山东省临沂市2019年中考数学复习第三章函数第七节二次函数的综合运用课件.pptx

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1、考点一 线段、周长问题 例1(2017东营中考)如图，直线y x 分别与x 轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物 线yax2bx 经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点 H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标； (2)利用待定系数法可求得抛物线解析式； (3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线y x 分别与x轴、y轴

2、交于B，C两点， 点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0， ) ACOBCO90，ACOCAO90， CAOBCO. AOCCOB90，AOCCOB， 点A的坐标为(1，0),(2)抛物线yax2bx 经过A，B两点， 抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30， 当MD取得最大值时，DMH的周长最大,1(2014临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B(1，0)，直线y2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点A到直线CD的距离；,(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的

3、另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标,解：(1)直线y2x1，当x0时，y1， 则点C坐标为(0，1) 设抛物线的解析式为yax2bxc. 点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)在抛物线上， 抛物线的解析式为yx21.,(2)直线y2x1，当y0时，x . 如图，过点A作AFCD于点F.设直线CD交x轴于点E，则E ( ，0),在RtOCE中，OC1，OE ， 由勾股定理得CE . 设OEC，则sin ，cos . 则AFAEsin (OAOE)sin (1 ) ， 点A到直线CD的距离为 .,(3)平移后抛物

4、线的顶点P在直线y2x1上， 设P(t，2t1)， 则平移后抛物线的解析式为y(xt)22t1. 联立 化简得x2(2t2)xt22t0， 解得x1t，x2t2，即点P，Q的横坐标相差2， PQ,GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：,若点P为直角顶点，如图1， 则PGPQ2 . CG OGCGOC1019， G(0，9),若点Q为直角顶点，如图2， 则QGPQ2 . 同理可得G(0，9) 若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N. 此时PQ2 ，则GPGQ . 易证RtPMGRtGNQ，,GNPM，GMQN. 在RtQNG中，由勾股定理得GN2QN2GQ2，

5、 即PM2QN210. 点P，Q横坐标相差2，NQPM2， PM2(PM2)210，解得PM1， NQ3. 直线y2x1，当x1时，y1，,P(1，1)，即OM1， OGOMGMOMNQ134， G(0，4) 综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或 (0，9),考点二 图形面积问题 例2(2015临沂中考)在平面直角坐标系中，O为原点，直线y2x1与y轴交于点A，与直线yx交于点B，点B关于原点的对称点为C. (1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； 若点P的横坐标为t(1t1)，当t为

6、何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由,【分析】(1)联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点 对称可求得C点坐标，由直线y2x1可求得A点坐标，再 利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)当四边形PBQC为菱形时，可知PQBC，则可求得直线PQ 的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标； 过点P作PDy轴，交直线yx于点D，分别过点B，C作 BEPD，CFPD，垂足分别为E，F，设D(t，t)，则可用t 表示出S四边形PBQC，利用二次函数的性质求得最大值即可,【自主解答】 (1)解方程组 点B的坐标为(1，1) 点C和点B关于原点对称， 点C的坐标为(1，1) 又点A是直线y2x1

7、与y轴的交点， 点A的坐标为(0，1),设抛物线的解析式为yax2bxc， 抛物线的解析式为yx2x1.,(2)如图，,点P在抛物线上， 可设点P的坐标为(m，m2m1) 当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心， PQBC，即点P，Q在直线yx上， mm2m1， 解得m1 . 点P的坐标为(1 ，1 )或(1 ，1 ),如图，设点P的坐标为(t，t2t1) 过点P作PDy轴，交直线yx于点D， 分别过点B，C作BEPD，CFPD，垂足分别为E，F.,则D(t，t) PDt(t2t1)t21，BECF2， SPBC PDBE PDCF PD(BECF) (t21)2 t21， S四边形PBQC

8、2t22， 当t0时，S四边形PBQC有最大值2.,2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2 x4的 对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右 侧)，与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重 合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请 求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3， 3，解得a ， 抛物线的解析式为y x2 x4. 当y0时

9、， x2 x40， 解得x12，x28， 点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，y x2 x44， 点C的坐标为(0，4) 设直线BC的解析式为ykxb(k0) 将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得 直线BC的解析式为y x4.,假设存在，设点P的坐标为(x， x2 x4) 如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，,则点D的坐标为(x， x4)， PD x2 x4( x4) x22x， SPBC PDOB 8( x22x)x28x (x4)216. 10， 当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16. 0x8， 存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,

10、(3)设点M的坐标为(m， m2 m4)，则点N的坐标为 (m， m4)， MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3，| m22m|3. 当0m8时，有 m22m30， 解得m12，m26，,点M的坐标为(2，6)或(6，4) 当m0或m8时，有 m22m30， 解得m342 ，m442 ， 点M的坐标为(42 ， 1)或(42 ， 1) 综上所述，M点的坐标为(42 ， 1)，(2，6)， (6，4)或(42 ， 1),考点三 动点、存在点问题 例3(2016临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y 2x10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4) 连接AC，

11、BC. (1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形 状；,(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t s，当t为何值时，PAQA;,(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物 线解析式，用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形； (2)设运动时间为t s时，OP2t，CQ10t，在

