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1、两个不同型部件冷贮备系统的几何过程模型孟宪云，刘海涛，李芳，张建龙，付钦慧（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：为了解决由“修复非新”部件组成的可修系统，运用几何过程理论和补充变量方法，研究了由两个不同 型部件和一个修理工组成的可修型冷贮备系统。假定两个部件的工作寿命和修理时间都服从指数分布，对部件 1 的修理是几何维修而对部件 2 的修理则是修复如新，得到了系统的可用度、可靠度等可靠性指标，最后还给出了 修理工空闲的概率。该成果具有一定的理论和实际意义。 关键词：几何过程；补充变量；马尔可夫过程；拉普拉斯变换中图分类号：O 213.2文献标识码：AGeometric pro
2、cess model for two type components in cold standby systemMENG Xianyun，LIU Haitao，LI Fang，ZHANG Jianlong，FU Qinhui(School of Sciences, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)Abstract: In order to study the repairable system composed of “repaired-but-not-new” components, using the geometric pro
3、cess theory and the supplementary variable method, this paper investigates the cold standby repairable system consisting two different types of components and one repairman. Assuming that the working lives and repair times of two components follow the exponential distribution, the repair of the comp
4、onent 1 is geometrical repair and the repair of the component 2 is as good as new, the some important indices such as system availability, reliability, and systems average working time to first failure are obtained. Also the study provides the probability of repairmans idle time. The results have so
5、me theoretical and practical significances.Key words：geometric process; supplementary variable; Markov process; Laplace transform0引言目前，可靠性分析的研究通常假定部件能够修 复如新，实际情况并非如此，在性能上修理过的部 件往往比新使用的要差些，当部件使用时间增加 时，使用寿命会越来越短，因而故障后修理时间就 会越来越长1。因此，对于“修复非新”部件组成 的可修系统的研究具有理论意义和实际应用价值。 解决这一问题，通常利用几何过程理论与补充变量 法相结合去进行分析。
6、文献2仅基于几何过程， 对单部件可修系统的可靠性进行了分析。文献3 研究了有优先维修权和优先使用权的两个不同型 部件和一个修理工组成的可修型冷储备系统的几 何过程模型。文献4研究了两个相同部件和一个 修理工组成的可修型冷储备系统的几何过程模型。成的可修型冷储备系统。假设两个部件的工作寿命 和修理时间都服从指数分布，对部件 1 的修理是几 何维修而对部件 2 的修理则是修复如新。运用几何 过程理论和补充变量方法, 得到了系统的可靠性 指标。1 模型假设假设 1在初始时刻两部件都是新的，部件 1 工作，部件 2 冷贮备。假设 2两部件都正常工作时，部件 1（2）工 作，部件 2（1）冷贮备；两部件
7、都故障时，部件 1（2）修理，部件 2（1）等待；对部件 1 的修理是 几何维修，对部件 2 则修复如新。假设3部件1的第 n 1 次修理完成与第 n 次 修理完成之间的间隔成为系统的第 n 个周期，n = 1,本文研究由两个不同型部件和一个修理工组2, ,(i ) (i ) X n 和Yn(i = 1, 2) 分别记第 n 周期中部件 i收稿日期：2010-05-23 基金项目：河北省教育厅计划基金资助项目（2007323）；河北省自然科学基金资助项目（A2005000301） 作者简介：孟宪云（1954-），女，黑龙江 尚志人，教授，主要从事可靠性理论及优化方面的研究；刘海涛 (1982-
8、 ), 男，山西 大同人，硕士，主要从事可靠性理论及应用方面的研究，E-mail: liuhaitao-。的工作时间和修理时间。它们的分布为1( d + + ) p(t ) = p(t ) F(1)n(t ) = F (an1t ) = 1 expan1 tdt21311 01G(1)n(t ) = G(bn1t ) = 1 expbn11t( d + ) p(t) = p(t )F(2)n(t ) = 1 exp2tdt1412 31dG(2)n(t ) = 1 exp2t(+2 ) p51 (t ) = 1 p21 (t) = 0 dt式中，(i ) (i ) X n ，Yn, i = 1
