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1、应用正、余弦定理解三角形典型例题解析一、解斜三角形应用题应遵循以下步骤：(1)分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 二、解斜三角形应用题常有以下几种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，再用正弦定理或
2、余弦定理解之(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理（4）运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系时，往往考虑用余弦定理求角【例1】如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向，港口B北偏西30方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以
3、60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇如右图，连结CD.则快艇沿线段BC，CD航行在OBC中，BOC30，CBO60，BCO90.又BO120，BC60，OC60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时在OCD中，COD30，OD20x，CD60(x2)由余弦定理知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，【例2】(2009辽宁卷)如右图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的
4、两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414， 2.449)思路分析：根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.解后反思：求解这类问题，实际上就是解三角形，三角形
5、可解的前提是：(1)知道两个边和一个边的对角(用正弦定理)；(2)知道一个边和两个内角(用正弦定理或余弦定理)在求解时要寻找这些三角形可解的条件，如本题中，如果直接求解B、D两点之间的距离，而没有探索出BC是AD的中垂线的话，在ABD中，就只能知道BAD和边AD的长，不具备三角形可解的条件，就不好直接求解了所以在用正弦定理、余弦定理解决测量问题时要学会寻找三角形可解的条件. 【例3】如下图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处( 1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2 海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北
6、偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解后反思：应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象或者构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论. 【例4】(2009宁夏、海南卷)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如下图所示)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离
7、的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1，B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d(如右图所示)解后反思：本题并没有直接给出测量数据让考生直接计算，而是要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说本题是一道真正意义上的应用题. 热点五 利用正、余弦定理判断三角形形状【例5】在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形ABC的形状解法一：由已知得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsin
8、A.由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，sin2Asin2B，由0AB，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形规律总结1解三角形问题在实际生活中的应用数学知识来源于现实生活解三角形的知识在社会实践中有着广泛的应用常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航行问题、物理问题等(1)测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度(2)测量高度问题：这类问题的情境属于“测量底(
9、顶)部不能到达的物体的高度”测量过程中，要注意选取适当不同的测量点，使测量有较高的精确度(3)测量角度问题：这类问题的情境属“根据需要，对某些物体定位”测量数据越精确，定位精确度越高2三角形中的最值问题三角形中的最值问题一般有求最大(小)的角、边、周长、面积等，一般可利用大角对大边(大边对大角)的定理，或利用三角函数的有界性，或利用求二次函数最值的方法配方法，或利用均值不等式求最值的方法，或利用函数的单调性等等3.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能