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1、6-1-5.和倍问题（二）教学目标1.学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2.掌握寻找和倍的方法解决问题知识点拨知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数.就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数和倍问题的数量关系式是：和(倍数+1)=小数小数倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份
2、数(倍数1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。例题精讲【例1】一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？【考点】和倍问题【难度】2星【题型】填空【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1）倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(1+4+4=8(岁)，妈妈的年龄是：84=32(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁【答案】孩子的年龄为8岁，爸爸妈妈的年龄为32岁【例2】三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白
3、猫钓到的鱼的条数的5倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上条鱼。【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题【解析】白猫钓到36（5+1）6条，花猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多3条，黑猫钓到（30-3）39条【答案】9【例3】甲、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半乙（）岁【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛【解析】由题意可知，甲丙的年龄和是乙的2倍，那么三人的年龄和就是乙的3倍，故乙的年龄为303=10岁。6-1-5
4、.和倍问题（二）.题库教师版page1of7【答案】10岁【例4】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?【考点】和倍问题【难度】2星【题型】解答【解析】以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票56(1+2+4)=8(张)黄纸盒里的彩票数；82=16(张)红纸盒里的彩票数；162=32(张)蓝纸盒里的彩票数。【答案】黄纸盒里有8张，红纸盒里有16张
5、，蓝纸盒里有32张。【例5】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的5倍求差是多少？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，并认识它们之间的转化我们先看下面一道简单的减法算式：1510=5被减数减数差被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如15=5+10这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30，30是被减数的2倍，302=15，就得被减数，也就是减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15(2+1)=5列式：减数与差
6、的和是多少？2402=120差是多少？120(5+1)=20【答案】20【例6】被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210（2+1）=70；被除数为：702=140。【答案】被除数140，除数70【例7】两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039原来的被除数是，除数是【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空【关键词】小机灵
7、杯，数学竞赛，五年级，复赛【解析】被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为54=20，所以被除数与除数的和为1039-20-7=1012，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(1012-20)(7+1)=124，所以原来的除数为1244=31，被除数原来为317+5=222【答案】被除数222，除数31【例8】学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍排球比足球多4个问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page2of7【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数
8、，教师辅导指正从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l份数，这时三种球一共(49-4)个，总份数是(1+3+1)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数95(=92=如果排球减少4个，三种球一共多少个？4-=4(个)足球多少个？4+1+3(个)篮球多少个？=3(个)排球多少个？9+4(个)【答案】足球9个，篮球27个，排球13个。【巩固】一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】梨的重量是：(112+3)(
9、1+1+3)=23（千克）苹果的重量是：233=69（千克）香蕉的重量是：23-3=20（千克）【答案】苹果69千克，梨23千克，香蕉20千克。【巩固】玩具厂生产红、黄、白气球共125个，其中红气球的个数是黄气球的3倍，白气球比黄气球少25个问三种气球各生产了多少个？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】黄气球：(125+25)(3+1+1)=30（个）；红气球：303=90（个）；白气球：30-25=5（个）【答案】黄气球30个，红气球90个，白气球5个。【例9】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?8(1【考点】
10、和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】黄鸡多少只？1(-2=只)81(3白鸡多少只？18=2(只)黑鸡多少只？1-=只)白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？18+36+5=59(只)【答案】59只【例10】商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page3of7如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水果的总重量变为：533254(千克)，正好是苹
11、果重量的(132)倍，苹果有(5332)(132)5469(千克)，橘子有93324(千克).【答案】24千克【巩固】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。梨树的
12、棵数：（55220-12）（112）=5604=140（棵），桃树的棵数：140212=292（棵），苹果树的棵数：140-20=120（棵），桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。【答案】桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵【巩固】某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？【考点】差倍问题【难度】1星【题型】解答【解析】我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于鸭的：1+4+2=7(份)而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462-132+