9、, 2 ， n = 1, 2, 相互独立。初始条件为p01 (0) = 1 ，其余均为 0 。2系统分析记 pjk (s) =e st p0jk(t )dt 为 p jk(t) 的拉普拉斯变记 N (t ) 为系统在 t 时刻所处的状态，则有换，对微分方程两边作拉普拉斯变换得0, 部件1工作，部件10 k2贮备；(s + ak 1 ) p(s) = p2 2 k(s)(1)21k1, 部件 2工作，部件 1贮备；(s + ) p (s) = bk 2 p(s)1 3k 1(2)2, 部件1在工作，部件N (t ) = 2在修理；(s + + ak 1 ) p (s) =3, 部件 2在工作，部
10、件1在修理；2 1 2 k p (s) + bk 2 p(s)(3)4, 部件1在修理，部件2在待修；2 1k(s + 1 4 k 1+ bk 1 ) p (s) =5, 部件 2在修理，部件1在待修。k 12 1 3k (4)显然，N (t ), t 0 是一随机过程，其状态空a 1 p0 k (s) + 2 p5k (s)间为 = 0,1, 2, 3, 4, 5 ，工作状态集为W = 0,1,(s + bk 1 ) p (s) = p (s)(5)14 k2 3k2, 3 ，障状态集为 F = 4, 5 。根据假设，此过程(s + ) p (s) = ak 1 p(s)(6)不是马尔可夫过
11、程，因此，部件 1 在 t 时刻所处的25k1 2 k周期数表示为补充变量 S (t) ，则一个二维马尔可夫 过程为N(t), S(t),t 0，其状态概率记为(s + 1 ) p01 (s) = 111p (s) = 0(7)p jk (t ) = PN (t ) = j, S (t ) = k, j , k = 1, 2, (s + + ) p (s) =11 (s)得(8)(9)(10)(11)(12)(13)1 (s)(14)2121 通过分析，当 k 2 时，状态概率可以从下列微分 方程中解出(s + 2 + 1 ) p31 (s) = 1 p01412 31(s + ) p (s)
12、 = p (s( d + ak -1 ) p(t ) = p(t) (s + 2 ) p51 (s) = 1 p21 (sdt10 k2 2 k将式分别代入式可( d + ) p(t) = bk 2 p(t) (1),(2),(5),(6)0 kp (3),(4)1 k( s ) = 2 2 1 p ( s )dt21k1 3k 1 1 3 5( d + + ak 1 ) p(t ) = p(t ) + bk 2 p(t ) ak 1 bk 2 1kdt 212 k2 1k1 4 k 1p (s) =1 1 2 2 460 k p( d + + bk 1 ) p(t ) = ak 1 p(t
13、) + p(t )则有dt2 1 3k1 0 k2 5kak1 bk2 p(s) ( d + bk 1 ) p(t) = p(t) p (s) =1 2 1 2 1 2 0k1= p (s) M(15)dt14 k2 3k0k 1 2 3 4 5 6 02 k( d + dt2 ) p5k1 2 k(t ) = ak 1 p(t ) 初始条件可表述为 1( d + ) p(t) = 0p01 (s) =s + 1, p11 (s) = 0dt101p11 (t ) = 021p (s) =1s + + ( d + + ) p(t) = p21(t ) = 0 1dt11212 11p31 (s
14、) =(s + )(s + + )121 41p (s) = 1 2 1 2 1 1211(s + )(s + + )(s + )(s + 1 )(s + 1 )(s + 2 + 1 )(s + a1 + 2 )51p (s) = 1122(s + + )(s + )32p (s) =a p (s) 1 02s +2 +b1+ 12(s + 2 )(s +2 +b1)(s +1 +2 )将初始条件代入式(1),(2),(3)可得由托贝尔（Tauber）定理得系统的稳态可用度02p (s) =12 12 (2s + 2 + 1 )(s + 1 )(s + 2 )(s + 1 )(s + a1 )
15、(s + 2 + a1 )(s + 2 + 1 )为 0 且与物理直观一致。事实上，由于部件 1 是“修 复非新”的，当其工作时间越来越短则修理时间就式中，11 = s + ak 1 ，2 = s + 2 ，会越来越长，这就意味着当 t + 时极限可用度 趋于 0。 = s + + ak 1 ，= s + + bk 2 ，定理 2设系统可靠度为 R(t ) ，则 R(t ) 的拉普32142151 = s + bk 2 ，6 = s + 2 ，拉斯变换为1 = 2s + 2 + bk 21 ， 2 = 2s + 2 + ak 21 ，R (s) =s + 1 + 2 + 1(s + )(s +
16、 + )+ k =21 + 13 + 1 + 1 N k q (s)01k ai 1 bi 2 1212 224证明 为确定可靠度函数 R(t ) ，只需考虑一个M k =1 2 1 2 1 2 。i =3123456带有吸收态的二维连续的马尔可夫过程 将初始条件与 p02 (s) 反复代入式 (15) 求得 N (t), S(t) ，t 0 ，在基本模型中令系统故障状态p0 k (s), k = 3, 4, 。同理可 得 p1k (s) ,p2 k (s) ,F = 4, 5 为吸收态，得到N (t ), S (t ), t 0 。状 态概率记为p3k (s) , p4 k (s) , p5
17、k (s) , k = 2, 3, 4, 又可以从式(1)至式(6)推出。3主要结果及证明q jk = N (t) =则有j, S (t ) = k, j , k = 1, 2,定理 1 设系统在 t 时刻的可用度为 A(t ) ，则系 统的稳态可用度为A = lim A(t ) = lim sA (s) = 0R(t) = P(T t) = q0k (t) + q1k (t) + q2k (t) + q3k (t)k =1对其作拉普拉斯变换得R (s) = q (s) + q (s) + q (s) + q (s) (16)t +s 00 k1kk =12 k3 k证明 由系统瞬时可用度的定
