高中数学空间向量的基本定理题库.docx

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1、3.1.2空间向量的基本定理学习目标1. 了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法 .2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解 基底、基向量及向量的线性组合的概念知识点一 共线向量定理与共面向量定理1共线向量定理两个空间向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 axb.2向量共面的条件(1)向量 a 平行于平面 的定义已知向量 a，作OAa，如果 a 的基线 OA 平行于平面 或在 内，则就说向量 a 平行于平 面 ，记作 a.(2)共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量(3)共面向量定理如

2、果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x， y，使 cxayb.知识点二 空间向量分解定理1空间向量分解定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y， z，使 pxaybzc.2基底如果三个向量 a，b，c 是三个不共面的向量，则 a，b，c 的线性组合 xaybzc 能生成所 有的空间向量，这时 a，b，c 叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中 a，b，c 都叫做 基向量表达式 xaybzc，叫做向量 a，b，c 的线性表示式或线性组合1 向量 a，b，c 共面，即表示这三个向量的有向

3、线段所在的直线共面( )2 若向量 e ，e 不共线，则空间任意向量 a，都有 ae e (，R)( )1 2 1 23若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab.( )4对于三个不共面向量 a ，a ，a ，不存在实数组 ， ， 使 0a a a .( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3题型一 向量共线问题 例 1 (1)已知向量 a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点 是( )AA，B，D CB，C，DBA，B，C DA，C，D (2)设 e ，e 是空间两个不共线的向量，已知ABe ke ，BC5e 4e ，DCe 2e ， 1 2 1 2 1 2

4、1 2且 A，B，D 三点共线，实数 k_.考点 线线、线面平行的判断题点 线线平行的判断答案 (1)A (2)1 解析 (1)因为ADABBCCD3a6b3(a2b)3AB，故ADAB，又AD与AB有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线 (2)因为ADABBCCD7e (k6)e ，1 2 且AB与AD共线，故ADxAB，即 7e (k6)e xe xke ，1 2 1 2故(7x)e (k6xk)e 0，1 2又e ，e 不共线，1 27x0， x7， 解得 故 k 的值为 1.k6kx0， k1，反思感悟 (1)判断向量共线的策略1 熟记共线向量的充要条件：()若 ab，b0，则存在唯

5、一实数 使 ab；()若存在 唯一实数 ，使 ab，b0，则 ab.2 判断向量共线的关键：找到实数 . 2 4 2 2 2 3(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论来证明三点共线 存在实数 ，使PAPB成立 对空间任一点 O，有OPOAtAB(tR ) 对空间任一点 O，有OPxOAyOB(xy1) 跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A B C D 中，E 在 A D 上，且A E2ED ，F 在对1 1 1 1 1 1 1 1角线 A C 上，1 2 且A F FC.1 3求证：E，F，B 三点共线 证明 设ABa，ADb，AA c.1 2

6、A E2ED ，A F FC，1 1 1 3 2 2 A E A D ，A F A C.1 3 1 1 1 5 1 2 2 2 A E AD b，A F (ACAA ) 1 3 3 1 5 12 2 2 2 (ABADAA ) a b c.5 1 5 5 5EFA FA E a b c a bc1 1 5 15 5 5. 2 2又EBEA A AAB bcaa bc，1 1 3 3 2 EF EB.E，F，B 三点共线5题型二 空间向量共面问题例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角1 1 线 BD，AE 上，且 BM BD，AN AE

7、.求证：向量MN，CD，DE共面3 3 3 33 3考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用1证明 因为 M 在 BD 上，且 BM BD，3 1 1 1 所以MB DB DA AB.3 3 3 1 1 同理AN AD DE.3 3 所以MNMBBAAN1 1 1 1 DA AB BA AD DE2 1 2 1 BA DE CD DE.3 3 3 3 又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面反思感悟 (1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他 向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用

8、它求参数的值(2)证明空间向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 pxayb， 则向量 p，a，b 共面 2 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点 O，有OPxOAyOBzOC，且 xy z1 成立，则 P，A，B，C 四点共面3 用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行 1 1 1 跟踪训练 2 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M，满足OM OA OB OC，3 3 3 判断MA，MB，MC三个向量是否共面 解 MA，MB，MC三个向量共面 1 1 1 因为OM OA OB OC，3 3 3 所以

9、3OMOAOBOC， 化简，得(OAOM)(OBOM)(OCOM)0， 即MAMBMC0，即MAMBMC， 故MA，MB，MC共面题型三 空间向量分解定理及应用 例 3 如图所示，在平行六面体 ABCD-ABCD中，ABa，ADb，AAc，P 是CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，点 Q 在 CA上，且 CQQA41， 用基底a，b，c表示以下向量 (1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.解 连接 AC，AD. 1 1 1(1)AP (ACAA) (ABADAA) (abc)2 2 2 1 1 1 1(2)AM (ACAD) (a2bc) ab c.2 2 2 2 1

