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1、5-1-1-1.算式谜（一）教学目标数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题。知识点拨一、基本概念，填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号）从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。算符：指+、-、（）、。二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始
2、，逐步向前推想，从而得到等式。三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.（二）性质：奇数偶数.整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数.整数的乘法有以下性质：奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数.例题精讲模块一、巧填算符（一）巧填加减运算符号【例1】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。888888
3、88=1000【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【解析】要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是888，而88888=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-97624，这只要三者相加就行了。本题的答案是：888+88+8+8+8=1000【答案】888+88+8+8+8=1000【例2】在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：123456789101【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第2题【解析】（不唯一）1+23+4+5+67-8+9=101或12-3+
4、4-5+6+78+9=101【答案】1+23+4+5+67-8+9=101或12-3+4-5+6+78+9=101【例3】在下面的中填入“+”、“一”，使算式成立：31=0【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【答案】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【巩固】在下面的中填入“+”、“一”，使算式成立：2=1【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第2题，6分【解析】11+10+93+2=65，所以只要将其
5、中和为32的几项的加号改成减号即11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1【答案】11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1【例4】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。123456789=100【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【解析】在本题条件中，不仅限制了所使用运算符号的种类，而且还限制了每种运算符号的个数。由于题目中，一共可以添四个运算符号，所以，应把123456789分为五个数，又考虑最后的结果是100，所以应在这五个数中凑出一个较接近100的，这个数可以是123或89。如果有一个数是123，就要使剩下的后六个数凑出23，且把它们分为四个数，
6、应该是两个两位数，两个一位数.观察发现，45与67相差22，8与9相差1，加起来正巧是23，所以本题的一个答案是：12345-678-9100。如果这个数是89，则它的前面一定是加号，等式变为123456789=100，为满足要求，1234567=11，在中间要添一个加号和两个减号，且把它变成四个数，观察发现，无论怎样都不能满足要求。补充说明：一般在解题时，如果没有特别说明，只要得到一个正确的解答就可以了。这类限制比较多的题目的解决过程中，要时时注意按照题目的要求去做，由于题目的要求比较高，所以解决的方法比较少。【答案】12345-678-9100（二）巧填四则混合算符号【例5】请将四个4用四
7、则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5、6、7、8、9。【考点】巧填算符之凑数法【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第10题，10分【解析】(44+4)4=5，4+(4+4)2=6，4+4-44=7，4+4+4-4=8，4+4+44=9【答案】(44+4)4=5，4+(4+4)2=6，4+4-44=7，4+4+4-4=8，4+4+44=9【例6】在下面式子中的W中选择填入+使等式成立。1W2W3W4W5W6W7W8W9W10=100【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第6题【解析】12+34+5+6+78+9+10=100【答案
8、】12+34+5+6+78+9+10=100-【例7】在下面算式合适的地方添上+、，使等式成立。12345678=1【考点】巧填算符之逆推法【难度】3星【题型】填空1【解析】这道题的特点是等号左边的数字比较多，而等号右边的得数是最小的自然数1，可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“-”号。这时，算式变为：234567-81只需让1234567=9就可以了，考虑在7的前面添“”号，则算式变为12345679，只需让123456=2就可以了，同开始时的想法，在6的前面添“-”号，算式变为12345-62，这时只要123458即可.同样，在5前面添“”号，则只需12343即可.观察发现，只要这样