13、70=1400(只)用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数鸭的只数：(1462-132+70)(1+4+2)=14007=200(只)；鸡的只数：2004+132=800+132=932(只)；鹅的只数：2002-70=400-70=330(只)【答案】鸭200只，鸡932只，鹅330只【例11】有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page4of7分得多少块糖?【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清楚地
14、看出：甲比丙多分了358(块)如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8513(块)，总共就是1001387(块)87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量丙：100(35)5329(块)；乙：29534(块)；甲：34337(块)。【答案】甲37块，乙34块，丙29块。【例12】王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共250只，其中鸭比鹅的2倍少10只，鸡比鸭的3倍多20只。王奶奶养了_只鸡，_只鸭，_只鹅。【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题【解析】鹅比鸭的一半多5只，所以如果将多出少的去掉和补上一共有250-20-5=225，
15、所以鸭有225（3+1+0.5）=50只，鸡有502+5=30只，鹅有503+20=170只.【答案】鸡30只，鸭50只，鹅170只【例13】甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空【关键词】IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克力数为(73-5)(1+1+2)=17（块），丙原有17+2+3=22（块）。方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样
16、多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍少22+2=6块所以，乙有(73-3+6)(1+1+2)=19块糖，丙19+3=22（块）【答案】22块【例14】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：1806=30；乙数为：302-4
17、=56；甲数为：303+7=97。【答案】甲97，乙56，丙30【例15】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3、丙校学生人数加4都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少?【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第8题6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page5of7【解析】(199934)(122)400，40023803，40024796，甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796。【答案】甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796。【例16】549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少
18、2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？【考点】和倍问题【难度】3星【题型】解答【解析】下图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。丙数是：（5492-2）（2214）=5499=61，甲数是：612-2=120，乙数是：6122=124丁数是：614=244，验算：120+12461+244=5491202=122124-2=1226121222442122【答案】甲120，乙124
19、，丙61，丁224【例17】四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人问：这四个班共有多少人？【考点】和倍问题【难度】4星【题型】解答【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，甲班比丁班多3个人又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2人从而可以求出丁班的人数为：(131-2)3=43（人）因此这四个班的总人数为134+43=177（人）【答案】177人【例18】有几个同学想称一
20、下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）75、78、79、80、81、82、83、84、86、88问：有几名同学？他们的重量各是多少千克？【考点】和倍问题【难度】4星【题型】解答【解析】首先C2=542=10，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次，所以有5个同学5设这5个同学的体重从小到大依次为A、B、C、D、E则有A+B=75，A+C=78，D+E=88，C+E=86；A+B+C+D+E=(75+78+79+80+81+82+83+84+86+88)4=204则C=204-75-88=41千克；A=78-41
21、=37千克；E=86-41=45千克；B-75-37=38千克；D=88-45=43千克即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克【关键词】5名同学，体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克【例19】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和六名同学交上来的答案分别6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page6of7为：92，125，133，147，158，191老师看完
22、6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？【考点】和倍问题【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯，初赛【解析】根据题意可知，6名同学每人都得到给定的4个数中的某2个，而从4个数中选取2个不同的数共有C2=6种不同的方法而6名同学所给的6个答案中只有1个错误，有5个是正确的，而且这54个正确的答案互不相同，所以这5名同学所拿到的两个数也互不相同而总共只有6种不同情况，所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他5名同学所拿到的两个数的情况也都不相同那么本题相当于：有四个数a、b、c、d(abcd)，每次从中取出两个数，计算它们的和，得到六个和：92，
23、125，133，147，158，191，其中只有一个是错误的，求a的值由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即a+b与c+d，a+c与b+d，a+d与b+c，互相匹配的两个和的和是相等的，都等于a+b+c+d而题中的6个数中，92+191=125+158=283，可见a+b+c+d=283，那么六个和数中133和147都可能是错误的如果147是错误的，那么133是正确的，另一个正确的和数为283-133=150，根据a、b、c、d的大小顺序，可得a+b=92，c+d=191，a+c=125，b+d=158，而a+d与b+c分别为133和150再由a+b+b+d=158+92=250得a+d=250-2b，所以a+d是偶数，那么a+d=150，得b=50，进而得a=92-50=42即四种颜色卡片上所写各数中最小数是42如果133是错误的，那么147是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是35【关键词】356-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page7of7