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1、第 五 节,常系数线性微分方程,一、常系数齐次线性方程通解求法,n阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,-特征方程,将其代入上方程, 得,故有,特征根,1. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 有两个相等的实根,得齐次方程的通解为, 有一对共轭复根,得齐次方程的通解为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,2
2、. n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为:,例3 解方程:,例4 解方程:,解,特征方程为:,特征根为,故所求通解为,练习 求方程的通解：,答案：,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,则(1)通解结构,难点：如何求特解 ？,方法：待定系数法.,二. 二阶常系数非齐次线性方程解的求法,则有特解:,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,注意,的特解:,例 写出下列方程的特解形式:,解 1.,特征方程为:,解 2.,特征方程为:
3、,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例 4,例 5,解,特征根,对应齐次方程通解,不,代入方程, 得,原方程通解为:,例 6,解,原方程通解为:,则特解为:,解,例5,写出下列方程的特解形式:,特征根,的特解,的特解,解,对应齐方通解,代入原方程:,例6,是特征方程的单根,比较系数得:,通解为:,四、小结,1. 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),2. 非齐次方程求特解:,解,特征方程,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,例9 解方程,原方程
4、的一个特解为,故原方程的通解为,代入初始条件.有,04考题,补充题,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,例6,解,代入方程，得,故方程的通解为,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,二、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,作变量变换,将自变量换为,用D表示对自变量t的求导运算,则,一般地，,例 8,求,的通解,解,作变量变换,四、小结,1. 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),原方程化为,即,或,(1),其特征方程,设特解:,通解:,2. 非齐次方程求特解:,解,例10,则由牛顿第二定律得,解此方程得,3. 欧拉方程解法思路:,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,