9、添：123-43就得到本题的一个解为123-4+5-6+7-8=1。补充说明：一般逆推法常限于数字不太多（如果太多，推的步骤也会太多），得数也比较小的题目，如例4.在解决这类问题时，常把逆推法和凑数法结合起来使用，我们称之为综合法.所以，在解决这类问题时，把逆推法和凑数法综合考虑更有助于问题的解决。【答案】123-4+5-6+7-8=1-【巩固】在下列算式中合适的地方添上+、，使等式成立。987654321=1993，123456789=1993【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【解析】本题的特点是所给的数字比较多，而得数比较大，这种题目一般用凑数法来做，在本题中应注意可-使用的
10、运算符号只有+、。中，6543=1962，与结果1993比较接近，而1993-1962=31，所以，如果能用98721凑出31即可，而最后两个数合在一起是21，那么只需用987凑出10，显然，9+8-7=10，就有：98-76543+21=1993中，与1993比较接近的是3456=2070.它比1993大77，现在，剩下的数是12789，如果把7、8写在一起，成为78，则无论怎样，前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到89=72，而7+89=79，12=2，79-2=77.所以这个问题可以如下解决：12+3456-7-89=1993。【答案】98-76543+21=1993；12+345
11、6-7-89=1993-【例8】在下面算式合适的地方添上+、号，使等式成立。3333333333333333=1992【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【解析】本题等号左边数字比较多，右边得数比较大，仍考虑凑数法，由于数字比较多，在凑数时，应多用去一些数，注意到3333=999，所以3333+3333=1998，它比1992大6，所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了，事实了，3+3+3-3+3-3+3-3=6，由于要减去6，则可以这样添：3333+3333-3-3+3-3+3-3+3-3=1992。【答案】3333+3333-3-3+3-3+3-3+3-3=1992【例9】在下面
12、合适的地方添上适当的运算符号使算式成立（相邻的几个数可以组成一个数）22222222=208【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第2题22222222【解析】222-+2=208【答案】222-+2=208【例10】利用运符号及括号，把数1、3、7、9连成结果等于5的算式【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛，【解析】本题属于数字谜问题，经过尝试得到(9-7+3)1=5【答案】(9-7+3)1=5【例11】在方框中添加适当运算符号(不能添加括号)，使等式成立【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】
13、填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】9+3+4+19-8-5+4=26【答案】9+3+4+19-8-5+4=26（三）巧填算符综合【例12】在下列算式中合适的地方，添上+、-、（）等运算符号，使算式成立。6666666666666666=19932222222222221993【考点】巧填算符之凑数法【难度】4星【题型】填空【解析】本题中两道小题的共同特点是：等号左边的数字比较多，且都相同，而等号右边的数是1993，比较大.所以，考虑用凑数法，在等号左边凑出与1993较接近的数.题中，666666666=1998，比1993大5，只要用余下的七个6凑成5就可以了，即6666666=5.如
14、果把最前面一个6留下来，则只须将剩下的六个6凑成1，即6666661，注意到66=1，6-6=0，可以这样凑66+6-66-6=1，或666666=1。由于题目中要由1998中减掉5，所以最后的答案是：666+666666-（6-66+6-66-6）=1993或者666+666+666-（6-666666）=1993题中，等号左边是十二个2，比题中的数字6小，个数也比中的少.所以，要把它们也凑成1993，应该增大左边的数，也就是要多用乘法，仿照题的想法，先凑出1998，可以这样做：222（222）（222）=1998用去了九个2，余下三个2，无论怎样也凑不出5，不行.所以要减少前面用去2的个数
15、，由于2229=1998，所以，我们要用几个2凑出9，即：222+22，这样，凑出1998共用去了八个2，即222（222+22）.此时，还剩下四个2，用四个2凑出5是可以的，即2+2+22=5.这样得到答案为：222（222+22）-（2+2+22）=1993【答案】666+666666-（6-66+6-66-6）=1993；222（222+22）-（2+2+22）=1993【例13】在+、-、（）中，挑出合适的符号，填入下面的数字之间，使算式成立，每个空都必须填入运算符号：987654321=19876543211000【考点】巧填算符之逆推法【难度】3星【题型】填空【解析】这两道题等号左
16、边的数字各不相同，且从大到小排列，题目要求在每个数字之间都要填上运算符号，这是解题中要注意到的。中，等号右边的得数是最小的自然数1，而等号左边共有九个数字。先考虑用逆推法：由于等号左边最后一个数字恰好是1，与等号右边相同，所以，可以考虑在1的前面添“+”号，这样如果前面8个数字的运算结果是0就可以了，观察注意到，前面8个数字每一个数都比它前面一个数小1，这样，只要把它们分成4组，每两数相减都得1，在两组的前面添“+”号，两组的前面添“-”号，即得到：(9-8)+(7-6)-(5-4)-(3-2)=0或(9-8)-(7-6)+(5-4)-(3-2)=0,于是得到答案：9-8+7-6-(5-4)-
17、(3-2)+1=1或9-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1再考虑用凑数法：注意到等号左边每一个数都比前一个数小1，所以，只要在最前面凑出一个1，其余的凑出0即可，事实上，恰有9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1凑数法的解答还有很多，请同学们试一试其他的凑法。中，等号右边是一个较大的自然数1000，而等号左边要在每两个数字之间添上运算符号，考虑用凑数法。由于等号右边是1000，所以，运算结果应由个位是5或0的数与一个偶数的乘积得到。如果这个偶数是8，则在8的左、右两边都应该添“”号，而98=72，而100072不是整数.所以，无论在7654321之间怎样添算符，都不能得到所要的