18、义知系统在 t 时刻的可用度为类似前面的讨论，当 k 2 时，相应的微分方程为A(t ) = PN (t ) W = p0 k (t) + p1k (t ) +k =1( d + ak 1 )qdt10 k(t ) = 2 q2 k(t ) p2 k (t ) + p3k (t )( d)( ) k 2( ) 则 A(t ) 的拉普拉斯变换为+ 2dtq1k t = b1q3k 1 t ( d + + ak 1 )q(t ) = q(t ) A (s) = p0 k (s) + p1k (s) + p2 k (s) + p3k (s) =k =1 dt212 kdk 12 1kk 1 p01
19、(s) + p11 (s) + p12 (s) + p13 (s) + p02 (s) +1222320 kp (s) + p (s) + p (s) + p (s) +(+ 2 + bdt初始条件为1 )q3k (t ) = a1q0 k (t) 1k2 k3kp (s) + p (s) + p (s)k =3q01 (0) = 1，其余均为 0 。对以上各式作拉普拉斯变换得10 k2 2 k21k在式(2),(3),(4)中令 k = 2 得(s + ak 1 )q(s) = q(s)(17)12p (s) =11(s + )q (s) = bk 2 q(s)1 3k 1(18)(s +
20、1 )(s + 2 )(s + 2 + 1 )k 1 (s + 2 + a1 )q2 k (s) = 2 q1k (s)(19)22p (s) =12 1+ (s + + bk 1 )q (s) = ak 1 q(s)(20)(s + 1 )(s + 2 )(s + 2 + 1 )(s + a1 + 2 )213k由式(17)至式(20)可得1 0 kak2 bk2 q(s) 0kq (s) =1 21 2 0k1=q (s) N(21)I (s) = p (s) + p (s) = p (s) + p (s) +123401k0 kk =11 kk =101021k01kq (s) = 13
21、 q (s) N(22) p (s) + p (s) + p (s) + p (s)120 kk =311121 kk =3q (s) = 1 q (s) N(23)根据 Tauber 定理，得到修理工的稳态空闲概率为 0。这是符合直观的结果，由于部件 2 不能修的2 k01k2和新的一样好，所以它的逐次修理时间也随机递q3 k ( s ) =14其中 q0 1k ( s ) N(24)增。最后，部件 2 变的几乎不能再修，修理工也不 得不永远修下去。因此当 t + 时修理工空闲概 率为 0。Nk =ki = 2ai 2 bi 2 1 2 1 2 1 2 3 44结论对于“修复非新”部件组成的
22、可修型冷贮备系由初始条件变换式为01q (s) = 111， q (s) = 0统，运用几何过程理论和补充变量方法, 求得了系 统的可用度、可靠度、首次故障前平均工作时间和 修理工空闲的概率，该模型有一定的理论和实际意1s + 义。 1q21 (s) = 0 ， q31 (s) =211(s + + )(s + )参考文献:将以上结果及式(21)至(24)代入式(16)即得所证定 理的 R (s) 。定理 3 系 统首次故 障 前平均工 作 时间为 MTTF = 1 + 2 + 1 +1 (2 + 1 )1 曹晋华，程 侃.可靠性数学引论M.北京:科学出版社,1986.2 马丽琼.基于几何过程
23、的单部件可修系统的可靠性分析J.佳木斯大 学学报,2010,28(1):136-139.3 王冠军，张元林.有优先维修权和优先使用权的冷贮备系统的几何过程模型J.经济数学,2005,22(1):42-49. 1 ak 1 ak 1ak 1k bi 2 1 + 1 1 + 1 + 1 1 2 4 张元林. 几何过程与冷贮备系统分析J. 中央民族大学学报,1995,k =2 1式中，2 22 2i = 2 1 24(1):15-22.5 Zhang Y L. A geometric-process repair-model with good-as-new = + ak 1 ，= + bk 2 .
24、121221preventive repairJ. IEEE Trans.Reliability,2002,51(2):223-228.证明运用拉普拉斯变换的性质 MTTF = + R(t )dt = lim R (s) 及定理 2 即得结论。0 s 0定理 4 设修理工空闲的概率为 I (t ) ，则修理工的稳态空闲概率为I = lim I (t ) = lim sI (s) = 06 Lam Y, Zhang Y L. A geometric-process maintenance model for a deteriorating system uneder a random envir
25、onmengtJ. IEEE Trans.Reliability,2003,52(1):83-89.7 Lam Y. Gemetric processes and replacement problemJ. ActaMathematicae Applicate Sinica,1988,(4):366-377.t +s 08 Stanley A D J. On gemetric process and repair replacement problemsJ.证明 修理工被闲置的条件为部件 1 工作、部件 2 贮备或部件 2 工作、部件 1 贮备，所以修理工 人在时刻 t 空闲的概率为I (t ) = PN (t ) = 0 + PN (t ) = 1 = p0 k (t ) + p1k (t ) Microelectronic and Reliablity,1993,(33):489-491.9 程 侃.寿命分布类与可靠性数学引论M.北京：科学出版社,1999.10 成国庆,李 玲,唐应辉.不能修复如新的两部件串联系统的可靠性 分析J.数学的实践与认识,2008,38(10):77-83.k =1I (t ) 的拉普拉斯变换为k =1