数学逻辑代数基础学习教案.pptx

1、数学逻辑代数数学逻辑代数(dish)基础基础第一页，共75页。主要(zhyo)要求：理解(lji)逻辑值 1 和 0 的含义。2.1 概概 述述理解逻辑体制(tzh)的含义。第1页/共75页第二页，共75页。用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(Boole Algebra)或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用 1和 0 表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。相似处 相异处运算规律有很多不同。一、逻辑(lu j)代数第2页/共75页第三页，共

2、75页。逻辑代数中的 1 和 0 不表示(biosh)数量大小，仅表示(biosh)两种相反的状态。注意(zh y)例如(lr)：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0二、逻辑体制 正逻辑体制 负逻辑体制 规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制第3页/共75页第四页，共75页。主要(zhyo)要求：掌握逻辑代数的常用(chn yn)运算。理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示(biosh)的方法。2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转

3、换的方法。第4页/共75页第五页，共75页。一、基本逻辑一、基本逻辑一、基本逻辑一、基本逻辑(lu j)(lu j)函数及运函数及运函数及运函数及运算算算算 基本逻辑函数 与逻辑 或逻辑 非逻辑与运算(逻辑乘)或运算(逻辑加)非运算(逻辑非)1.与逻辑(lu j)决定某一事件的所有条件都具备(jbi)时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯 Y开关 B开关 A开关 A、B 都闭合时，灯 Y 才亮。规定:开关闭合为逻辑 1断开为逻辑 0 灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑 0 真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式 Y=A B 或 Y=AB 与门(AND gate)若有 0 出 0；若

4、全 1 出 1 第5页/共75页第六页，共75页。开关(kigun)A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。2.或逻辑(lu j)决定某一事件的诸条件中，只要有一个(y)或一个(y)以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯 Y开关 B开关 A若有 1 出 1若全 0 出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式 Y=A+B 或门(OR gate)1 3.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。AY0110Y=A 1 非门(NOT gate)又称“反相器”第6页/共75页第七页，共75页。二、常用二、常用二、常用二

5、常用(chn yn)(chn yn)复合逻复合逻复合逻复合逻辑运算辑运算辑运算辑运算 由基本(jbn)逻辑运算组合而成 与非逻辑先与后非若有 0 出 1若全 1 出 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑先或后非若有 1 出 0若全 0 出 110 0YA B00 101 0与或非逻辑先与后或再非第7页/共75页第八页，共75页。异或逻辑若相异(xin y)出 1若相同出 0同或逻辑若相同(xin tn)出 1若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意：异或和同或互为反函数，即第8页/共75页第九页，共75页。例 试对

6、应输入(shr)信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0 全1出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出 0 相异出 1AB第9页/共75页第十页，共75页。三、逻辑符号三、逻辑符号三、逻辑符号三、逻辑符号(fho)(fho)对照对照对照对照 国家标准曾用标准美国标准第10页/共75页第十一页，共75页。四、逻辑函数及其表示四、逻辑函数及其表示四、逻辑函数及其表示四、逻辑函数及其表示(biosh)(biosh)方法方法方法方法 逻辑函数描述(mio sh)了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1.真值表 列出输入

7、变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数(hnsh)值的表格称真值表。列真值表方法(1)按 n 位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。第11页/共75页第十二页，共75页。例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数(hnsh)Y=1；否则Y=0。第12页/共75页第十三页，共75页。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量 输 入 变 量 4 个输入(shr)变量有 24 =16 种取值组合。第13

8、页/共75页第十四页，共75页。2.逻辑(lu j)函数式 表示输出函数和输入变量逻辑(lu j)关系的 表达式。又称逻辑(lu j)表达式，简称逻辑(lu j)式。逻辑函数(hnsh)式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。(1)找出函数值为 1 的项。(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为 第14页/共75页第十五页，共75页。真值表逻辑(lu j)表达式练习(linx)第15页/

9、共75页第十六页，共75页。3.逻辑图 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路(dinl)实现之。由逻辑符号(fho)及相应连线构成的电路图。根据逻辑式画逻辑图的方法:将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。例如 画 的逻辑图 反变量用非门实现 与项用与门实现 相加项用或门实现 第16页/共75页第十七页，共75页。例 图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同(xin tn)的逻辑电路。(1)分析逻辑问题(wnt)，建立逻辑函数的真值表11YA B000 01