18、答案。如果这个偶数是6，由于10006不是整数，所以，不能得到所要的结果。如果这个偶数是4，那么在4的两边都应该添“”号，即有：987654321=1000.在4的右边只有添为4(3-2)1才有可能使左边的算式得1000，这时，必须有98765250，经过试验知，无论怎样添算符，都不能使上面的算式成立.所以，这个偶数不能是4。如果这个偶数是2，那么，在2的两边都应该添“”号，即有987654321=1000.只要添适当的算符，使9876543的计算结果是500即可.再用凑数法，注意到987=504，与500很接近，只要能用6543凑出“-”4即可.事实上，65-4-3=4，所以只需987-（6
19、5-4-3）即987-6-543=500这样，得到本题的答案是：（987-6-5+4+3）21=1000题还可以综合运用逆推法和凑数法：由于等号右边是1000，所以，等号左边1的前面只能添“”或“”号（事实上，“1”与“1”结果是相同的）由于等号右边的得数较大，考虑在2的前面添“”号，于是9876543应凑出500，再用与上面相同的凑数法即可解决。【答案】9-8+7-6-(5-4)-(3-2)+1=19-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1或9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1（987-6-5+4+3）21=1000【例14】在下列算式中合适的地方，添上（），使等式成立。123
20、456789=303123456789=13951+2345+67894455【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】填空.【解析】本题要求在算式中添括号，注意到括号的作用是改变运算的顺序，使括号中的部分先做，而在四则运算中规定“先乘除，后加减”，要改变这一顺序，往往把括号加在有加、减运算的部分。题目中三道小题的等号左边完全相同，而右边的得数一个比一个大要想使得数增大，可以让加数增大或因数增大，这是考虑本题的基本思想。题中，由凑数的思想，通过加（），应凑出较接近303的数，注意到1+23+45+6=33，而337=231.较接近303，而231+89=303，就可得到一个解为：(1+23+
21、45+6)7+89=303。题中，得数比题大得多，要使得数增大，只要把乘法中的因数增大.如果考虑把括号加在7+8上，则有6(7+8)9=810，此时，前面1+23+45无论怎样加括号也得不到1395-810=585.所以这样加括号还不够大，可以考虑把所有的数都乘以9，即（123+45+67+8）9=693，仍比得数小，还要增大，考虑将括号内的数再增大，即把括号添在（12）或（34）或（56）或（7+8）上，试验一下知道，可以有如下的添加法：(1+2)(3+4)5+67+89=1395题的得数比题又要大得多，可以考虑把（78）作为一个因数，而1+23+45+6（7+8）9=837，还远小于445
22、5，为增大得数，试着把括号加在（123456）上，作为一个因数，结果得33，而33（78）9=4455.这样，得到本题的答案是：（123+45+6）（7+8）9=4455【答案】(1+23+45+6)7+89=303；(1+2)(3+4)5+67+89=1395；（123+45+6）（7+8）9=4455【巩固】在下面的式子里加上（）和，使它们成为正确的等式。217-498+1124-2=89217-498+1124-2=1370217-498+1124-2=728【考点】巧填算符之逆推法【难度】4星【题型】填空【解析】本题只要求添括号，而括号在四则运算中的作用是改变运算的先后顺序，即由原来的
23、“先乘除，后加减”改为先做（）中的运算，再做中的运算，然后再按四则运算法做.所以，一般来讲，括号应加在“+”、“-”运算的部分。这道题中的三道小题等号左边完全相同，而右边是不同的数，注意到498=392，所以，括号不可能添在（217-498）上，而且每一道小题都要把217后面的减数缩小。题中，等号右边的数比较小，所以应考虑用217减去一个较大的数，并且这个数得小于217，最好是一百多，注意到498+112=504，而5044=126.恰有217-126=91，91-2=89，即可得到答案：217-（498+112）4-2=89（题中，等号右边的数比较大，所以在减小217后面的减数的同时，要注意
24、把整个算式的得数增大，这可以通过增大乘法中的因数或减小除法中的除数实现.如果这样做：（217-49）8，则既减小了减数，又增大了因数，计算知：217-49）8=1344.算式中得数是1370.注意到剩下的部分1124-2=26相加恰好得到答案：（217-49）8+1124-21370题中，等号右边的数介于题与题之间，所以，放大和缩小的程度也要适当，由题的计算知：（217-49）8=1344，题的得数是728，而算式左边还有+1124-2，观察发现，1344+1121456，14562=728。这样可以得到题的答案是：（217-49）8+112（4-2）728【答案】217-（498+112）4
25、-2=89；（217-49）8+1124-21370；（217-49）8+112（4-2）728模块二、填横式数字谜（一）策略问题【例15】用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用根火柴。【考点】填横式数字谜之奇偶分析法【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第4题【解析】“1”所用的火柴棍是2根，数目最少，所以要尽可能多用，即2-1=1，最少共用12(根)火柴棍.【答案】12根（二）奇偶分析法【例16】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为
