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1、学习-好资料3.4基本不等式a+b2ab一、基本不等式：aba+b21、重要不等式：a2b22ab(a、bR)当且仅当“ab”时“”成立。（注意：1）不等式成立的条件是“ab”，如果a、b不相等，则“”不成立；2）不等a2+b2式的变形：abab(22(a2b2)(ab)2()2)2aba+ba2+b2a+b2222、基本不等式：a+b2)ab(a、bR当且仅当“ab”时“”成立。变式练习2：下列不等式：（1）x2；（2）x2；（3）若0a1b，则logablogba2；4）若0a1b，logablogba2。其中正确的是_。a+b注意：（1）内容：a0，b0，当且仅当“ab”时“”成立；（2
2、）其中叫做正2数a、b的算术平均数，ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1：求证对于任意实数a，b，c，有a2b2c2abbcca，当且仅当abc时等号成立。【证明】：a2b22abc2b22bca2c22ac2(a2b2c2)2ab2bc2ac，a2b2c2abbcca当且仅当abc时等号成立。变式练习1：若0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是（）A：a2b2B：2abC：2abD：ab11xx（均值不等式推广：211+aba+bab2a2+b22调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“ab”时“”成立。
3、更多精品文档学习-好资料二、最值定理已知x、y都是正数。（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P，即xy2xy；S2x+y（2）如果和xy就定值S，那么xy时，积xy有最大值，即xy()2。42”利用基本不等式必须满足三个条件：“一正、“二定”、“三取等。应用一：求最值例2：已知函数f(x)3x12x(x0)（1）当x0时，求函数的最值；（2）当x0时，求函数的最值；【解析】：（1）当x0时，f(x)3x12x1223x12x当且仅当3x12x，即x2时，“”成立。（2）当x0时，x0，f(x)3x121212(3x)23x12，x-xx例3：已知x5当且仅当3x12时，即x
4、2时，“”成立。x变式练习：求下列函数的最值11（1）y3x2（2）yx2x2x应用二：凑项1，求函数f(x)4x2的最大值。44x-5【解析】：解：因4x-50，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)14x-5不是常数，所以x0，y=4x-2+=-5-4x+3-2+3=1对4x-2要进行拆、凑项，4x-551145-4x当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。变式练习1：f(x)x(x3)的最小值为_。1x-3更多精品文档学习-好资料例4：当0x4时，求f(x)x(82x)的最大值。【解析】：当，即x2时取等号当x2时，y=x(8-2x)的最大值为
5、8。变式练习1：设0x32，求函数y=4x(3-2x)的最大值。【解析】：0x02x+3-2x2y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2=292当且仅当2x=3-2x,即x=30,时等号成立。变式练习2：0x0,y0，且2应用四：整体代换1+=1，则x+y的最小值是_。xy更多精品文档变式练习1：已知x0，y0，且2xy1，则1变式练习2：已知x0,y0，且210，其中m、n均大于0，则1【解析】：x2y2xy0，1学习-好资料1+的最小值为_。xy1+=2，则x+y的最小值是_。xy变式练习3：若函数f(x)ax+22(a0，a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny2+的最小值为_。mn
6、变式练习4：设x0，y0且x2y2xy0，若x2ym0恒成立，则实数m的取1值范围是_。111，则(x2y)()4，故m42yx2yx变式练习5：已知正项等比数列a满足an20172a20163a2015，若存在不同的两项ap、a使得aa33a，则mpm114+的最小值是_。mp【解析】：116变式练习1：若logx+logy=2，求1xy应用四：条件最值例7：若实数满足a+b=2，则3a+3b的最小值是_。【解析】：3a和3b都是a+b=2正数，3a+3b23a3b=23a+b=6当3a=3b时等号成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即当a=b=1时，3a+3b的最小值是6。1+的最小
7、值，并求x，y的值。442xy【解析】：log4xlog4ylog4(xy)2，xy161，当且仅当xy4时“”成立。162更多精品文档11x+yx+y+xyxy16学习-好资料变式练习2：已知函数f(x)4x_。【解析】：6ax(x0，a0)在x3时取得最小值，则a变式练习3：设x0，y0，z0，且xyz1，若则实数m的取值范围是_。1x+ym0恒成立，x+yz【解析】：1x+y1x+yx+ym0恒成立，则m恒成立，则令f(x)x+yzz1x+yzx+yx+y+zx+yx+y13，故m3。x+yx+yzzz应用五：换元例8：求函数f(x)x2+5x2+4【解析】：f(x)x2+4+1x2+4
8、的最值。x2+41x2+4不能用均值不等式：x2+41x2+42，当且仅当x2+41x2+4，即：x241，x21，此时x没有实数解。x2+4令x2+4t(t2)f(x)x2+4+1x2+4x2+411f(t)t(t2)函数f(t)在t2,+)上单调递增。当t2时，f(t)有最小值52即x2+42，x0，f(x)min52变式练习1：求函数f(x)x2+9x2+1的值域。变式练习2：求函数f(x)2sinx+,x(0,p)的最小值。sinx更多精品文档学习-好资料课后综合练习1、设a、b是正实数，以下不等式：（1）ab2aba+b；（2）aabb；（3）a2b24ab3b2；（4）ab2ab2
9、。恒成立的序号为（）A：（1）（3）；B：（1）（4）；C：（2）（3）；D：（2）（4）【解析】：D（1）（2）abab（3）a23b2b24aba24b24ab4ab4ab0；2、若a、b均大于1的正整数，且ab100，则lgalgb的最大值是（）A：0B：1C：2D：【解析】：B523、若x0，则x4x的最小值是（）A：15、设a0，b0若3是3a与3b的等比中项，则1A：2B：3C：22D：4【解析】：D4、已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为（）132B：C：D：3243【解析】：C1的最小值（）abA：8B：4C：1D：14【解析】：Bx2+2x+26、函数f(x)(x1
10、)图象的最低点坐标是_。x+1【解析】：(0，2)7、若a0，b0，且x1是函数f(x)12x22ax2b的零点，则ab的最大值为_。【解析】：98、若正数a、b满足abab3，求ab的取值范围。【解析】：ab9y29、已知x0，y0，且x21，求x1+y2的最大值。2更多精品文档学习-好资料【解析】：32410、已知不等式x2axa20的解集为(，x1)(x2，)，其中x10x2，则x1x2a2a22x1x2的最大值为（）xx1233A：B：0C：2D：22【解析】：x10x2，x1x2a20x1x24a240a-2a-222xx122(x+x)12xx21、如图，在ABC中，D为BC的中点
11、，E为AD上任一点，且BEAlBAmBC，则11的最小值为_。lmE【解析】：3+22BDC12、若两个正实数x，y满足14y1，且不等式xm23m有解，则实数m的取yx4值范围是()A：(1，4)B：(，1)(4，)C：(4，1)D：(，0)(3，)yy14minm23m，x0，y0，且【解析】：选B不等式x4m23m有解，x4xy1，xxxy224y4xy4xyy144xy4y4x4xy4xy24，当且仅当，即x2，y8时取等号，xmin4，m23m4，即(m1)(m4)0，解得m1或m4，y4故实数m的取值范围是(，1)(4，)13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()更多精品文档学习-好资料A：40米，10米B：20米，20米C：30米，403米D：50米，8米【解析】选C.设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y=(2x+2)200+2250+80400=400(x+)+320004002+32000=56000(元)，当且仅当x=，即x=30时等号成立，此时污水池的宽为米.更多精品文档