10、1 1(3)AN (ACAD) (ABADAA)(ADAA) abc.2 2 2 4 4 1 4 1 4 (4)AQACCQAC CA AC (AAAC ) AC AA (ABAD) AA5 5 5 5 5 51 1 4a b c.5 5 5反思感悟 用基底表示向量的步骤(1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法 则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3) 下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结 果中只能含有 a，b，

11、c，不能含有其他形式的向量跟踪训练 3 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别 ABC，OBC 的重心，设OA a，OBb，OCc.试用向量 a，b，c 表示向量GH.解 H OBC 的重心，D 为 BC 的中点， 1 OD (OBOC)，2 2 2 1 1OH OD (OBOC) (bc)3 3 2 3 2 又OGOAAGOA AD，ADODOA，3 2 1 2 OGOA (OBOC) OA3 2 31 (OAOBOC)31 (abc)3 GHOHOG， 1 1 1GH (bc) (abc) a.3 3 3空间共线向量定理的应用典例 如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平

12、行四边形，且它们所在的平面不共面， M，N 分别是 AC，BF 的中点，求证：CEMN.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用证明 M，N 分别是 AC，BF 的中点，又四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形， 1 1 MNMAAFFN CAAF FB，2 2 又MNMCCEEBBN1 1 CACEAF FB，2 21 1 1 1 CAAF FB CACEAF FB，2 2 2 2 CECA2AFFB2(MAAFFN)， CE2MN，CEMN.C 不在 MN 上，CEMN. 素养评析 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问 题这里关键是利用向量的线性

13、运算，从而确定CEMN中的 的值1给出下列几个命题：1 向量 a，b，c 共面，则它们所在的直线共面；2 零向量的方向是任意的；3 若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab.其中真命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 假命题三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； 真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当 b0，则有无数多个 使之成立2对于空间的任意三个向量 a，b,2ab，它们一定是( )A共面向量B共线向量1C不共面向量D既不共线也不共面的向量答案 A解析 2ab2 a(1) b，2ab 与 a，b 共面 3若向量MA，MB，MC的起点 M 和终点 A，B，C

14、 互不重合且无三点共线，则能使向量MA， MB，MC成为空间一组基底的关系是( ) 1 1 1 A.OM OA OB OC B.MAMBMC3 3 3 C.OMOAOBOC答案 C D.MA2MBMC解析 对于 A，由结论OMxOAyOBzOC(xyz1) M，A，B，C 四点共面知，MA， MB，MC共面；对于 B，D，易知MA，MB，MC共面，故只有 C 中MA，MB，MC不共面 4设 e ，e 是平面内不共线的向量，已知AB2e ke ，CBe 3e ，CD2e e ，若 A， 1 2 1 2 1 2 1 2B，D 三点共线，则 k_.答案 8 解析 BDCDCBe 4e ，AB2e k

15、e ，1 2 1 2 又 A，B，D 三点共线，由共线向量定理得ABBD，4 .k8.2 k5以下命题：1 两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；2 共线的两个向量互相平行；3 共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；4 共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是_答案 解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知正确 1四点 P，A，B，C 共面 对空间任意一点 O，都有OPxOAyOBzOC，且 xyz 1. 2.OPOAxAByAC称为空间平面 ABC 的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间 一点及两个不共线向量唯一确定 3证明(或判断)三点 A，B，C 共线时，只

16、需证明存在实数 ，使ABBC(或ABAC)即可， 也可用“对空间任意一点 O，有OCtOA(1t)OB”来证明三点 A，B，C 共线 4空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MPxMAyMB，满足这个关系式的点都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点都满足这个关系式这 个充要条件常用于证明四点共面.一、选择题 1如图所示，在四面体 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，记ABa，ACb，ADc，则BE 等于( )1 1Aa b c2 21 1Ba b c2 21 1C. ab c2 21 1D ab c2 2考点 空间向量的数乘运算题点 空间向

17、量的线性运算答案 B解析 连接 AE， E 是 CD 的中点，ACb，ADc， 1 1AE (ACAD) (bc) 2 23 1 ABE 中，BEBAAEABAE， 1 1 1又ABa，BEa (bc)a b c.2 2 22已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量 pab，qab 构成基底的向量是( ) Aa Bb Ca2b Da2c答案 D解析 能与 p，q 构成基底，则与 p，q 不共面pq pq a ，b ，a2b p q.2 2 2 2A，B，C 都不合题意a，b，c为基底，a2c 与 p，q 不共面，可构成基底 3设空间四点 O，A，B，P 满足OPmOAnOB，其中 mn1，

18、则( )A 点 P 一定在直线 AB 上B 点 P 一定不在直线 AB 上C 点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上 D.AB与AP的方向一定相同答案 A解析 已知 mn1，则 m1n，OP (1n)OA nOBOA nOAnOBOPOA n(OBOA) APnAB.因为AB0，所以AP和AB共线，即点 A，P，B 共线故选 A. 4对于空间一点 O 和不共线三点 A，B，C，且有 6OPOA2OB3OC，则( )AO，A，B，C 四点共面 CO，P，B，C 四点共面BP，A，B，C 四点共面 DO，P，A，B，C 五点共面答案 B 解析 由 6OPOA2OB3OC， 得OPO

