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1、3.2三角形3 2 1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。图 3.2-1图 3.2-2图 3.2-3如图 3.2-1 ，在三角形ABC 中，有三条边 AB, BC ,CA ，三个角A, B, C，三个顶点 A, B, C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段。三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2： 1。已知 :D、 E、F 分别为 ABC 三边 BC、 CA、A
2、B 的中点，求证 :AD 、 BE、 CF 交于一点，且都被该点分成2：1。证明连结 DE ，设 AD、BE 交于点 G，D、 E 分别为 BC、 AE 的中点，则 DE/AB，且 DE =1AB，2GDE GAB ，且相似比为1：2，图 3.2-4AG2GD , BG2GE 。设 AD、CF 交于点 G ，同理可得， AG = 2G D,CG = 2GF.则 G 与 G 重合，AD、 BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1 。三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等。（如图 3.2-5）例 2 已知ABC 的三边长分别为BC
3、= a, AC = b, AB = c ， I 为- 1 -图 3.2-5ABC 的内心，且I 在ABC 的边 BC、 AC、 AB 上的射影分别为D、 E、 F ，求证：AE = AF = b + c -a 。2证明 :作ABC 的内切圆，则 D、 E、 F 分别为内切圆在三边上的切点， AE , AF 为圆的从同一点作的两条切线，AEAF ，同理， BD=BF ， CD=CE 。cb aAFBFAE CE BD CDAFAE2AF2 AE即 AE = AF = b+ c - a图 3.2-6。2例 3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。已知 :O 为ABC 的重心和内
4、心。求证 :ABC 为等边三角形。证明 :如图，连AO 并延长交BC 于 D。O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ，ABBD（角平分线性质定理）ACDCO 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即BD =DC 。AB图 3.2-71，即 AB= AC 。AC同理可得， AB=BC。ABC 为等边三角形。三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定图 3.2-8在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。- 2 -（如图 3.2-8）例 4 求证：三角形的三条高交于一点。已知 :ABC 中， ADBC于D , BEAC于E
5、，AD 与 BE 交于 H 点。求证 :CHAB 。证明 :以 CH 为直径作圆，ADBC于D, BEAC于E,HDCHEC90D 、 E 在以 CH 为直径的圆上，FCBDEH 。同理， E、 D 在以 AB 为直径的圆上，可得BEDBAD 。BADBCF ，又ABD 与BCF 有公共角DBF ，BFCADB90 ，即 CHAB 。过不共线的三点A、B、C 有且只有一个圆，该圆是ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。练习 11.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。2（ 1 ）若ABC 的面积为S，且三边长分
6、别为a、 b、 c ，则的内切圆的半径是。并请说明理由。（ 2 ）若 Rt三边长分别为a、 b、 c （其中c 为斜边长） ，则的内切圆的半径是。 并请说明理由。- 3 -3.2.2几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰ABC 中，三角形的内心I 、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上。图 3.2-10图 3.2-11图 3.2-13图 3.2-12例 5 在ABC 中， ABAC 3, BC2. 求 :（ 1） ABC 的面积及 AC 边上的高 BE ；（2） ABC 的内切圆的半径r ；（ 3）ABC 的外接圆的半径 R 。解 :（ 1）如图，作 AD
7、BC于D。ABAC ,D 为 BC 的中点，ADAB 2BD 222 ,S ABC122 2222又SABC1 ACBE ,解得 BE4 2。23（ 2）如图， I为内心，则 I到三边的距离均为 r ，连 IA, IB , IC ，S ABCS IABS IBCSIAC，即 2 21 AB r1 BC r1 CA r ，222解得 r2。2（ 3）ABC 是等腰三角形，外心 O在 AD 上，连 BO，则 RtOBD 中， ODADR, OB2BD2 OD2,- 4 -R2(2 2 R)2 12,解得 R9 2 .8在 RtABC 中， A 为直角，垂心为直角顶点A ， 外心 O 为斜边 BC
8、的中点，内心 I在三角形的内部， 且内切圆的半径为b + c- a（其中 a,b, c 分别为三角形的三边 BC,CA ,AB2的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2+ AB2 = BC2。例 6 如图，在ABC 中，AB=AC，P 为 BC 上任意一点。 求证： AP 2AB 2PBPC 。证明：过 A作 ADBC于 D。在 Rt ABD 中， AD 2 = AB 2 - BD 2 。在 Rt APD 中， AP 2 = AD 2 - DP 2 。AP 2AB2BD 2DP 2AB 2(BDDP) (BD DP)ABAC,ADBC ,BDDC 。图 3.2-14BDDPCD
