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矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,1,矩阵的分解,第 四 章,2,定理2: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线上三角阵,定理1： 是次酉阵当且仅当 的列（行）为标 准正交向量组。,定义1: 设 ,若 则称 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为：,3,证明：先证明分解的存在性。将矩阵 按列分块 得到 由于 ，所以 是线性无关的。 利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组,由前面学的定理有：,记: ,则 于是: ,下面证明分解是唯一的,4,假设: ,那么有:,注意到 仍是酉矩阵，而 是一个正线上三角矩阵，因此有:,于是: ,从而,推论1: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线下三角阵,5,例 1 求下列矩阵的正交三角分解,解答:容易判断出 即 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，,将 的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组:,6,7,再将其单位化，得到一组标准正交向量组,8,这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成,9,将上面的式子矩阵化，即为,10,解答:首先判断出 ,由定理可知必存在 以及三阶正线上三角矩阵 使得,练习: 求下列矩阵的正交三角分解,重复例题的步骤,即得结果,11,Good,Bye,12,