19、A2(OBOP)3(OCOP)， 即AP2PB3PC，AP，PB，PC共面，又它们有公共点 P，P，A，B，C 四点共面故选 B. 1 1 5已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有OMxOA OB OC，则 x 的3 3值为( )1A1 B0 C3 D.3答案 D 1 1 解析 OMxOA OB OC，且 M，A，B，C 四点共面，3 31 1 1x 1，x .故选 D.3 3 3 6在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD2DC，若将 b 与 c 作为基底，则AD等于( )2 1A. b c3 32 1C. b c3 33 2B. c b5 31 2D. b c3

20、 3答案 A 解析 BD2DC，ADAB2(ACAD)， 1 2ADc2(bAD)，AD c b.3 37在以下三个命题中，真命题的个数是( )1 三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面；2 若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线； 若 a，b 是两个不共线的向量，而 cab(，R 且 0)，则a，b，c构成空间的 一个基底A0 B1 C2 D3答案 C解析 正确基底必须不共面；正确；不对，a，b 不共线当 cab 时，a，b， c 共面，故只有正确 3 1 1 8. 已知 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若

21、OP OA OB OC，则 P，A，B，4 8 8C 四点( )A不共面 C不一定共面B共面D无法判断是否共面答案 B 3 1 1 3 1 1 1 1 解析 OP OA OB OC OA (OAAB) (OAAC)OA AB AC，4 8 8 4 8 8 8 8 1 1 1 1 OP OA AB AC ，AP AB AC .8 8 8 8由共面的充要条件知 P ，A ，B ，C 四点共面二、填空题 1 2 9已知 A ，B ，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，若由OP OA OB OC 确定5 3的一点 P 与 A ，B ，C 三点共面，则 _.答案2151 2解析 由 P ，A

22、，B ，C 四点共面可知， 1，5 32故 .15 1 3 10在三棱锥 A -BCD 中，若BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB BC DE AD 化简2 2的结果为_答案 0 1 3 解析 延长 DE 交边 BC 于点 F ，则AB BC AF ， DE AD2 2 AD DF AF ， 1 3 故AB BC DE AD2 2 AF AF 0.11已知 O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA 2xBO 3yCO 4zDO ，则 2x3y4z_.答案 1 解析 OA (2x)OB (3y)OC (4z)OD ，由 A ，B ，C ，D 四点共面

23、，得2x3y 4z1，即 2x3y4z1.三、解答题 12已知 A ，B ，C 三点不共线，对平面 ABC 外一点 O ，当OP 2OA OB OC 时，点 P 是否与 A，B，C 共面？并给出证明解 点 P 与 A，B，C 三点不共面，证明如下： 若点 P 与 A，B，C 共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使APxAByAC，于是对平面 ABC 外一点 O，有OPOAx(OBOA)y(OCOA)， OP(1xy)OAxOByOC，1xy2， 比较原式得x1，y1，此方程组无解，这样的 x，y 不存在，所以 A，B，C，P 四点不共面13已知点 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的

24、边 AB，BC，CD，DA 的中点 (1)证明：E，F，G，H 四点共面；(2)证明：BD平面 EFGH.证明 如图，连接 EG，BG. 1 (1)EGEBBGEB (BCBD )EBBFEH2 EFEH，由向量共面的充要条件知，E，F，G，H 四点共面 1 1 (2)方法一 EHAHAE AD AB2 21 BD，EHBD.2又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，BD平面 EFGH. 方法二 BDBAAD2EA2AH 2EH2(EGGH)2EG2GH， 又EG，GH不共线，BD与EG，GH共面又 BD 平面 EFGH，BD平面 EFGH.14已知 A，B，C 三点共线，则对空间任一点

25、O，存在三个不为 0 的实数 ，m，n，使 OA mOBnOC0，那么 mn 的值为_答案 0解析 A，B，C 三点共线， 存在唯一实数 k 使ABkAC， 即OBOAk(OCOA)， (k1)OAOBkOC0. 又 OAmOBnOC0，则 k1，m1，nk，mn0. 15已知 O，A，B，C，D，E，F，G，H 为空间的 9 个点(如图所示)，并且OEkOA，OF kOB，OHkOD，ACADmAB，EGEHmEF.求证：(1)A，B，C，D 四点共面，E，F，G，H 四点共面； (2)ACEG. 证明 (1)由ACADmAB，EGEHmEF，知 A，B，C，D 四点共面，E，F，G，H 四点共面 (2)EGEHmEFOHOEm(OFOE) k(ODOA)km(OBOA) kADkmAB k(ADmAB)kAC， ACEG.