10、10 11 0(2)根据(gnj)真值表写出逻辑式解：方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为第17页/共75页第十八页，共75页。(3)画逻辑图 与或表达式(可用 2 个非门(fi mn)、2 个与门和 1 个或门实现)异或非表达式(可用 1 个异或门和 1 个非门(fi mn)实现)=B设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。第18页/共75页第十九页，共75页。2.32.3逻辑逻辑逻辑逻辑(lu j)(lu j)代数的基

11、本定律和规则代数的基本定律和规则代数的基本定律和规则代数的基本定律和规则 主要(zhyo)要求：掌握逻辑代数的基本(jbn)公式和基本(jbn)定律。了解逻辑代数的重要规则。第19页/共75页第二十页，共75页。一、基本一、基本一、基本一、基本(jbn)(jbn)公式公式公式公式 逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式 0 0=00 1=01 0=01 1=10+0=00+1=11+0=11+1=10 1 律重迭律 互补律 还原律 0+A=A1+A=1 1 A=A0 A=0A+A=A A A=A 第20页/共75页第二十一页，共75页。二、基本定律二、基本定律二、基本定律二、基本定律 (一

12、)与普通代数相似的定律 交换律 A+B=B+A A B=B A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)(A B)C=A (B C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)普通代数(dish)没有！利用真值表 逻辑等式的证明方法 利用基本公式和基本定律第21页/共75页第二十二页，共75页。111111111100 例 证明(zhngmng)等式 A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式(gngsh)法右式=(A+B)(A+C)用分配律展开(zhn ki)=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A 1 +BC=A+BC0000A B C

13、 A+BC(A+B)(A+C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1第22页/共75页第二十三页，共75页。(二)逻辑(lu j)代数的特殊定理 吸收(xshu)律 A+AB=A A+AB=A(1+B)=A 第23页/共75页第二十四页，共75页。001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B (二)逻辑代数的特殊定理 吸收律 A+AB=A 推广公式：思考(sko)：(1)若已知 A+B=A+C，则 B=C 吗？(2)若已知 AB=AC，则 B=C 吗？推广公式：摩根定律(dngl)

14、又称反演(fn yn)律)第24页/共75页第二十五页，共75页。三、重要三、重要三、重要三、重要(zhngyo)(zhngyo)规则规则规则规则 (一)代入规则(guz)A A A A均用 代替A均用 代替B均用C代替利用代入规则能扩展(kuzhn)基本定律的应用。将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。第25页/共75页第二十六页，共75页。变换时注意：(1)不能改变原来的运算顺序(shnx)。(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。可见(kjin)，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。原运算(yn sun)次序为(二)反演规则

15、对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。第26页/共75页第二十七页，共75页。(三)对偶(du u)规则 对任一个逻辑函数(hnsh)式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数(hnsh)式的对偶式 Y。对偶(du u)规则：两个函数式相等，则它们的对偶(du u)式也相等。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。变换时注意：(1)变量不改变 (2)不能改变原来的运算顺序A+AB=A A (A+B)=A 第27页/共75页第二十八

16、页，共75页。主要(zhyo)要求：了解逻辑(lu j)函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑(lu j)函数的代数化简法。2.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 理解最简与-或式和最简与非式的标准。第28页/共75页第二十九页，共75页。逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种(zhn)形式间可以相互变换。一、逻辑函数一、逻辑函数(hnsh)式的几种常见形式式的几种常见形式和变换和变换 例如(lr)与或表达式 或与表达式 与非-与非表达式 或非-或非表达式 与或非表达式 转换方法举例 与或式 与非式 用还原律 用摩根定律 或与式 或非式 与或非式 用还原律 用摩根定律 用摩根

17、定律 第29页/共75页第三十页，共75页。二、逻辑函数二、逻辑函数(hnsh)式化简的意义与式化简的意义与标准标准 化简意义(yy)使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而(cng r)节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。第30页/共75页第三十一页，共75页。最简与-或式标准(biozhn)(1)乘积(chngj)项(即与项)的个数最少(2)每个乘积(chngj)项中的变量数最少 用与门个数最少与门的输入(shr)端数最少 最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少 用与

18、非门个数最少与非门的输入端数最少 第31页/共75页第三十二页，共75页。三、代数三、代数三、代数三、代数(dish)(dish)化简法化简法化简法化简法 运用逻辑代数(dish)的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法 运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。第32页/共75页第三十三页，共75页。吸收(xshu)法 运用A+AB=A 和 ，消去多余的与项。第33页/共75页第三十四页，共75页。消去法 运用吸收律 ，消去多余因子。第34页/共75页第三十五页，共75页。配项法 通过乘 或加入零项 进行配项，然后再化简。第35页/共75页第三十六页，共75页。综合(zngh)灵活运用上述方

