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1、精品文档用心整理专题06从地平面到脚手架-分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1分步通分，步步为营；2分组通分，化整为零；3减轻负担，先约分再通分；4拆项相消后通分；5恰当换元后通分，学习分式时应注意：(1)分式与分数的类比整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范
2、围，这是分式区别于整式的关键所在分式问题比起整式问题，增加了几个难点；(1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；(3)需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例1】m_时，分式(m-1)(m-3)m2-3m+2的值为0.（杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式m-1就不为0【例2】已知abc=1，以a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为()111+abab+c-1bc+-1ca+-1A.1B-12C2D-23（太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件a+b+c=2，对分母分解因式，分解
3、后再通分.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【例3】计算：(1)112a4a3+a-ba+ba2+b2a4+b4a2b2ab(2)（3）（4）（武汉市竞赛试题）ab11a2+3b2+-a3+a2b+ab2+b3a3-a2b+ab2-b3a2-b2a2+b2a4-b4（天津市竞赛试题）x3-1x3+12(x2+1)+-x3+2x2+2x+1x3-2x2+2x-1x2-1（赣州市竞赛试题）b2a2ba+2+b3a3bab2a2-3(-)+-2a3b3aba2b2（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注
4、意到题中各式是关于baba或的代数式，考虑设=x，=y，则xy=1，通过abab换元可降低问题的难度当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.【例4】求最大的正整数n，使得n3+100能被n10整除（美国数学邀请赛试题）解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆
5、项变形的一种资料来源于网络仅供免费交流使用【例5】已知ab精品文档用心整理1bc1ca1abc=，=，=，求a+b15b+c17c+a16ab+bc+ca的值（太原市竞赛试题）+解题思路：设法求出111的值abcbc则【例6】(1)设a，均为非零实数，并且ab=2(a+b)，bc=3(b+c)，ca=4(c+a)，a+b+c等于多少？（北京市竞赛试题）(2)计算：1222+12-100+500022-200+5000+k2k2-100k+5000+992992-9900+5000（上海市竞赛试题）解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得a，b，c的值；对于(2)，仔细观察，
6、即可发现其中规律1要使分式11-xA级有意义，则x的取值范围是_.xx2+112代数式y=的值为整数的全体自然数x的和是_.x+13已知x为整数，且222x+18+x+33-xx2-9（全国初中数学联赛试题）为整数，则所有符合条件的x值的和为_.（“希望杯”邀请赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用4若精品文档用心整理1112x+3xy-4y-=，则_.x2y3x-3xy-2y（“祖冲之杯”邀请赛试题）C当x=2时分式x-2D分式x5关于分式，下列四种说法中正确的是().A含有分母的代数式叫做分式B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a3，分式的值不变1x2-4的值为4x2+1的最小值为零（重
7、庆市竞赛试题）6已知分式(x-8)(x+1)x-1的值为零，则x的值为().A1BlC8D.l或8（江苏省竞赛试题）7.若x取整数，则使分式6x+32x-1的值为整数的x值有()A.3个B4个C6个D8个（江苏省竞赛试题）8若对于3以外的一切数mx+3-nx-3=8xx2-9均成立，则mn的值是()A.8B8C16D169计算：(1)1+41-x1+x1+x2+1+x4+12+81+x8；(2)1a-b+a+ba2+ab+b2-a2-ab+b21a-ba+b-；(3)b-ca2-ab-ac+bc-b2-bc-ab+acc2-ac-bc+ab；c-aa-b+(4)1x(x+1)(x+1)(x+2
8、)+(x+2)(x+3)+11+1(x+99)(x+100)(5)a-ba+b+b+cc+a+b-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)+(a+b)(b+c)(c+a)资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理1111-x210当x分别取，1，2，2006，2007，时求出代数式的值，2007200621+x2将所得结果相加求其和.（全国初中数学联赛试题）11已知11111111+=，求证：+=abca+b+ca2n+1b2n+1c2n+1a2n+1+b2n+1+c2n+1（波兰奥林匹克试题）12已知xyzux+yy+zz+u1u+x+=，则的值y+z+uz+u+xu+x+yx+y+zz+
9、uu+xx+yy+z（北京市竞赛试题）1如果使分式ax+7bx+11B级有意义的一切x的值，都使这个分式的值是一个定值，那么a，b应满足的条件是_.3x2+2x+1ABx+C=+2已知，其中A，B，C为常数，则B_.(x+1)(x2+2)x+1x2+2（“五羊杯”竞赛试题）m2+m(m+1)2+(m+1)+=，则m+n3设正整数m，n满足mn且_.11+11n2+n23（“宇振杯”上海市竞赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用1精品文档用心整理3x2+6x+54当x_时，分式有最小值，最小值是_.x2+x+12（全国初中数学联赛试题）5已知115+=aba+bba，那么代数式+的值是()abA