12、RtAOP和 RtACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PAQA求得t的 值即可； (3)分三种情况，用平面坐标系内两点间的距离公式计算即可,【自主解答】(1)在直线y2x10上， 令y0得x5，令x0得y10， 即A(5，0)，B(0，10) 点A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在抛物线yax2bxc上，,抛物线的解析式为y x2 x. AC2(85)24225，BC282(104)2100， AB252102125， AC2BC2AB2， ABC是直角三角形,(2)设运动时间为t s时，OP2t，BQt，则CQ10t. 当点P运动到端点时，t 5， 当t5时，BQ510， t

13、的取值范围是0t5. 在RtAOP和RtACQ中， PA2OA2OP2254t2，,QA2QC2AC225(10t)2t220t125. PAQA，PA2QA2， 即t220t125254t2， 解得t110(舍去)，t2 ， 即运动时间为 s时，PAQA.,(3)抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点， 对称轴为x . 设存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形， 设M( ，y)， AM2(5 )2y2 y2， BM2( )2(10y)2 y220y100.,当AMAB时，则AM2AB2，即 y2125， 解得y1 ，y2 ， 此时点M的坐标为( ， )或( ， ),当BM

14、AB时，则BM2AB2， 即 y220y100125. 解得y110 ，y210 ， 此时点M的坐标为( ，10 )或( ，10 ),当AMBM时，则AM2BM2， 即 y2 y220y100， 解得y5， 此时点M的坐标为( ，5)，恰好是点AB的中点，不能构成三 角形，故舍去 综上所述，存在点M使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角 形，此时点M的坐标为,3(2018临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，ACB 90，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)，抛物 线yx2bxc经过A，B两点 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于

15、点D，交线段AB于点E，使PE DE.,求点P的坐标； 在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在请说明理由,解：(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB1. OC2OB，OC2，则BC3. 又tanABC2， AC2BC6，则点A的坐标为(2，6) 把点A，B的坐标代入抛物线yx2bxc中得 该抛物线的解析式为yx23x4.,(2)由点A(2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y2x2.,如图，设点P的坐标为(m，m23m4)，则点E的坐标为 (m，2m2)，点D的坐标为(m，0)， 则PEm2m2，DE2m2. 由PE D

16、E得 m2m2 (2m2)， 解得m1. 又2m1，m1，点P的坐标为(1，6),M在直线PD上，且P(1，6)， 设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2， BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245. 分三种情况： ()当AMB90时，有AM2BM2AB2， 1(y6)24y245，解得y3 ， M(1，3 )或(1，3 )；,()当ABM90时，有AB2BM2AM2， 454y21(y6)2，解得y1， M(1，1) ()当BAM90时，有AM2AB2BM2， 1(y6)2454y2，解得y ， M(1， ),综上所述，点M的坐标为(1，3 )或(1，3 ) 或(

17、1，1)或(1， ),考点四 二次函数综合题 百变例题(2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2bx c(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐 标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C， Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐 标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得； (2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解

18、析式，联立求出M坐标即可； (3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点 A(3，0)，B(1，0)， ya(x3)(x1) 又抛物线经过点C(0，3)， 3a(03)(01)， 解得a1， 抛物线的解析式为y(x3)(x1)， 即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，,BAMABM90. 在RtBCO中， BCOABM90， BAMBCO. A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， AOCO3，OB1.,又BAMBCO， BOCAON90， AO

19、NCOB， ONOB1， N(0，1),设直线AM的函数解析式为ykxb， 把A(3，0)，N(0，1)代入得 直线AM的函数解析式为y x1. 同理可求直线BC的函数解析式为y3x3. 解方程组得 切点M的坐标为,(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形 设Q(t，0)，P(m，m22m3) 分两种情况考虑： 当四边形BCQP为平行四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30， 解得m1 .,当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3)； 当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3) 当四边形BCPQ为平行

20、四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1t0m，003(m22m3)， 解得m0或2.,当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3) 综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边 形，点P的坐标为(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比 解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC (34)1 24 33 3， SABC ABOC 436， SACDSABC3612.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在

21、抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下：,如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R. 四边形BCFE为平行四边形， EF綊BC， ERFBOC， RFOC3， 3x22x3， 解得x2或x0(与C点重合，舍去)， F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.,四边形BCEF为平行四边形， EF綊BC， EFSBCO， FSOC3， 3x22x3， 解得x11 ，x21 . 综上所述，F点为(2，3)或(1 ，3)或(1 ，3),变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过

22、G作GHy轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长,解：设直线AC的解析式为ykx3，则有03k3， 解得k1， 故直线AC的解析式为yx3. 已知点G的横坐标为m， 则G(m，m3)，H(m，m22m3)， GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在点W的坐标为(1，0)或(1， )或(1， ) 或(1，1) 提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC ， WB WC WBC为等腰三角形： 当BCWC时，,解得m0(m6时，W，B，C三点共线，舍去)； 当WBWC时， 解得m1； 当BCWB时， 解得m . 综上所述，点W的坐标为(1，0)或(1， )或(1， )或(1，1),