19、法 例 化简逻辑式解：应用例 化简逻辑式解：应用应用 AB第36页/共75页第三十七页，共75页。例 化简逻辑式解：应用用摩根定律(dngl)第37页/共75页第三十八页，共75页。主要(zhyo)要求：掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要(zhyo)性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑(lu j)函数的方法。理解卡诺图的意义和构成原则。掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。2.52.5逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第38页/共75页第三十九页，共75页。代数(dish)化简法 优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易(b y)

20、判断是否最简式。卡诺图化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤(bzhu)和方法 易判断结果是否最简。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点第39页/共75页第四十页，共75页。卡诺图是最小项按一定规则(guz)排列成的方格图。n 个变量有 2n 种组合(zh)，可对应写出 2n 个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最小项，也称为 n 变量逻

21、辑函数的最小项。1.最小项的定义(dngy)和编号 (一)最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图第40页/共75页第四十一页，共75页。如何(rh)编号？如何根据输入变量(binling)组合写出相应最小项？例如(lr)3 变量逻辑函数的最小项有 23=8 个 将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。简记符号例如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数7654321

22、0第41页/共75页第四十二页，共75页。2.最小项的基本(jbn)性质(1)对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，而其余各种变量取值均使其值为 0。三变量最小项表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C(2)不同(b tn)的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同(b tn)。(3)对于变量的任一组取值，任意(rny)两个最小项的乘积为 0。(4)对

23、于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。第42页/共75页第四十三页，共75页。例如ABC+ABC=AB3.相邻(xin ln)最小项 两个最小项中只有(zhyu)一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。例如 三变量最小项 ABC 和 ABC 相邻(xin ln)最小项重要特点：两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。(二)最小项的卡诺图表示 将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。第43页/共75页第四十四页，共75

24、页。变量(binling)取 0 的代以反变量(binling)取 1 的代以原变量(binling)AB二变量卡诺图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四变量卡诺图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三变量卡诺图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循环码排列以保证(bozhng)相邻性第44页/共75页第四十五页，共75页。变量(bi

25、nling)取 0 的代以反变量(binling)取 1 的代以原变量(binling)ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环(xnhun)相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻第45页/共75页第四十六页，共75页。如何写出卡诺图方格(fn)对应的最小项？已知最小项如何找相应(xingyng)小方格？例如(lr)原变量取 1，反变量取 0。1001？ABCD0001111000 01 11 10 第46页/共75页第四十七页，共75页。为了用卡诺

26、图表示逻辑函数(hnsh)，通常需要先求得真值表或者标准与 -或式或者与 -或表达式。因此，下面先介绍标准与 -或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准与-或式，而且(r qi)逻辑函数的标准与-或式是唯一的。(一)逻辑函数(hnsh)的标准与-或式 三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与-或逻辑式称为标准与-或式，又称最小项表达式。第47页/共75页第四十八页，共75页。如何将逻辑(lu j)式转化为 标准与-或式呢？例 将逻辑式 化为标准与或式。(3)利用(lyng)A+A=A，合并掉相同的最小项。0000m0

27、0001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=m(0,1,12,13,15)解：(1)利用摩根定律和分配律把逻辑(lu j)函数式展开为与或式。AB+(2)利用配项法化为标准与或式。第48页/共75页第四十九页，共75页。(二)用卡诺图表示逻辑函数(1)求逻辑函数真值表或者标准与-或式或者与-或式。(2)画出变量卡诺图。(3)根据真值表或标准与-或式或与-或式填图。基本步骤用卡诺图表示(biosh)逻辑函数举例 已知标 准(biozhn)与或式画函数卡诺图 例 试画出函数(hnsh)Y=m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：(1)画出四变量卡诺

28、图(2)填图 逻辑式中的最小项 m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填 1，其余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 第49页/共75页第五十页，共75页。已知真值表画函数卡诺图例 已知逻辑(lu j)函数 Y 的 真值表如下，试画 出 Y 的卡诺图。解：(1)画 3 变量(binling)卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m

29、4m6 1 1 1 1(2)找出真值表中 Y=1 对应(duyng)的最小项，在 卡诺图相应方格中 填 1，其余不填。第50页/共75页第五十一页，共75页。已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)将逻辑(lu j)式转化为与或式(2)作变量(binling)卡诺图找出各与项所对应的最小项方格(fn)填 1，其余不填。例 已知 ，试画出 Y 的卡诺图。AB+ABCD0001111000 01 11 10(3)根据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为同时满足 A=1，B=1 的方格。BCD 对应最小项为同时满足 B=1，C=0，D=1的方格AD 对应最小项为同时满足

