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1、第10讲随机抽样、用样本估计总体基础巩固1.从2013名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2013人中剔除13人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则这2013名学生中每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为D.都相等,且为【答案】C【解析】随机抽样过程中,保证每个个体被抽取的可能性是相等的,所以每人入选的概率都相等,且为.2.具有A,B,C三种性质的总体,其容量为63,将A,B,C三种性质的个体按124的比例进行分层抽样调查,如果抽取的样本容量为21,则A,B,C三种元素分别抽取()A.12,6,3B.12,3,6C.3,6
2、,12D.3,12,6【答案】C【解析】A:21=3;B:21=6;C:21=12.3.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98),98,100),100,102),102,104),104,106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A.90B.75C.60D.45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)2=0.3,频数为36.样本总数为=120.样本中净重大于或等于9
3、8克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为1200.75=90.4.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92【答案】A【解析】按照从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.有8个数据,中位数是中间两个数的平均数:=91.5,平均数为=91.5,故选A.5.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所
4、得新数据的平均数和方差分别是()A.55.2,3.6B.55.2,56.4C.64.8,63.6D.64.8,3.6【答案】D【解析】每一个数据都加上60时,平均数也应加上60,而方差不变.6.(2012陕西西安模拟)某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2,则s2=()A.B.C.D.4【答案】A【解析】甲班的平均数为=7,甲班的方差为=.乙班的平均数为=7,乙班的方差为=.,s2=.7.某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分
5、层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校.【答案】189【解析】共有学校150+75+25=250所,小学中应抽取:30=18所,中学中应抽取:30=9所.8.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=.【答案】【解析】=7,s2=.9.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的方差为.【答案】5【解析】该运动员6场的总得分为14+17+18+18+20+21=108,平均得分为=18(分),方差为(14-18)2+(17-18)2
6、+(18-18)2+(18-18)2+(20-18)2+(21-18)2=5,故填5.10.(2012东北三校联考)一次数学模拟考试,共12道选择题,每题5分,共计60分,每道题有四个可供选择的答案,仅有一个是正确的.学生小张只能确定其中10道题的正确答案,其余2道题完全靠猜测回答.小张所在班级共有40人,此次考试选择题得分情况统计表如下:得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析.(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷?(2)若小张选择题得60分,求他的试卷被抽到的概率.【解】(1)得60分的人数为4010%
7、=4.设抽取x张选择题得60分的试卷,则=,则x=2,故应抽取2张选择题得60分的试卷.(2)设小张的试卷为a1,另三名得60分的同学的试卷为a2,a3,a4,所有抽取60分试卷的方法为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共6种,其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种,故小张的试卷被抽到的概率为P=.11.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/
8、s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.【解】(1)画茎叶图,如图所示,中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙总体得分情况比甲好.(2)根据公式得=33,=33;s甲=3.96,s乙=3.35;甲的中位数是33,乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适.12.(2012西安模拟)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组90,100),100,110),140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问
9、题:(1)求分数在120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间100,110)的中点值为=105.)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段120,130)内的概率.【解】(1)分数在120,130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.(2)估计平均分为=950.1+1050.15+1150.15+1250.3+1350.25+1450.05=121.(3)由题意,
10、110,120)分数段的人数为600.15=9(人),120,130)分数段的人数为600.3=18(人).用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,需在110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n,在120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d.设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段120,130)内”为事件A,则基本事件共有(m,n),(m,a),(m,d),(n,a),(n,d),(a,b),(c,d)共15种.则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n
11、,d)共9种.故P(A)=.拓展延伸13.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,
12、求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2000,则z=2000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意=,得a=2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个.事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,故P(E)=,即所求概率为.(3)样本平均数=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P(D)=,即所求概率为.