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1、专题04推理与证明【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M，月球质量为M，地月距离为R，L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：2M1(R+r)2+M2=(R+r)r2M1设a=R3rR，由于a的值很小，因此在近似计算中3a3+3a4+a5(1+a)23a3，则r的
2、近似值为AMM2R1BM2R2M1C33M2RM1D3M2R3M1【答案】DR3R2【解析】由a=rR，得r=aR，因为M1(R+r)2+M2=(R+r)r2M1，所以M1R2(1+a)2M2+=(1+a)a2R2M1，即MM2=a2(1+a)-11a5+3a4+3a3=3a3，解得a=3(1+a)2(1+a)2M23M1，所以r=aR=3M2R.3M1【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错【母题来源二】2017年高考全国卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老2师说：你们四人中有2位优秀，位良好，我现
3、在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩故选D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正
4、确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)【命题意图】1合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要考查合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明，试题难度不大，多为中低档题【答题模板】1根
5、据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比2演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略3综合法的证明步骤如下：分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程4分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可5反证法的一般步骤(用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾
6、，从而达到新的否定即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真【方法总结】1归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠2类比推理应用的类型及相应方法类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，
7、求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移3解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：明确各行、各列数的排列顺序；分别归纳各行、各列中数的规律；按归纳出的规律写出第n行第m个数解决此类问题一般需要转化为求数列的通项公式或前n项和等4演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确5逆向思考是用分析法证明的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方
8、向是使问题顺利获解的关键6证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证7用反证法证明不等式要把握的三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的1【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考七】某演绎推理的“三段”分解如下：函数f(x)=lgx是对数函数；对数函数y=logax(a1)是增函数；函数f(x)=lgx
9、是增函数则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是ACBD【答案】C【解析】函数f(x)=lgx是对数函数；对数函数y=logax(a1)是增函数；函数f(x)=lgx是增函数，大前提是，小前提是，结论是故排列的次序应为：，故选C2【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】下列推理不属于合情推理的是A由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电B半径为r的圆面积S=pr2，则单位圆面积为S=pC由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质D猜想数列2，4，8，的通项公式为an=2nnN+【答案】B【解析】对于选项A，由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电是归纳推理，所以属于合情
10、推理，所以该选项是合情推理；对于选项B，半径为r的圆面积S=pr2，则单位圆面积为S=p，属于演绎推理，不是合情推理；对于选项C，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质，属于类比推理，所以是合情推理；对于选项D，猜想数列2，4，8，的通项公式为an=2nnN+，是归纳推理，所以是合情推理故选B3【陕西省榆林市2019届高考第三次模拟测试】西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，
11、由此可知下列推测一定正确的是A今天是周四B今天是周六CA车周三限行DC车周五限行【答案】A【分析】由题意首先考查选项A，利用推理的方法找到符合题意的选项之后即可排除其余的选项【解析】首先考查选项A：若今天是周四，A，B，C，D，E五辆车分别在周一，周三，周二，周五，周四，满足题意，据此可排除B，C，D，故选A【名师点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力4【黑龙江省哈尔滨市第六中学上学期期末】2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人
12、；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是A甲C丙B乙D丁【答案】B【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，即可得出结果【解析】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B【名师点睛】本题主要考查推理案例，属于难题推理案例的
13、题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决5【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A甲C丙B乙D丁【答案】B【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读
14、，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果【解析】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B6【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期一模】在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参
15、与此案，则丁也一定没参与据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是A丙、丁C甲、乙B乙、丙D甲、丁【答案】A【分析】假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁，依次分析题设条件，能求出结果【解析】假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故A正确；假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故B错误；假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故C错误；假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故D错误；故选A7【新疆2019届高三第三次诊断性测试】现将甲、乙、
16、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位那么坐在座位号为3的座位上的是A甲C丙B乙D丁【答案】C【分析】对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断【解析】当甲坐座位号为3时，因为乙不坐座位号为1和4的座位所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3当甲坐座位号为4时，因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：所以丁只能坐座位号1，又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就
17、不坐座位号为1的座位所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙所以坐在座位号为3的座位上的是丙故选C8【重庆一中2019届高三下学期5月月考】在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了”请问下列说法正确的是A甲说对了C乙说对了B甲做对了D乙做对了【答案】A【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论【解析】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对
18、了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意所以做对的是丙，说对的是甲故选A【9西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知俩人获奖，则获奖的是A甲和丁C乙和丙B甲和丙D乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从
19、而获奖的是乙和丁，故选D【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法10【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】观察下列式子，ln2111ln4+，根据上述规律，第n个不等式应该为_357111【答案】ln(n+1)+352n+111【解析】根据题意，对于第一个不等式，ln2，则有ln(1+1)，321+1111，ln3+，335对于第二个不等式，ln31111+，则有ln(2+1)+，35322+1111111对于第三个不等式，ln4+，则有ln(3+1)+，3573523+1依此类推：第n个不等式为：ln(n+1)11+35+12n+1，11故答案为：ln(n+
20、1)+35+12n+1【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律11【陕西省延安市2019届高考模拟】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科，已知：甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；在延安工作的教师不教学科；在咸阳工作的教师教学科；乙不教学科可以判断乙工作的地方和教的学科分别是_、_【答案】宝鸡，【解析】由得在咸阳工作的教师教A学科；又由得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由得乙不教B学科，结合乙不教A学科，可得乙必教C学科，所以由得乙不在延安工作，由得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和C学科故答案为：宝鸡，C【名师点睛】本题考查简单的合理推理，考查逻辑推理能力，是基础题