30、 A=0，D=1的方格。第51页/共75页第五十二页，共75页。四、用卡诺图化简逻辑四、用卡诺图化简逻辑四、用卡诺图化简逻辑四、用卡诺图化简逻辑(lu j)(lu j)函数函数函数函数 化 简 规 律(gul)2 个相邻最小项有 1 个变量相异，相加可以消去这 1 个变量，化简结果为相同变量的与；4 个相邻最小项有 2 个变量相异，相加可以消去这 2 个变量，化简结果为相同变量的与；8 个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻最小项有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，化简结果为相同变量的与。消异存同 第52页/共75页第五十三

31、页，共75页。ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同(xin tn)变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD 4 个相邻项合并消去 2 个变量(binling)，化简结果为相同变量(binling)相与。8 个相邻项合并(hbng)消去 3 个变量A 1 1 1

32、 1 1 1 1 1第53页/共75页第五十四页，共75页。画包围圈规则(guz)包围圈必须包含(bohn)2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一(tngy)列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一(tngy)行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺 图化 简法 步骤 画函数卡诺图 将各圈分别化简 对填 1 的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加 第54页/共75页第五十五页，共75页。m15 m9 m

33、7 m6 m5 m4 m2 m0解：(1)画变量(binling)卡诺图例 用卡诺图化简逻辑(lu j)函数 Y(A,B,C,D)=m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1(3)画包围圈abcd(4)将各图分别(fnbi)化简圈 2 个可消去 1 个变量，化简为 3 个相同变量相与。Yb=BCD圈 4 个可消去 2 个变量，化简为 2 个相同变量相与。孤立项 Ya=ABCDYc=AB循环相邻 Yd=AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式第55页/共75页第五十六页，共75页。解：(1)画变量(bin

34、ling)卡诺图例 用卡诺图化简逻辑(lu j)函数 Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1(4)求最简与或式 Y=1消 1 个剩 3 个(3)画圈(hu qun)消 2 个剩 2 个 4 个角上的最小项循环相邻第56页/共75页第五十七页，共75页。找 AB=11,C=1 的公共区域找 A=1,CD=01 的公共区域找 B=1,D=1 的公共区域解：(1)画变量(binling)卡诺图ABCD0001111000 01 11 10(2)填图 1 1(4)化简(3)画圈(

35、hu qun)例 用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画吗？Y=第57页/共75页第五十八页，共75页。例 已知某逻辑(lu j)函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解：0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先求 Y 的最简与或式。1111111111第58页/共75页第五十九页，共75页。例 已知函数真值表如下，试用卡诺(k nu)图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 10

36、1 1 011 1 11注意(zh y)：该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果(ji gu)未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1(3)化简(2)画圈Y=1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 第59页/共75页第六十页，共75页。约束项和随意项都不会在逻辑函数(hnsh)中出现，所对应函数(hnsh)值视为 1 或 0 都可以，故称无关项。不允许出现的无关项又称约束项；客观上不会(b hu)出现的无关项又称随意项。五、具有无关五、具有无关五、具有无关五、具有无关(wgun)(wgun)项的逻辑函数的化简项的逻辑函数的化简项的逻辑函

37、数的化简项的逻辑函数的化简 合理利用无关项可使逻辑式更简单 1.无关项的概念与表示 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不允许出现或者根本不会出现。无关项在卡诺图和真值表中用“”“”来标记，在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。例如 8421 码中，1010 1111这 6 种代码是不允许出现的。例如 A、B 为连动互锁开关，设开为 1,关为 0,则 AB 只能取值 01 或 10,不会出现 00 或 11。2.利用无关项化简逻辑函数 无关项的取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。第60页/共75页第

38、六十一页，共75页。将 d10 看成(kn chn)0,其余看成(kn chn)1 将看成 0 ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 显然左图化简结果最简 解：(1)画变量(binling)卡诺图例 用卡诺图化简函数(hnsh)Y=m(0,1,4,6,9,13)+d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填图 1 1 1 1 1(4)写出最简与-或式最小项(3)画包围圈无关项 1 0 第61页/共75页第六十二页，共75页。例 已知函数(hnsh)Y 的真值 表如下，求其最简 与-或式。A B CY0 0 010

