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1、圆内接四边形【学习目标】1了解圆内接四边形和四边形的外接圆的定义；2掌握圆内接四边形的对角互补.【要点梳理】要点一、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补【典型例题】类型一、圆内接四边形1.如图，在圆的内接四边形ABCD中，ABC=120，则四边形ABCD的外角ADE的度
2、数是（）A130B120C110D100【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出ADC+B=180，ADC+ADE=180，然后根据同角的补角相等得出ADE=B=120【答案】B；【解析】解：四边形ABCD是圆内接四边形，ADC+B=180，ADC+ADE=180，ADE=BB=120，ADE=120【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键举一反三：，【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BAD=108E是BC延长线上一点，若CF平分DCE，则DCF的大小是（）A52B54C56D60【答案】B【解析】解：四边形ABCD是
3、圆内接四边形，BAD=108，E是BC延长线上一点，DCE=BAD=108CF平分DCE，DCF=DCE=542.（2016聊城）如图，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC若ABC=105，BAC=25，则E的度数为（）A45B50C55D60【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数，再由圆周角定理得出DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论【答案】B解：四边形ABCD内接于O，ABC=105，ADC=180ABC=180105=75=，BAC=25，DCE=BAC=25，E=ADCDCE=7525=50故选B【总结升华】本题
4、考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键举一反三：【变式】在O的内接四边形ABCD中，AB=AD，C=110，若点E在数上，求E的度【答案与解析】解：连接BD，C+BAD=180，BAD=180110=70，AB=AD，ABD=ADB，ABD=（18070）=55，四边形ABDE为圆的内接四边形，E+ABD=180，E=18055=1253.如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F（1）若E=F时，求证：ADC=ABC；（2）若E=F=42时，求A的度数；（3）若E=，F=，且请你用含有、的代数式表示A的大小（【思路点拨】1）根据外角的性质即可
5、得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得ECD=A，再根据三角形外角性质得ECD=1+2，则A=1+2，然后根据三角形内角和定理有A+1+2+E+F=180，即2A+=180，再解方程即可【答案与解析】解：（1）E=F，DCE=BCF，ADC=E+DCE，ABC=F+BCF，ADC=ABC；（2）由（1）知ADC=ABC，EDC=ABC，EDC=ADC，ADC=90，A=9042=48；（3）连结EF，如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，ECD=A，ECD=1+2，A=1+2，A+1+2+E+F=180，2A+=180，A=
6、90【总结升华】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补举一反三：【变式】已知：如图，EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC求证：AD平分EAC【答案】证明：如图，EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，EAD=DCBBD=DC，DBC=DCB又DBC=DAC，EAD=DAC，即AD平分EAC4.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM【思路点拨】首先在MA上截取ME=MC，连接BE，由BMAC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC，得到
7、BEC=BCE；再由AB=BD，得到ADB=BAD，而ADB=BCE，则BEC=BAD，根据圆内接四边形的性质得BCD+BAD=180，易得BEA=BCD，从而可证出ABEDBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM【答案与解析】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，BMAC，BE=BC，BEC=BCE，AB=BD，=，ADB=BAD，而ADB=BCE，BEC=BAD，又BCD+BAD=180，BEA+BCE=180，BEA=BCD，BAE=BDC，ABEDBC，AE=CD，AM=AE+EM=DC+CM【总结升华】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用