9、DPPC 。AP 2AB 2PBPC 。正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心。例 7 已知等边 ABC 和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为 h1, h2 , h3 ， ABC 的高为 h ， “若点 P 在一边 BC 上，此时 h3 = 0 ，可得结论： h1 + h2 + h3 = h 。 ”请直接应用以上信息解决下列问题：当（ 1）点 P 在ABC 内（如图 b），（ 2）点在ABC 外 (如图 c)，这两种情况时，上述- 5 -结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1 , h2 , h3 与 h
10、之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）。解 :（ 1）当点 P 在 ABC 内时，法一如图，过 P 作 BC 分别交 AB, AM , AC 于 B,M ,C ，由题设知 AM = PD + PE ，图 3.2-16而AM= AM- PF，故PD+ PE+ PF= AM ，即 h1 + h2 + h3 = h 。法二如图，连结PA、PB 、PC，S ABCS PABS PACSPBC，11PD1PE1PF ，BCAMABACBC2222又AB= BC= AC，AMPDPEPF ，即 h1 + h2 + h3 = h 。（ 2）当点 P 在ABC 外如图位置时， h1 + h2 + h3
11、 = h 不成立，猜想： h1 + h2 - h3 = h 。注意：当点P 在ABC 外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如 h1 - h2 + h3 = h ， h1 - h2 - h3 = h （如图 3.2-18，想一想为什么？）等。在解决上述问题时， “法一 ”中运用了化归的数学思想方法 , “法二 ” 中灵活地运用了面积的方法。练习 2图 3.2-181.直角的三边长为3，4， x ,则 x = _。2. 等腰 有两个内角的和是 100，则它的顶角的大小是_。3.满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（）A. b2 = a2 - c2B.ABCC.A :B :C :3 : 4
12、 : 5D. a : b : c = 12 :13: 5- 6 -4.已知直角三角形的周长为33 ，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积。5.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。- 7 -习题 3.2A 组1.ABC 中，AB=AC，BAC 120 , AD为BC边上的高，则下列结论中，正确已知：在o的是（）A. AD3 ABB. AD1 ABC. ADBDD. AD2 BD2222.三角形三边长分别是6、 8、10，那么它最短边上的高为（）A 6B 4.5C 2.4D 83.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_。4.已知 : a,b
13、,c 是 ABC 的三条边， a7, b10 ，那么 c 的取值范围是 _。5.若三角形的三边长分别为1、a、 8，且 a 是整数，则 a 的值是 _。B 组1.如图 3.2-19，等边ABC 的周长为 12， CD 是边 AB 上的中线， E 是 CB 延长线上一点，且 BD=BE，则 CDE 的周长为（）。A643B18123C623D1843图 3.2-19图 3.2-20图 3.2-21图 3.2-222.如图3.2-20，在ABC 中， CABC 2A ， BD 是边 AC 上的高，求DBC 的度数。- 8 -3.如图 3.2-21，RtABC ，B90 , M 是 AC 的中点，
14、AM=AN ，MN/AB ，求证：MN=AB 。4.如图 3.2-22，在ABC 中， AD 平分BAC ， AB+BD =AC。求B :C 的值。5.如图 3.2-23，在正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且EC = 1 BC ，4求证：EFA90 。图 3.2-23- 9 -C 组1.已知 k1, b2k ,ac2k 2 ,ack 41，则以 a、 b、 c 为边的三角形是（）A 等边三角形B等腰三角形C直角三角形D形状无法确定2.如图 3.2-24，把ABC纸片沿 DE 折叠，当点 A落在四边形BCDE 内部时，则A 与12之间有一种数量关系始终保持不变
15、，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）。A A12B 2A12C3A123A2( 12)图 3.2-24D 如图3.2-25，已知BD是等腰ABC 底角平分线，且AB=BC+CD，求证：C 90。3.图 3.2-254.如图 3.2-26，在等腰 RtABC 中C90o ， D 是斜边 AB 上任一点，AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于F， CHAB 于 H ，交 AE 于 G。求证： BD =CG。图 3.2-26-10-答案：练习 11证略2.（ 1）2S；（ 2） abc 。abc2练习 215 或72. 20o 或 80 o3.C4设两直角边长为 a,b ，斜边长为2
16、，则 a b13，且 a2b24 ，解得 ab3 ，S1 ab13 。 5.可利用面积证。22习题 3.2A 组1 B2. D3.120o4.3 c175.8B 组1 A2.18o3连 BM ，证 MABAMN。4.在 AC 上取点E，使 AE=AB ，则ABDAED ，BAED 。又 BD=DE=EC ，CEDC ,B :C2 :1.可证ADF FCE ，因而AFD 与CFE 互余，得EFA90o 。5C组1C。不妨设 ac，可得ak21, ck21,a2b2c2 ，为直角三角形。2B 3。在 AB 上取 E 使 BE=BC ，则BCDBED ，且 AE=ED=DC，CBED 2AAB180oC,C90o.4先证明ACECBF ，得 CE=BF ，再证CGEBDF ，得 BD=CG 。-11-