26、。+【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第9题【解析】因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88）经过尝试，得31+5+79=62+84。【答案】84【巩固】将1，3，5，7，9填入等号左边的5个方框中，2，4，6，8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为。+【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第10题【解析】由奇偶性可以知道，左边必然为奇数，所以右边的结果也为奇数，而右边必为偶数，故右边的中只能是62，又要求结果最小，所以
27、可以得到91+5+37=62+48=51。【答案】51【例17】把18这八个数字写成两个四位数字，使它们的差等于1111.即：1111【考点】填横式数字谜之奇偶分析法【难度】3星【题型】填空【解析】注意到两个四位数字的差是1111，也就是要求被减数上的每一位数，都要比减数上相对应的位上的数大1.而所给的八个数字最小的是1，是奇数，所以被减数各位上的数字都应是偶数，而减数的每一位，都是比被减数上相对应的位上的数小1的奇数.这样就可以得到答案.本题的答案不惟一，下面是其中的三个：补充说明：这道题的答案共有24个.同学们可以试着写出其他的解.【答案】是前两个式中各填一个，试一试，可以为的一个答案是：
28、8-7=123=6【答案】8-7=123=6【例18】将19这九个数字分别填入下面算式的九个中，使每个算式都成立。【考点】填横式数字谜之奇偶分析法【难度】4星【题型】填空【解析】审题.在题目的三个算式中，乘法运算要求比较高，它要求在从19这九个数字中选出两个，使它们的积是一位数，且三个数字不能重复.选择解题的突破口.由的分析可知，填出第三个乘法算式是解题的关键.确定各空格中的数字.由前面的分析，满足乘法算式的只有236和248.如果第三式填236.则剩下的数是1，4，5，7，8，9，共两个偶数，四个奇数由整数的运算性质知，两个偶数必定4+5=98-7=1（.样填：答案不是惟一的，这里只填出一个
29、）如果第三式填248，则剩下的数是1，3，5，6，7，9.其中只有一个偶数和五个奇数，由整数的运算性质知，无论怎样组合都不能填出前两个算式.本题4+5=94+5=9（三）整除性质【例19】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式问填在方格内的数是多少？=【考点】填横式数字谜之奇偶分析法【难度】3星【题型】填空a)题目要求用七个数字组成5个数，说明有3个数是一位数，有2个数是两位数很明显，方框里的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是1位数看得出来，0不能做被乘数和乘数，更不能做除数，因而0是两位数的个位数字，但不能是
30、商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是1，不论被乘数是几，都将在算式出现两次，与题意不符，所以，乘数不是1同样乘数也不能是5乘数如果有2，则被乘数只能是6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时2出现重复，所以乘数里面也没有2被除数是3个一位数的乘积，其中一个是5，另两个中没有1，也不能有2，因而被除数至少是345=60由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是34=12=605于是方格中的数是12【答案】34=12=605【例20】将19这9个数字分别填入下图的方框中，每个数字恰好用一次，使等式成立；现已
31、将8填入，则最左边的两个方框中所填的两位数是。【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第5题【解析】因为8的两位数倍的乘积还是两位数，所以只有10、11、12，又810=80，出现重复数字，要舍去；811=88，出现重复数字，要舍去；812=96，可以；还剩3、4、5、7四个数字，有45-37=8满足题目，综上9612=45-37=8.【答案】9612=45-37=8【巩固】从09这10个数字中选出9个互不相同的数字填入下图的方框中，使等式成立。图中已经填好一个数字，请你填入其它数字。【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型
32、】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分【解析】突破口为除数的十位数字为1，然后尝试除数的个位，最后的算式为9015=34-28=6。【答案】9015=34-28=6【例21】在算式：2的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是？【考点】填横式数字谜之奇偶分析法【难度】3星【题型】填空a)先从个位数考虑，有22=4、23=6、26=12、27=14四种可能；再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：2273=546，2327=654，2267=534，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。【答案
33、】546【例22】从18这8个数字中选出7个数字填入下式的方框中，使得等式成立。=2005【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分【解析】最后括号里的结果和一个一位数相乘为2005，所以先将2005分解质因数为：“2005=5401，所以先确定个位数是5，让括号内凑出401，三位数加一个一位数减去一个两位数为401，经尝试得到答案为：(416+8-23)5=2005；(418+6-23)5=2005。【答案】(416+8-23)5=2005或(418+6-23)5=2005【巩固】将09这l0数字填入下图的方框中，使得等式成立。现在已经填入“3”，请将其它9个数字填入。(注：首位不能为0)=2005【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第6题，10分=2.5【解析】注意到2005=5401，所以括号里面的部分必须被401整除。如果括号里面的计算结果等于401，则，这不可能；如果括号里面的计算结果等于802，则，可以是3012或者3514，经尝试，可得答案：(857+964)3012=2005,(859+764)3012=2005.【答案】(857+964)3012=2005或(859+764)3012=2005答案不唯一