b，选 D。（4a4b ）28a，b，c，
20、m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么 b 与 c ( )A互为相反数B互为倒数C互为负倒数D相等答案： A解析：因为 a+2b+3c=m=a+b+2c，所以 b+c=0，即 b，c 互为相反数，选A。9张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为 15，后两个有理数的平均值是 10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( )A.5B.8C.12D.13答案： D解析：前三个数之和 =153， 后两个数之和 =102。 所以五个有理数的平均数为（ 45+20） 5=13，选 D。二、填空题（每题1 分，共 10 分）12+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9
21、+10+(-11)+(-12)+13+14+15=_。答案： 29解析：前 12 个数，每四个一组，每组之和都是0所以总和为 14+15=29。2. 若 P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式 P-Q-2P-(-P-Q) 中，化简后，是 _。答案： 12ab。解析：因为 P-Q-2P-(-P-Q) =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q=2P-2Q=2(P-Q)以 P=a2+3ab+b2， Q=a2-3ab+b2代入，原式 =2(P-Q)=2(a 2+3ab+b2)-(a 2-3ab+b2)=2(6ab)=12ab 。3小华写出四个有理数，其中每三数之和分
22、别为 2， 17，-1 ，-3 ，那么小华写出的四个有理数的乘积等于 _。答案： -1728 。解析：设这四个有理数为a、b、c、d，则abc=2a+b+d=17a+c+d=-1b+c+d=-3有 3（a+b+c+d） =15，即 a+b+c+d=5。分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为 3，-12 ，6，8，所以，这四个有理数的乘积 =3(- 12) 68=-1728 。4一种小麦磨成面粉后，重量要减少 15%，为了得到 4250 公斤面粉，至少需要_公斤的小麦。答案： 5000解析：设需要 x 公斤的小麦，则有x（x-15 ） =4250x=5000三、解答题答案：原式化简得6(a-
23、1)x=3-6b+4ab ，当 a 1 时，答案：3. 液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为 72 ，求桶的容量。答案：去分母、化简得7x2 -300x+800=0 ，即 7x-20)(x-40)=0 ，4. 6设 P 是 ABC 内一点求： P 到 ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。答案：如图 1105 所示。在 PBC 中有 BCPBPC， 延长 BP 交 AC 于 D易证 PBPCABAC，由，BCPBPCAB+AC ，同理ACPAPCAC BC，ABPAPBACAB。得 AB BC CA 2(PA PB PC) 2(AB BC CA) 。所以。5.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24 千米，甲经过小时到东站，乙经过16 小时到西站，求两站距离。答案：设甲步行速度为x 千米 /小时，乙步行速度为y 千米 /小时，则所求距离为 (9x+16y) 千米；9依题意得：由得 16y 2=9x2 ，由得16y=24 9x ，将之代入得即 (24 9x)2 =(12x) 2解之得于是所以两站距离为9816 6=168( 千米 )。