39、 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：(1)画变量(binling)卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1(4)写出最简与-或式(2)填图(3)画包围圈 要画圈吗？第62页/共75页第六十三页，共75页。解：(1)画变量(binling)卡诺图ABCD0001111000 01 11 10(2)填图(4)求最简与-或式(3)画包围圈 1 1 1 1 求最简与非式基本(jbn)方法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。例 求函数 的最简与非式 1 1 (5)求最简与非式分析(fnx)题意称约束条件，表明与项 AB 和

40、AC 对应的最小项不允许出现，因此 AB 和 AC 对应的方格为无关项。第63页/共75页第六十四页，共75页。本章本章本章本章(bn(bn zhn)zhn)小结小结小结小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律(dngl)有的和普通代数类似，如交换律、结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律(dngl)。须注意：逻辑代数中无减法和除法。第64页/共75页第六十五页，共75页。逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，即 0 或 1。须注意：逻辑代数中的 0 和 1 并不表示数量(shling)大小，仅用来表示两种截然不同的状态。正逻辑(lu j)体制规定高电平为逻辑

41、lu j)1、低电平为逻辑(lu j)0；负逻辑(lu j)体制则规定低电平为逻辑(lu j)1、高电平为逻辑(lu j)0。未加说明则默认为正逻辑(lu j)体制。第65页/共75页第六十六页，共75页。基本逻辑运算(yn sun)有与运算(yn sun)(逻辑乘)、或运算(yn sun)(逻辑加)和非运算(yn sun)(逻辑非)3 种。常用复合逻辑运算(yn sun)有与非运算(yn sun)、或非运算(yn sun)、与或非运算(yn sun)、异或运算(yn sun)和同或运算(yn sun)。与运算或运算非运算 Y=AB 或 Y=AB若有 0 出 0若全 1 出 1 Y=AB 若

42、有 1 出 1若全 0 出 0 第66页/共75页第六十七页，共75页。与非运算或非运算与或非运算有 0 出 1;全 1 出 0有 1 出 0;全 0 出 1相异出 1相同出 0相同出 1相异出 0异或运算同或运算第67页/共75页第六十八页，共75页。逻辑函数常用(chn yn)的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。不同表示(biosh)方法各有特点，适宜不同的应用。卡诺图主要(zhyo)用于化简逻辑式。真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需

43、要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。逻辑图是分析和安装实际电路的依据。第68页/共75页第六十九页，共75页。真值表、逻辑(lu j)式、卡诺图和逻辑(lu j)图之间可相互转换(1)找出函数(hnsh)值为 1 的项。(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各 种取值组合。(2)分别求出各种(zhn)组合对应的输出逻辑值填入表格。逻辑式真值表实用中通常先由真值表画卡诺图，然后应用卡诺图化简法写出简化表达式。第69页/共75页第七十页，共75页。

44、1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。(2)根据(gnj)变量数 n 画出变量卡诺图。(3)根据(gnj)与或式填图。逻辑式卡诺图根据电路(dinl)逐级写出相应逻辑运算。将各级(j)逻辑运算用相应逻辑门去实现。逻辑式逻辑图逻辑图逻辑式第70页/共75页第七十一页，共75页。化简逻辑函数的目的是为了获得(hud)最简逻辑式，从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高。不同形式的逻辑式有不同的最简式，求最简式的一般(ybn)方法是：先求最简与或式，然后变换成所需的最简形式。最简与或式标准(1)与项的个数最少(2)每个与项中的变量数最少 最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少

45、 第71页/共75页第七十二页，共75页。逻辑函数化简方法主要(zhyo)有代数法和卡诺图法。最小项特点是：包含全部变量，且每个变量在该乘积(chngj)项中(以原变量或反变量形式)只出现一次。若两个最小项只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称为相邻最小项。代数化简法可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简。卡诺图化简法直观简便，易判断结果是否最简，但一般(ybn)用于四变量以下函数的化简。第72页/共75页第七十三页，共75页。因此卡诺图具有下面的特点：2n 个相邻最小项有 n 个变量(binling)相异，相加可以消去这 n 个变量(binling)

46、化简结果为相同变量(binling)的与。卡诺图化简法步骤 画函数卡诺图 将各圈分别化简 对填 1 的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加 卡诺图是按照(nzho)使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。第73页/共75页第七十四页，共75页。无关项有约束(yush)项和随意项两种情况，其取值对逻辑函数值没有影响。因此，化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。画包围圈规则包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。第74页/共75页第七十五页，共75页。