10、5B7C3D13+，N=+N，则M，N的关系为(6已知a，b满足ab1，记M=11ab1+a1+b1+a1+b)7以a，b，c为非零实数，且a+b+c0，若a+b-c8已知有理数a，b，c满足a+b+c=0，abc0，那么1A.MNBMNCMND不确定（全国初中数学联赛试题）a-b+c-a+b+c=，解cbac(a+b)(b+c)(+a)等于()abcA.8B4C2D1（天津市竞赛试题）11+的值是()abcA.正数B零C负数D不能确定（“希望杯”邀请赛试题）9化简：+(1+)+(1+)(1+)+(1+)(1+)(1+)-(1+)(1+)(1+)(1+(1)11111111111111)aba
11、cabdabcabcd(2)(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)+(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)10.n为自然数，若n+6n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+643+1996，4就是1996的一个吉祥数，试求1996的所有吉祥数的和（北京市竞赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理11.用水清洗蔬菜上残留的农药设用x(x1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为11+x现有a（a2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次试问用哪种方
12、法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由（孝感市中考试题）12.已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，求n的值.专题06从地平面到脚手架-分式的运算例13例2D提示:ab+c-1=(a-1)(b-1），bc+a-1=(b-1)(c-1），ca+b-1=(c-1)(c-1），再代入原式化简即解.8a7b2+a2例3(1)(2)0(3)0(4)a8-b8b2-a2提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.例4890提示:n3+100900=n2-10n+100-n+10n+10为整数.+=15,+=17,+=16,三式相加得2+=48.例5由已知得111111111ab
13、bccaabc原式=1=24111+abc例6(1)对已知三式取倒数,得111111=,=,=ab2(a+b)bc3(b+c)ca4(c+a).1111111112424+=,+=,+=,解得:a=,b=,c=24.ab2bc3ca457a+b+c=24241128+24=.5735(2)n2(100-n)2+n2-100n+5000(100-n)2-100(100-n)+5000=2n2-200n+10000n2-100n+5000=2,而502502-50100+5000=1,原式=492+1=99.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理A级1.x0且x1x2-1+12122.y=
14、x-1+，即x+1/12.x+1x+1X可取值为1，2，3，5，11，全体自然数x的和为22.3.124.-5115.D6.C7.B.8.D提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，则m-n=8m+n=06ab4162100a6-b6c-a1-x169.（1）；（2）；（3）；（4）x(x+100)；（5）01-1+x2110.取值成对互为倒数，先计算：1-x2x+1221+x=0，故其和为0.11.由条件得：1111a+b+=-，aba+b+ccab=-(a+b)(a+b+c)c.ba(a+b)ab+c(a+b+c)=0，即(a+b)(+c)(+c)=0，a=-b，或b=-c，或c=-
15、a.不妨设a=-b，则a2n+1=-b2n+1，左边=1111+=-b2n+1b2n+1c2n+1c2n+1；右边=11=-b2n+1+b2n+1+c2n+1c2n+1，故等式成立.12.由条件得：x+y+z+u=x+y+z+ux+y+z+ux+y+z+u=.y+z+uz+u+xu+x+yx+y+z（1）若x+y+z+u0，则由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.）（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u），y+z=-（u+x，原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.B级1.11a-7b=02.733.（23-m）（n+24）=52923-m=1，n+24=5
16、29m=22，n=505m+n=5274.-1，45.C6.B7.A8.A+1+1+1+1+1+1+1+9.原式=-1+1+11111111111abbacabdabc资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理1+1+1+=-1-1+1111abcd（2）1，提示：设x-y=a，y-z=b，z-x=c，则x-2y+z=a-b，x+y-2z=b-c，y+z-2x=c-a.10.n+6n3+63，n+6n3+1996；n+6n3+1996-216，即n+6n3+1780又1780=22589，n+661780的大于6的约数有10，20，89，178，356，445，890，1780，相应的n值是：4，14，83，172，350，439，884，1774.它们的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720.11.把水平平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少.这是因为，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用a单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为P=11+a，把a单位量的水平均分成两份11+1+=1+a+1+a0后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为：Q=a2a2241aa1+1+22=1a22a111+a1+22，即Q30且1001=71113，只有4n-1=143n=36.4n+100010014n-14n-1资料来源于网络仅供免费交流使用