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1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设z=1-i1+i+2i，则z=A.0B.12C.1D.22.已知集合A=x|x2-x-20，则CA=RxxA.|-1x2B.|-1x2xxC.x|x2D.x|x-1U|x23.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍
2、以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半a4.记S为等差数列的前n项和，若3S=S+S，a=2，则a=nn32415A.-12B.-10C.10D.125.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.在DABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3113AB-ACB.AB-AC44443113C.AB+ACD.AB+AC44447.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面A上的点
3、M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A.217B.25C.3D.2B8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点，9.已知函数f(x)=,g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范则FMFN=A.5B.6C.7D.8ex,x0lnx,x0围是A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，DABC的三边所
4、围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为p,p,p，则123ABCA.p=p12B.p=p13C.p=p23D.p=p+p12311.已知双曲线C:x23-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N。若DOMN为直角三角形，则MN=A.32B.3C.23D.4A.3313.若x,y满足约束条件x-y+10，则z=3x+2y的最大值为.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为23323B.C.D.4342二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共
5、20分。x-2y-20y0a14.记S为数列的前n项和，若S=2a+1，则S=nnnn6.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在平面四边形ABCD中,ADC=90o,A=45o,AB=2,BD=5.（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC.18.（12分）如
6、图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DDFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD;（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19.（12分）设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB.20.（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
7、产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p；0（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p作为p的值。0已知每件产品的检验费用为2元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。（）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.（12分）2，证明：f(x)-f(x)已知函数f(x)=1-x+alnx.x
8、（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x,x112x-x121的解集；（2）若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C7B2B8D3A9C4B10A5D11B6A12A二、填空题136三、解答题17解：14-63151616-332（1）在ABD中，由正弦定理得BDAB=sinAsinADB.=,所以sinADB=由题设知，52sin45sinADB25.由题设知，ADB90，所以cosADB=1-223=255.（2）由题设及（1）知，cosBDC=sinADB=在BCD中，由余弦
9、定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC2=25+8-25225=25.25.可得PH=3，EH=.所以BC=5.18解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PEPF.322333uuuruuur),D(-1,-,0)，DP=(1,)，HP=(0,0,)为平面A
10、BFD则H(0,0,0)，P(0,0,的法向量.3232222uuuruuur设DP与平面ABFD所成角为q，则sinq=|uuuruuur|=4=3HPDP3|HP|DP|34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.34.)或(1,-由已知可得，点A的坐标为(1,2222).x+2或y=x-2.所以AM的方程为y=-2222（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k0)，A(x,y)，B(x,y)，1122则x2，x
11、0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验.21解：（1）f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=-1ax2-ax+1-1+=-.x2xx2（）若a2，令f(x)=0得，x=或x=.（）若a2，则f(x)0，当且仅当a=2，x=1时f(x)=0，所以f(x)在(0,+)单调递减.a-a2-4a+a2-422)U(,+)时，f(x)0.所以f(x)在(0,)，当x(a-a2-4a+a2-4a-a2-4222(,+)单调递减，在(,)单调递增.a+a2-4a-a2-4a+a2-4222（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.x由于f(x)的两个极值点x，满足x
12、2-ax+1=0，所以xx=1，不妨设x1.1212122由于xf(x)-f(x)12x-x121=-1+axx12lnx-lnx1x-x122=-2+alnx-lnx1x-x122=-2+a-2lnx2，1-x22a-2等价于-x+2lnx0.x所以f(x1)-f(x2)x-x121222设函数g(x)=1-x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+)单调递减，又g(1)=0，从而当xx(1,+)时，g(x)0.x所以1-x+2lnx0，即222f(x)-f(x)12x-x12a-2.22解：（1）由x=rcosq，y=rsinq得C的直角坐标方程为2(x+1)2+y2=4.（2）由（1）
13、知C是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆.2由题设知，C是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l，y轴11左边的射线为l.由于B在圆C的外面，故C与C有且仅有三个公共点等价于l与C只221212有一个公共点且l与C有两个公共点，或l与C只有一个公共点且l与C有两个公共点.222212k2+1当l与C只有一个公共点时，A到l所在直线的距离为2，所以|-k+2|121=2，故k=-43或k=0.经检验，当k=0时，l与C没有公共点；当k=-时，l与C只有一个公共点，341212l与C有两个公共点.22当l与C只有一个公共点时，A到l所在直线的距离为2，所以222|k+2|k2+1=2，故k=0.经检验，当k=0时，l与C没有公共点；当k=时，l与C没有公共点.33或k=441222综上，所求C的方程为y=-|x|+2.3（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=2x,2,23解：14-2,x-1,-1x1的解集为x|x.12（2）当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|1成立.若a0，则当x(0,1)时|ax-1|1；，所以1，故00，|ax-1|1的解集为0x综上，a的取值范围为(0,2.22aa